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1、一、公因式一、公因式 最大公式最大公式 二、最大公因式的存在性与求法二、最大公因式的存在性与求法三、互素三、互素 四、多个多项式的最大公因式四、多个多项式的最大公因式提供网站： 1重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式i) 1公因式公因式: :若若满足满足:且且2最大公因式最大公因式: :若若满足：满足：ii) 若若 ， 且且 ，则，则则称则称 为为 的的最大公因式最大公因式 则称则称 为为 的的公因式公因式 一、公因式一、公因式 最大公因式最大公因式 2重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式说明：说明： 是是 ， 与零多项式与零多项式0的
2、最大公因式的最大公因式 的首项系数为的首项系数为1的最大公因式记作的最大公因式记作: : 若若 ，则，则 的最大公式为零的最大公式为零。若若 不全为零，则不全为零，则3重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式 最大公因式不是唯一的，但首项系数为最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大的最大公因式是唯一的公因式是唯一的.c c为非零常数为非零常数 若若 为为的最大公因式，则的最大公因式，则说明：说明： 提供网站： 4重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式二、最大公因式的存在性与求法二、最大公因式的存在性与求法 若等式若等式 成立，则成立，则
3、与与 有相同的公因式有相同的公因式, ,从而从而 引理：引理：提供网站： 5重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式定理定理2对对 ，在，在 中存在中存在一个最大公因式一个最大公因式 ，且，且 可表成可表成 的一个组合，即的一个组合，即 ，使，使 6重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式若若 有一为有一为0，如，如 ，则，则 就是一个最大公因式且就是一个最大公因式且 考虑一般情形：考虑一般情形： 用用 除除 得：得： 其中其中 或或 . . 若若 ，用，用 除除 ，得：，得： 证：证：7重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最
4、大公因式若若 ，用，用 除除 ，得，得 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为因此，有限次后，必然有余式为0设设 其中其中 或或 即即 于是我们有一串等式于是我们有一串等式 8重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式9重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式从而有从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得到再并项就得到说明说明: : 定理中用来求最大公因式的方法，定理中用来求最大公因式的方法，通常称为通常称为
5、辗转相除法辗转相除法10重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式注意注意: : 定理中最大公因式定理中最大公因式 中的中的 不唯一不唯一. 对于对于 ， 使使 , ,但是但是 未必是未必是 的最大公因式的最大公因式. . 11重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式如如: : ，则，则 取取 ，有，有 取取 ，也有，也有 取取 , ,也有也有 成立成立事实上事实上, ,若若 则对则对 ，12重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式 若若 ，且，且则则 为为 的最公因式的最公因式设设 为为 的任一公因式，则的任一公因式，则证
6、：证：从而从而即即 为为 的最大公因式的最大公因式 13重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式例例1求求 ，并求，并求 使使 14重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式解解: : 且由且由 得得 15重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式例例2. . 设设 求求 ，并求，并求 使使 16重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式因式，即因式，即就可以就可以)，这是因为，这是因为 和和 具有完全相同的具有完全相同的若仅求若仅求 ，为了避免辗转相除时出现，为了避免辗转相除时出现注注1:1:分数运算，
7、可用一个数乘以除式或被除式分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始从一开始为非零常数为非零常数17重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式但是，在不同数域内公因子可能有变化。但是，在不同数域内公因子可能有变化。注注2:2:最大公因式的存在性不因数域扩大而改变，最大公因式的存在性不因数域扩大而改变，例如例如18重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式则称则称 为为互素的互素的(或互质的或互质的)1 1定义定义: :三、互素三、互素 若若互素互素 除去零次多项式外无除去零次多项式外无说明说明: : 由定义，由定义，其它公因式其它公因式 19重点
8、辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式定定理理3 互素互素 ，使，使 2 2互素的判定与性质互素的判定与性质证：证：显然显然设为设为 的任一公因式，则的任一公因式，则从而从而又又故故20重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式定理定理4若若 ，且，且 ， 则则证：证：使使于是有于是有又又21重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式推论推论 若若 ，且，且 又又，则，则证证: :，使，使于是于是 ，使，使而而由定理由定理4有有从而从而22重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式证明：若证明：若 ，则则练
9、习练习: :23重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式若若 满足满足: : 定义定义i) 则称则称 为为 的的最大公因式最大公因式 ii)若若则则 四、多个多项式的最大公因式四、多个多项式的最大公因式 24重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式注：注： 表示首表示首1最大公因式最大公因式 ，使，使 的最大公因式一定存在的最大公因式一定存在互素互素 使使25重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式作业作业P455.1） 6.1) 9. 13. 14. 26重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式)
10、 附附1: 综合除法综合除法的商式的商式 和余式和余式可按下列计算格式求得：可按下列计算格式求得：这里，这里，若若 则则 除除27重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式去除去除 求一次多项式求一次多项式 的商式及余式的商式及余式 把把 表成表成 的方幂和，即表成的方幂和，即表成的形式的形式说明说明： 综合除法一般用于综合除法一般用于提供网站： 28重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式例例1求求 除除 的商式和余式的商式和余式解解: 由由 ) 有有 29重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式4解解: 1例例.把把 表成表成 的方幂和的方幂和 =232345=136361441110=5=10=30重点辅导 1.41.4 最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式附附2:2:最小公倍式最小公倍式设设 ，若，若 i) ii) 对对 的任一公倍式的任一公倍式 ，都有，都有则称则称 为为 的的最小公倍式最小公倍式 注注: : 的首项系数为的首项系数为1的最小公倍式记作的最小公倍式记作: :31重点辅导
