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1、第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程 常微分方程常微分方程 Ordinary Differential Equations第四章第四章4.1 线性微分方程的一般理性微分方程的一般理论 一、解的存在唯一性定理一、解的存在唯一性定理1 n阶线性微分方程阶线性微分方程定义定义1阶齐线性方程阶齐线性方程2。2阶非齐线性方程阶非齐线性方程 2 解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理定理定理1足初始条件且满定义于区间存在唯一解程方及任意则对任一连续函数的都是区间及如果,),() 1 . 4(,)(), 2 , 1)(n-1)0) 1(00btatxxxxbabtatfnitai=jLL二、二、齐线性方程的
2、解的性性方程的解的性质和和结构构定理定理21 叠加原理叠加原理证明证明:故有故有例例1的解的解.解解:2.线性相关与线性无关线性相关与线性无关定义定义23 朗斯基朗斯基(Wronsky)行列式行列式).(,)()(,),(),(21tWWronskytxtxtxk记为行列式的朗斯基称为函数L4 函数的线性相关性与其函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系行列式的关系(1)定理定理3证明证明:使得使得. 0)(,)(,)(),(21tWWronskybabtatxtxtxn行列式上它们的则在性相关上线在区间若函数L由线性代数理论知由线性代数理论知要使方程组存在非零解要使方程组存在非零解,
3、则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零,行列式它的系数就是Wronsky注注定理定理3的逆不成立的逆不成立.如函数如函数事实上事实上,若有恒等式若有恒等式则则, 001=ct时推得,0t时推得推论推论(2)定理定理4证明证明: “反证反证”)(0)(,)(,)(),()2 . 4(21btatWbaWronskybtatxtxtxn即上任何点都不等于零行列式在则它们上线性无关在区间的解如果方程L的的现以这组常数构造函数现以这组常数构造函数,由定理由定理2知知,又因为又因为由解的唯一性定理知由解的唯一性定理知由定理由定理4易得下面结论易得下面结论推论推论2推论推论1., 0)(,)2 .
4、4()(,)(),(021上线性相关则该组解在使如果存在个解的在区间是方程设btaWbatnbtatxtxtxn=L由定理由定理1知知,方程方程(4.2)满足初始条件满足初始条件又因为又因为由此得定理由此得定理55 齐线性方程线性无关解的存在性齐线性方程线性无关解的存在性定理定理56 通解的结构通解的结构(1)定理定理6.)2 . 4(个线性无关的解.一定存在阶齐线性方程nn证明证明:首先首先,由叠加原理由叠加原理(4.11)是是(4.2)的解的解,它包含有它包含有n个任意常数个任意常数,又因为又因为故故(4.11)为为(4.2)的通解的通解.考虑方程组考虑方程组以这组常数构造以这组常数构造由
5、解的唯一性定理得由解的唯一性定理得:即即(2)推论推论(3)基本解组基本解组:注注:基本解组不是唯一的基本解组不是唯一的.三、非齐线性方程与常数变易法三、非齐线性方程与常数变易法 非齐线性微分方程非齐线性微分方程对应齐线性微分方程对应齐线性微分方程1 非齐线性微分方程解的性质非齐线性微分方程解的性质性质性质1证明证明:因为因为所以所以,由微分性质两式相加得由微分性质两式相加得性质性质2证明证明:则则故故2 非齐线性方程通解的结构非齐线性方程通解的结构定理定理7证明证明:这些任常数是相互独立的这些任常数是相互独立的,(4.14)为方程为方程(4.1)的解的解,由定理由定理6的证明过程易知的证明过
6、程易知,由性质由性质1知知,故故(4.14)为方程为方程(4.1)的通解的通解.则由性质则由性质2知知,由定理由定理6知知,故故即方程即方程(4.1)的任一解都可由的任一解都可由(4.14)表出表出,(4.14)包括了包括了(4.1)的所有解的所有解.一阶线性非齐微分方程的解法一阶线性非齐微分方程的解法-常数变易法常数变易法3 常数变易法常数变易法则则为方程为方程(4.2)的通解的通解.此时此时(4.15)变为变为将它代入将它代入(4.1), 在理论上在理论上,这些另加条件可以任意给出这些另加条件可以任意给出,但为了运但为了运算方便算方便,我们按下面方法来给出这我们按下面方法来给出这n-1个条件个条件,令令得得和表达式和表达式继续上面做法继续上面做法,直到获得第直到获得第n-1个条件个条件和表达式和表达式因而方程组的解可唯一确定因而方程组的解可唯一确定, 设由上面方程求得设由上面方程求得积分得积分得注注:例例1解解: 利用常数变易法利用常数变易法,令令解得解得因此因此故通解为故通解为例例2解解: 对应的齐线性方程为对应的齐线性方程为:将该齐次方程改写成将该齐次方程改写成:积分得积分得:所以所以故方程有基本解组故方程有基本解组:将原方程改写成将原方程改写成:解得解得因此因此故原方程的通解为故原方程的通解为
