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1、1.2 正余弦定理应用举例正余弦定理应用举例复习、请回答下列问题：复习、请回答下列问题：复习、请回答下列问题：复习、请回答下列问题：（1 1）解斜三角形的主要理论依据）解斜三角形的主要理论依据是什么？是什么？（2 2）关于解三角形，应该掌握了）关于解三角形，应该掌握了哪几种类型？哪几种类型？复习复习复习复习. . 下列解三角形问题下列解三角形问题下列解三角形问题下列解三角形问题, , 分别属于那种类型？根据分别属于那种类型？根据分别属于那种类型？根据分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？哪个定理可以先求什么元素？哪个定理可以先求什么元素？哪个定理可以先求什么元素？ 第第第第4 4小题
2、小题小题小题A A变更为变更为变更为变更为A=150A=150o o呢？呢？呢？呢？_余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出A,A,或先求出或先求出或先求出或先求出B,CB,C正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出b b正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出B(60B(60o o或或或或120120o)o)无解无解无解无解（1 1）a a=2 ,=2 ,b b= ,= ,c c=3 + =3 + ；（2 2）b b=1=1，c c= = ，A A=105 =105 ；（3 3）A A=45=45，B B =60=60， a a=10=10；
3、（4 4）a a=2 =2 ，b b=6=6，A A=30.=30.2 23 36 63 33 3_ _ _余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出a a要测量不可到达的两点间的距离要测量不可到达的两点间的距离,可用可用哪些方法哪些方法?如图如图:设设A、B两点在河的两岸，怎样两点在河的两岸，怎样测量两点之间的距离测量两点之间的距离?AB方案一方案一:构造直角三角构造直角三角形形AB在河岸的一侧取一点C,使得ACBCC若能测得AC的长及BAC,那么AB即可求出此方案有缺限吗此方案有缺限吗?例例1、如图，设、如图，设A、B两点在河的两岸，要测两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，
4、测量者在量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所的同侧，在所在的河岸边选定一点在的河岸边选定一点C，测出，测出AC的距离是的距离是55m，BAC=510,ACB=750.求求A、B两点两点的距离的距离(精确到精确到0.1m)ABC练习练习1海上有海上有A、B两个小岛相距两个小岛相距10海里，从海里，从A岛望岛望C岛和岛和B岛成岛成60的视角，从的视角，从B岛望岛望C岛和岛和A岛成岛成75的视角，那么的视角，那么B岛和岛和C岛间岛间的距离是的距离是 。ACB10海里海里6075答：答：海里海里解：应用正弦定理，解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60
5、 /sin45 例例2、如图，、如图，A、B两点都在河的对岸（不两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量可到达），设计一种测量A、B两点间距两点间距离的方法。离的方法。.AB.DC基基线线练习练习练习练习2 2、 为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点A A、B B间的距离，在岸边选定间的距离，在岸边选定间的距离，在岸边选定间的距离，在岸边选定1 1 1 1公里长的基线公里长的基线公里长的基线公里长的基线CDCD，并测得并测得并测得并测得ACDACD=90=90=90=90o o o o，BCDBCD=60=60=60=60o o o o，BDCBDC=75
6、=75=75=75o o o o，ADCADC=30=30=30=30o o o o，求求求求A A、B B两点的距离两点的距离两点的距离两点的距离. . . .ABCDABCD1公里公里分析：在四边形分析：在四边形ABCDABCD中欲求中欲求ABAB长，只能去解三角形，与长，只能去解三角形，与ABAB联系联系的三角形有的三角形有ABCABC和和ABDABD，利用其一可求利用其一可求ABAB。ACDACD=90=90=90=90o o o o，BCDBCD=60=60=60=60o o o o，BDCBDC=75=75=75=75o o o o，ADCADC=30=30=30=30o o o
7、o，略解：略解：Rt ACD中，中，AD=1/cos30o o BCD中，中，1/sin45=BD/sin60，可求可求BD。由余弦定理在由余弦定理在ABD中中可求可求AB。练习：海中有岛练习：海中有岛A，已知已知A岛周围岛周围8海里内有暗礁，今有一货海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见轮由西向东航行，望见A岛在北偏东岛在北偏东75，航行，航行20 海里后，海里后，见此岛在北偏东见此岛在北偏东30，如货轮不改变航向继续前进，问有无，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。触礁危险。ABCM北北北北解：解：在在ABC中中ACB=120ABC=15由正弦定理得：由正弦定理得：由由BC=20
8、 ,可求可求AC 得得AM= 8.978无触礁危险无触礁危险ABCM北北北北75 30 思思考考? ?如何测量地球与月亮之间如何测量地球与月亮之间的距离的距离?AB背景背景资料资料早在早在1671年年,两位法国天文学家为了测量地两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角午线的柏林与好望角,测量计算出测量计算出,的大的大小和两地之间的距离小和两地之间的距离,从而算出了地球与月从而算出了地球与月球之间的距离约为球之间的距离约为385400km.例例3:如图如图:甲船以每小时甲船以每小时 海里的速度向正海里的速度向正北方向航
9、行，乙船按固定方向匀速直线航行北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的方向的 处，此时两船相距处，此时两船相距20海里海里.当甲当甲船航行船航行20分钟到达分钟到达 处时，乙船航行到甲船处时，乙船航行到甲船的北偏西的北偏西120方向的方向的 处，此时两船相距处，此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？海里，问乙船每小时航行多少海里？ 1、分析题意，弄清已知和所求；、分析题意，弄清已知和所求；2、根据提意，画出示意图；、根据提意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出、将实际问题转化为数学问题，写
10、出已知所求；已知所求；4、正确运用正、余弦定理。、正确运用正、余弦定理。小结：求解三角形应用题的一般步骤：小结：求解三角形应用题的一般步骤：实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推推理理演演算算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明几个概念：仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。N方位角60度水平线目标方向线视线视线仰角仰角俯角俯角方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东如北偏东30度度,南偏西南偏西45度度.问题
