《高中全程复习方略配套课件6.3基本不等式及其最值苏教版数学理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中全程复习方略配套课件6.3基本不等式及其最值苏教版数学理（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 基本不等式及其最值 内内 容容要要 求求A AB BC C基本不等式基本不等式 高考指数高考指数:1.1.基本不等式基本不等式(1)(1)基本不等式的定义基本不等式的定义形式：形式：_._.等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当_._.(2)(2)算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数对于正数对于正数a,ba,b，其算术平均数是，其算术平均数是_，其几何平均数为，其几何平均数为_._.基本不等式可叙述为基本不等式可叙述为: :两个正数的两个正数的_不小于它们的不小于它们的_._.a=ba=b算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数【即时应用即时应用】(1)(1)思考：如
2、何理解基本不等式中思考：如何理解基本不等式中“当且仅当当且仅当”的含义？的含义？提示提示: :当当a=ba=b时，时， 取等号，取等号，即即a=ba=b = . = .仅当仅当a=ba=b时，时， 取等号，即取等号，即 = = a=b.a=b.(2)(2)判断下列不等式是否正确判断下列不等式是否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“”或或“”) )aa2 2+b+b2 22ab(a,bR) ( )2ab(a,bR) ( )ab( )ab( )2 2(a(a，bRbR) ( ) ( )( )( )2 2 (a,bR) ( ) (a,bR) ( ) + 2(a,b + 2(a,b均不为零均不为
3、零) ( ) ( )【解析解析】由由(a-b)(a-b)2 200得得a a2 2+b+b2 2-2ab0-2ab0，即即a a2 2+b+b2 22ab2ab，故，故正确正确. .由由可知可知a a2 2+b+b2 22ab2ab，即，即a a2 2+b+b2 2+2ab4ab,+2ab4ab,即即(a+b)(a+b)2 24ab,4ab,即即ab( )ab( )2 2, ,故故正确正确. .由由( )( )2 2- =- = 0, 0,故故正确正确. .若若a,ba,b异号，如异号，如a=-1,b=1,a=-1,b=1,则则 + =-22, + =-20,0,且且x+2y=1,x+2y=1
4、,则则 的最小值为的最小值为_._.(3)(3)已知已知m0,n0m0,n0且且mn81mn81，则，则m+nm+n的最小值为的最小值为_._.【解析解析】(1)(1)由由2=x+3y2 ,2=x+3y2 ,得得 , ,故故xyxy ，等号当且仅当，等号当且仅当x=1,y= x=1,y= 时取得时取得. .(2)(2)由由x,y0x,y0，x+2y=1x+2y=1得得 =( )(x+2y)= +3 =( )(x+2y)= +32 +3=2 +32 +3=2 +3，等号成立的条件是：等号成立的条件是：x= y= -1.x= y= -1.(3)m(3)m0,n0,n0,mn81, 9,0,mn81
5、, 9,m+n2 18,m+n2 18,故故m+nm+n的最小值为的最小值为18.18.答案答案: :(1) (2)2 +3 (3)18(1) (2)2 +3 (3)18 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【方法点睛方法点睛】基本不等式求最值的类型基本不等式求最值的类型(1)(1)若直接满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式若直接满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式. .(2)(2)若不直接满足，则需要创造条件，即对式子进行恒等变形，若不直接满足，则需要创造条件，即对式子进行恒等变形，其关键是凑其关键是凑“和和”或或“积积”为定值，再应用基本不等式为定值，再应用基本不等式. .
