《二重积分的计算80523》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二重积分的计算80523（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算 第九章 一、在直角坐标系下计算二重积分一、在直角坐标系下计算二重积分则称则称D为为 X 型区域型区域. 1 1先对先对 , ,后对后对 的二次积分的二次积分若积分区域若积分区域 可以表示为可以表示为 当当 时时, ,则则 的值是以的值是以 为底为底, , 以以 为曲顶的曲顶柱体体积为曲顶的曲顶柱体体积任取任取平面平面故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为截面积为截面积为截柱体的截柱体的由第五章中由第五章中“平行截面面积为平行截面面积为已知的立体体积已知的立体体积”的分
2、析过程的分析过程:我们常将上式写成我们常将上式写成2.2.先对先对 , ,后对后对 的二次积分的二次积分 若积分区域若积分区域 可以表示为可以表示为则称则称 D 为为 Y 型区域型区域. 则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , 为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序, 必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.则有则有(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域 , 则则 例例1. 计算计算其中其中D 是直线是直线 所围成的闭
3、区域所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域 :先对先对 x 积分不行积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.例例2.2. 计算计算 其中其中 ( (如图如图) )是抛物线是抛物线 及直线及直线 所围成的闭区域所围成的闭区域解法解法1 1：若将：若将 看成是看成是 型区域型区域, , 可表示为可表示为 . .则则解法解法2:2:若将若将 D D 看成是看成是 型区域型区域 D D , ,可表示为得可表示为得例例siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的的积分积分交换积分次序交
4、换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2) 画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序. .用联立不等式表示用联立不等式表示 D:二重积分的计算法二重积分的计算法oxy二重积分的计算法二重积分的计算法例例3.3.化化 为二次积分为二次积分, ,其中其中 为为 、 轴和轴和解：所围区域解：所围区域 为为 型区域型区域, , 所以所以所围图形所围图形例例4 4 交换下列积分顺序交换下列积
5、分顺序解：如图解：如图, , 积分域由两部分组成积分域由两部分组成: :将将 视为视为Y Y型区域型区域, ,则则例例解解原式原式=交换积分次序：交换积分次序：二重积分的计算法二重积分的计算法交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤 (1) 将已给的二次积分的积分限得出相将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图;二重积分的计算法二重积分的计算法1990 年研究生考题年研究生考题, 填空填空, 3分分解解二重积分的计算法二重积分的计算法交换积分次序交换积分次序 = =- -200
6、d2yxeyy例例5.求两底半径为求两底半径为R R的直交圆柱所围成的立体体积的直交圆柱所围成的立体体积解：设两柱面方程分别为解：设两柱面方程分别为 由对称性由对称性, , 所求立体体积为其在第所求立体体积为其在第 一卦限部分体积的一卦限部分体积的8 8倍第一倍第一卦卦限部限部 分分( (如图如图) )的底面区域为：的底面区域为： 曲顶为：曲顶为： 所以所以二重积分的计算法二重积分的计算法2002 年研究生考题年研究生考题, 7分分计算二重积分计算二重积分其中其中 解解 设设解解计算积分计算积分不能用初等函数表示不能用初等函数表示,先交换积分次序先交换积分次序.二重积分的计算法二重积分的计算法
7、简便简便为此只要我们找到极坐标系下二重积分与直角为此只要我们找到极坐标系下二重积分与直角坐标系下二重积分的关系坐标系下二重积分的关系, , 就可以在极坐标系下讨论就可以在极坐标系下讨论二重积分二重积分 的计算。的计算。 若积分区域若积分区域 是与圆域有关的区域或者被积函数为是与圆域有关的区域或者被积函数为 等形式等形式, ,用极坐标计算二重积分更用极坐标计算二重积分更 首先找两坐标系下面积元素的关系。如图首先找两坐标系下面积元素的关系。如图, ,极坐标极坐标系下系下, , 设积分区域被网格（由一族同设积分区域被网格（由一族同心圆心圆( ( 常值常值) )与与一族过极点的射线一族过极点的射线(
8、( 常值常值) )组成组成 ）分割成若干个小区分割成若干个小区二、在极坐标系下计算二重积分二、在极坐标系下计算二重积分域域, , 任取一个任取一个（其中（其中 介于介于 ， 之间，之间， 介于介于 ， 之间之间)，则，则其中其中 为为 与与 的平均值。由此当的平均值。由此当 充分小时，极坐标系下的面积元素充分小时，极坐标系下的面积元素 .其次其次, , 直角坐标系与极坐标系有如下变换关系直角坐标系与极坐标系有如下变换关系最后最后, , 两坐标系下积分区域两坐标系下积分区域 形状不变，因此有形状不变，因此有以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算设设则则特别特别,
9、 对对例例6 6. .写出写出极坐标系下的二次积分极坐标系下的二次积分, ,其中其中 . .解：由极坐标系下圆解：由极坐标系下圆 的方程的方程则则 可表示为：可表示为：为为 ,直线直线 方程为方程为 .则则 例例7.7.将将 化成二次积分，其中化成二次积分，其中 . . .解：解： 与圆域有关与圆域有关, , 考虑用极坐标展开考虑用极坐标展开 在极坐标系下在极坐标系下 ：. 所以所以特别地特别地, , 积分区域积分区域 , ,如图如图, ,则表为则表为于是于是例例8.计算计算 ，其中，其中 是由圆心在是由圆心在原点，半径原点，半径为为 的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域. .解：极坐标系
10、下解：极坐标系下 ： ,故有故有 此题若用直角坐标来计算此题若用直角坐标来计算, , 由于由于积分原函数不易积分原函数不易 表示而无法求出表示而无法求出, , 可见极坐标在某些情况下确实能可见极坐标在某些情况下确实能 化简运算。化简运算。例例9. .计算计算 .解：如图解：如图,直线直线 把圆分成把圆分成 ，则则内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则则(2) 一般换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为在变换下(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式( 先积一条线先积一条线, 后扫积分域后扫积分域 )充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式思考与练习思考与练习1. 设且求提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换2. 交换积分顺序提示提示: 积分域如图