11、问题.AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物高度AB的方法。的方法。ABCD 例例例例4. 4.如图，要测底部不能到达的烟囱的高如图，要测底部不能到达的烟囱的高如图，要测底部不能到达的烟囱的高如图，要测底部不能到达的烟囱的高ABAB，从与烟从与烟从与烟从与烟囱底部在同一水平直线上的囱底部在同一水平直线上的囱底部在同一水平直线上的囱底部在同一水平直线上的C C，D D两处，测得烟囱的仰角两处，测得烟囱的仰角两处，测得烟囱的仰角两处，测得烟囱的仰角分别是分别是分别是分别是=3512=3512和和和
12、和=4928=4928，CDCD间的距离是间的距离是间的距离是间的距离是11.12m11.12m已已已已知测角仪器高知测角仪器高知测角仪器高知测角仪器高1.52m1.52m，求烟囱的高求烟囱的高求烟囱的高求烟囱的高 练习练习4、如图，要测底部不能到达的烟囱的高、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底从与烟囱底部在同一水平直线上的部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器已知测角仪器高高1.5m,求烟囱的高。求烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么
13、？求什么？想一想想一想实例讲解实例讲解AA1BCDC1D1分析：分析：如图，因为如图，因为AB=AA1+A1B，又又已知已知AA1=1.5m,所以只要求出所以只要求出A1B即可。即可。解：解：答：烟囱的高为答：烟囱的高为 29.9m.例例5、如图，在山顶铁塔上、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点处测得地面上一点A的俯的俯角角 ,在塔底在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角已知铁塔已知铁塔BC部分的高为部分的高为27.3 m,求出山高求出山高CD(精确到精确到1 m)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得 ,并在点C测得塔顶A的仰角为 ，求塔高AB例例
14、6、如图、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶驶,到到A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北在西偏北150的方向上的方向上,行驶行驶5km后到达后到达B处处,测得此山顶在西测得此山顶在西偏北偏北250的方向上的方向上,仰角为仰角为80,求此山的高度求此山的高度CD.例例7、如图，一艘海轮从、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东750的方向航的方向航行行67.5 n mile后到达海岛后到达海岛B,然后从然后从B出发出发,沿北偏东沿北偏东320的方向航行的方向航行54.0 n mile后达到海岛后达到海岛C.如果下次航行
15、直如果下次航行直接从接从A出发到达出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行此船应该沿怎样的方向航行,需要航需要航行多少距离行多少距离?(角度精确到角度精确到0.10,距离精确到距离精确到0.01n mile)ABC练习练习7、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为渔轮在方位角为，距离为，距离为10n mile的的处，并测得渔轮正沿方位角为处，并测得渔轮正沿方位角为105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇的速度向小岛靠拢我海军舰艇立即以立即以n mi
16、le/h的速度前去营救求舰艇的速度前去营救求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1 ,时间精确到时间精确到min）北北北北BC105方位角：方位角：指从正北方向指从正北方向顺时针旋转到目标方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角的水平角北北北北BC105解：设舰艇收到信号后解：设舰艇收到信号后xh在处靠拢渔轮，则在处靠拢渔轮，则21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：化简得：化简得：解得：解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）负值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，得所以所以21.8，
17、方位角为，方位角为45 +21.8 =66.8 答：舰艇应沿着方位角答：舰艇应沿着方位角66.8 的方向航行，的方向航行，经过经过min就可靠近渔轮就可靠近渔轮练习练习:一货轮航行到一货轮航行到M处处,测得灯塔测得灯塔S在货轮的北在货轮的北偏东偏东150相距相距20km处处,随后货轮按北偏西随后货轮按北偏西300的方向航行的方向航行,半小时后半小时后,又测得灯塔在又测得灯塔在货轮的北偏东货轮的北偏东450的方向上的方向上,求货轮的速度求货轮的速度.MSN练习： 勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角分别是29度和38度，两个观察点之间距离是200m,求山的高度。练习：3.5m长的木棒斜
18、靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。引例引例 在在ABC中中,已知已知a,b及及C,求求ABC的面积的面积.ABCD结论结论:三角形的面积公式三角形的面积公式:例例8、在、在ABC中，根据下列条件，求中，根据下列条件，求三角形的面积三角形的面积S（精确到（精确到0.1cm2)(1)已知已知a=4,c=6,B=300;(2)已知已知B=450,C=750,b= ;(3)已知已知a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.例例9、如图、如图,在某市进行城市环境建设中在某市进行城市
19、环境建设中,要把一要把一个三角形的区域改造成室内公园个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精这个区域的面积是多少？（精确到确到0.1cm2) 例例10. 在在ABC中中,求证求证:1.已知已知ABC中中,B=300,b=6,c=6 ,求求a及及ABC的面积的面积.2：判断满足下列条件的三角形形状，：判断满足下列条件的三角形形状，补充练习补充练习小结小结结论结论:三角形的面积公式三角形的面积公式:海伦公式海伦公式:练习.如如图,半半圆O的直径的直径为2,A为直径延直径延长线上的一点上的一点,OA=2,B为半半圆上任意一点上任意一点,以以AB为一一边作等作等边三角形三角形ABC,问:点点B在什么位置在什么位置时,四四边形形OACB的面的面积最大最大?最大面最大面积为多少多少?AOBC