6、(3)(3)若可应用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单若可应用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解调性求解. .【提醒提醒】(1)(1)应用基本不等式时注意不等式成立的条件应用基本不等式时注意不等式成立的条件. .(2)(2)若多次使用基本不等式，要注意等号成立的条件需一致若多次使用基本不等式，要注意等号成立的条件需一致. . 【例例1 1】(1)(2012(1)(2012无锡模拟无锡模拟) )若若x-3x-3，则，则x+ x+ 的最小值为的最小值为_._.(2)(2)已知已知a a，b b为正实数且为正实数且a+ba+b=1=1，则，则(1+ )(1+ )(1+ )
7、(1+ )的最小值为的最小值为_._.【解题指南解题指南】(1)(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解解. .(2)(2)将将 与与 中的中的1 1用用a+ba+b代换整理后利用基本不等式可求代换整理后利用基本不等式可求. .【规范解答规范解答】(1)(1)由由x-3x-3得得x+30,x+30,又又x+ =x+3+ -32 -3,x+ =x+3+ -32 -3,等号成立的条件是等号成立的条件是x+3= ,x+3= ,即即x= -3.x= -3.(2)a0,b0,a+b=1,(2)a0,b0,a+b=1,1+ =1+ =2+ ,1+ =1+ =
8、2+ ,同理同理1+ =2+ ,1+ =2+ ,(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )=5+2( + )5+4=9,(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )=5+2( + )5+4=9,等号成立的条件为等号成立的条件为a=b= .a=b= .答案：答案：(1)2 -3 (2)9(1)2 -3 (2)9【反思反思感悟感悟】1.1.利用基本不等式求最值的关键在于凑利用基本不等式求最值的关键在于凑“和和”与与“积积”的定值的定值. .2.2.基本不等式求最值，常为有条件最值问题基本不等式求最值，常为有条件最值问题. .如本例如本例(2)(2)，其关，其关键是充分利用条件转化为可利用基本不等式求
9、最值，并要注意键是充分利用条件转化为可利用基本不等式求最值，并要注意“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”. . 用基本不等式求参数的值及参数的取值范围用基本不等式求参数的值及参数的取值范围【方法点睛方法点睛】基本不等式求参数的值或取值范围的思路及注意问题基本不等式求参数的值或取值范围的思路及注意问题(1)(1)利用基本不等式求出式子的最小值或最大值，使其满足已知利用基本不等式求出式子的最小值或最大值，使其满足已知条件；条件；(2)(2)构造参数的方程构造参数的方程( (组组) )或不等关系，求出参数的值及其取值范或不等关系，求出参数的值及其取值范围围. .(3)(3)在利用基本不等式时要注
10、意基本不等式的一些变形应用，还在利用基本不等式时要注意基本不等式的一些变形应用，还要注意要注意“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”等条件的应用等条件的应用. . 【例例2 2】x,y,a,bx,y,a,b均为正实数均为正实数, ,x,yx,y为变数，为变数，a,ba,b为常数，且为常数，且a+ba+b=10, =10, =1,x+y =1,x+y的最小值为的最小值为1818，求，求a a、b.b.【解题指南解题指南】已知已知x+yx+y的最小值求参数的最小值求参数a a、b b，可考虑利用基本不，可考虑利用基本不等式，构造最小值与等式，构造最小值与a a、b b的关系，建立方程组，求得的关
11、系，建立方程组，求得a a、b.b.【规范解答规范解答】x+yx+y0,a0,a0,b0,b0 0且且 =1,=1,x+yx+y=(=(x+yx+y)( )=)( )=a+ba+b+ +a+b+2 =a+b+2 =( )a+b+2 =a+b+2 =( )2 2，当且仅当当且仅当 时取等号，时取等号，此时此时( (x+y)x+y)minmin=( )=( )2 2=18,=18,即即a+b+2 =18,a+b+2 =18,又又a+ba+b=10,=10,联立联立 , ,解得解得【反思反思感悟感悟】解决本题的关键是利用解决本题的关键是利用“1 1”的代换，利用基本的代换，利用基本不等式求得不等式求
12、得x+yx+y的最小值，从而构建了的最小值，从而构建了a,ba,b的关系式，再利用已的关系式，再利用已知联立方程组求得知联立方程组求得a,ba,b，应用基本不等式时要注意题目的条件，应用基本不等式时要注意题目的条件. . 含参数的基本不等式的应用含参数的基本不等式的应用【方法点睛方法点睛】含参数的基本不等式的解题方法含参数的基本不等式的解题方法含参数的基本不等式是常见题型含参数的基本不等式是常见题型.应用时一般需要分类讨论，即应用时一般需要分类讨论，即对参数的取值进行分类，满足应用基本不等式的条件，则应用对参数的取值进行分类，满足应用基本不等式的条件，则应用基本不等式；不满足时往往需要利用函数
13、的单调性求解基本不等式；不满足时往往需要利用函数的单调性求解. 【例例3 3】(2012(2012淮安模拟淮安模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)= ,)= ,xx1,+).1,+).(1)(1)当当a= a= 时，求函数时，求函数f(xf(x) )的最小值的最小值. .(2)(2)若对任意若对任意xx1,+),f(x)1,+),f(x)0 0恒成立，试求实数恒成立，试求实数a a的取值范的取值范围围. .(3)(3)求求f(xf(x) )的最小值的最小值. .【解题指南解题指南】(1)(1)代入代入a a的值，利用函数单调性求解的值，利用函数单调性求解. .(2)(2)将恒成立问题转化为
14、分离参数后求最值问题将恒成立问题转化为分离参数后求最值问题. .(3)(3)对对a a进行分类讨论求解进行分类讨论求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)当当a= a= 时，时，f(xf(x)=x+ +2,)=x+ +2,f(xf(x) )在区间在区间1,+)1,+)上为增函数上为增函数, ,f(xf(x) )在区间在区间1,+)1,+)上的最小值为上的最小值为f(1)= .f(1)= .(2)(2)在区间在区间1,+)1,+)上，上，f(xf(x)= )= 0 0恒成立恒成立x x2 2+2x+a+2x+a0 0恒成立恒成立, ,即即a a-x-x2 2-2x(x1)-2x(x1)恒成立，
15、恒成立，函数函数y=-xy=-x2 2-2x(x1)-2x(x1)的最大值为的最大值为-3,-3,aa-3.-3.(3)f(x)=x+ +2,x(3)f(x)=x+ +2,x1,+).1,+).当当a0a0时，函数时，函数f(xf(x) )递增，故当递增，故当x=1x=1时，时，f(x)f(x)minmin=3+a,=3+a,当当0 0a a1 1时，函数时，函数f(xf(x) )递增，故当递增，故当x=1x=1时，时，f(x)f(x)minmin=3+a,=3+a,当当a1a1时，时，f(xf(x)=x+ +22 +2()=x+ +22 +2(当且仅当当且仅当x= x= 时取时取“= =”)
16、 )f(x)f(x)minmin=2 +2.=2 +2.【反思反思感悟感悟】1.1.对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式个分式( (该分式的分子为常数该分式的分子为常数) )的形式，这种方法叫分离常数法的形式，这种方法叫分离常数法. .2.2.应用基本不等式一定要注意条件，本例中应用基本不等式一定要注意条件，本例中xx1,+)1,+)， 所所以解题时，虽然可用基本不等式但条件不成立，故而采用单调以解题时，虽然可用基本不等式但条件不成立，故而采
17、用单调性，第性，第(3)(3)问分类讨论后分别利用单调性和基本不等式求解问分类讨论后分别利用单调性和基本不等式求解. .【创新探究创新探究】基本不等式在函数、导数中的应用基本不等式在函数、导数中的应用【典例典例】(2011(2011福建高考改编福建高考改编) )若若a0,b0a0,b0，且函数，且函数f(xf(x)=4x)=4x3 3- -axax2 2-2bx+2-2bx+2在在x=1x=1处有极值，则处有极值，则abab的最大值等于的最大值等于_._.【解题指南解题指南】利用在利用在x=1x=1处有极值得处有极值得a,ba,b的关系式，再利用基本的关系式，再利用基本不等式求解不等式求解.
18、.【规范解答规范解答】由题意得由题意得f(xf(x)=12x)=12x2 2-2ax-2b,-2ax-2b,函数函数f(xf(x) )在在x=1x=1处有极值，处有极值，f(1)=0,12-2a-2b=0,f(1)=0,12-2a-2b=0,即即a+ba+b=6.=6.又又a0,b0a0,b0，由基本不等式得：，由基本不等式得：ab( )ab( )2 2=( )=( )2 2=9=9，故，故abab的最大值是的最大值是9.9.答案：答案：9 9【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨与备考建议新点拨与备考建议: :创创新新点
19、点拨拨 本题有以下两个创新点本题有以下两个创新点: :(1)(1)本题是以函数为表现载体，利用函数中的本题是以函数为表现载体，利用函数中的极值将导数问题转化为基本不等式问题极值将导数问题转化为基本不等式问题. .(2)(2)本题汇集了导数、极值、基本不等式知本题汇集了导数、极值、基本不等式知识，具有知识交汇考查多样的新特点识，具有知识交汇考查多样的新特点. . 备备考考建建议议 在解决有关基本不等式问题时，以下几个问题在解决有关基本不等式问题时，以下几个问题备考时需高度关注：备考时需高度关注：(1)(1)掌握函数的求导的方法及函数极值的求法掌握函数的求导的方法及函数极值的求法. .(2)(2)
20、熟练掌握基本不等式的应用及不等式等号熟练掌握基本不等式的应用及不等式等号成立时应满足的条件成立时应满足的条件. .(3)(3)会对式子变形转化为利用基本不等式求解会对式子变形转化为利用基本不等式求解. . 1.(20111.(2011陕西高考改编陕西高考改编) )设设0ab0ab，则，则a,ba,b, , , , 的大小关的大小关系为系为_(_(按从小到大排列按从小到大排列).).【解析解析】已知已知abab和和 ，比较，比较a a与与 ，因为，因为a a2 2-( -( ) )2 2= =a(a-ba(a-b)0,)0,所以所以a a0-a)0得得 b;0b- = 0，所以，所以 b,b,综
21、上可得综上可得a b.a b.答案：答案：a a b b2.(20122.(2012盐城模拟盐城模拟) )已知已知a a0 0，b b0 0，则，则 +2 +2 的最小值的最小值是是_._.【解析解析】因为因为 +2 2 +2 =2( + )4+2 2 +2 =2( + )4，当，当且仅当且仅当 ，且，且 = = ，即，即a=b=1a=b=1时，取时，取“= =”. .答案：答案：4 43.(20113.(2011湖南高考湖南高考) )设设x,yRx,yR，且，且xy0xy0，则，则(x(x2 2+ )+ )( +4y( +4y2 2) )的最小值为的最小值为_._.【解析解析】(x(x2 2+ )( +4y+ )( +4y2 2)=5+4x)=5+4x2 2y y2 2+ 9(+ 9(等号当且仅当等号当且仅当4x4x2 2y y2 2= = 时取得时取得).).答案：答案：9 9
