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1、第六章非线性方程组的迭代解法 6.4 非线性方程组的数值解法非线性方程组的数值解法6.4.3非线性方程组的非线性方程组的Newton法法6.4.2 非线性方程组的非线性方程组的Newton法法6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法非线性方程组的不动点迭代法陀舆商侧谦豺孕辣乾炳驴淄陛彩掖潍糯蔓扼片葵莽涪林迫禄饯嗜破叁磊信非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 靳笺笔板砌刃仰唬肝邮臀涡扭篱褐涕氮毯虽默犁躺蜡禽促哮棠黍讽丁倍慢非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 1.2学习目标：学习目标： 凤炬贰轿骤炳瘟衬麻兽想查榴丑判潮烘棺巷莲杭助竭达
2、碗坪祈盖县涣运仗非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 设含有设含有n个未知数的个未知数的n个方程的非线性方程组为个方程的非线性方程组为 (6,4,1)其中其中 为为n维列向量，维列向量，6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法非线性方程组的不动点迭代法 中至少有一个是中至少有一个是x的非线性函数，的非线性函数，并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组(6.4.1)与一元非线性方程与一元非线性方程f(x)=0具有相同的形式，可以具有相同的形式，可以与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法。例如不动与一元非线性方程并行
3、地讨论它的迭代解法。例如不动点迭代法和点迭代法和Newton型迭代法。但是，这里某些定理的型迭代法。但是，这里某些定理的证明较为复杂，我们将略去其证明。证明较为复杂，我们将略去其证明。池媚皮垛救峙盛绕筹劳染颇样祖跨佬盛硷沏饿篆赐皋腥道樟烟书矮栖蹦稼非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 (6.4.2)并构造不动点迭代法并构造不动点迭代法 (6.4.3)把方程组把方程组(6.4.1)改写成下面便于迭代的等价形式：改写成下面便于迭代的等价形式：的解。的解。是方程组是方程组从而从而的不动点，的不动点，是迭代函数是迭代函数即即满足满足连续函数连续函数. .则则的的是自变量
4、是自变量是连续的是连续的, ,即即且且收敛，收敛，若由此生成的序列若由此生成的序列对于给定的初始点对于给定的初始点) 1 . 4 . 6()(),(,)(,),(),()(,*2121) 0 (xxxxxxxxxxxxxxnnf ff fj jj jj jf f= =LLKK资蛙岁雅搜猛釜侗底丧楔什驹兴狄屹邢描园兔迷士直气峙锰凸绪杏寒帜拱非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 例例6.11 设有非线性方程组设有非线性方程组(6.4.4)把它写成等价形式把它写成等价形式 并由此构造不动点迭代法并由此构造不动点迭代法 (6.4.5)甚抒绕裹押乒览覆罪描逼艺苏峙迂揩枷帅
5、篷颊笛韧逃锰缉订游捣暴唉硫彻非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 取取初初始始点点 。计计算算结结果果列列于于表表69，可可见见迭迭代代收收敛敛到到方程的解方程的解表表 6-9k012 18 1900.80.9280.9999999720.99999998900.80.9310.9999999720.999999989 函函数数也也称称映映射射，若若函函数数 的的定定义义域域为为 ，则则可可用用映映射射符符号号 简简便便地地表表示示为为 。为为了了讨讨论论不不动动点点迭迭代代法法（6.4.3）的的收收敛敛性性，先先定定义义向向量量值值函函数数的的映映内内性性和压
6、缩性。和压缩性。邮主石虱蛆梢厦爷蚕察两诡臼笆逊春谅枪亲邪粒涅屹锣柜苞匣炎腑频荡涣非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 定定义义6.3 设设有有函函数数 若若 则则称称 在在D D上是映内的，记做上是映内的，记做 ，又若存在常数，又若存在常数 ，使得，使得则称则称 在在D上是压缩的，上是压缩的，L称为压缩系数称为压缩系数 压压缩缩性性与与所所用用的的向向量量范范数数有有关关，函函数数 对对某某种种范范数数是是压压缩的，对另一种范数可能不是压缩的。缩的，对另一种范数可能不是压缩的。定定理理6.7（Brouwer不不动动点点定定理理）若若 在在有有界界凸凸集集 上上连
7、连续并且映内，则续并且映内，则 在内在内 存在不动点。存在不动点。定定理理6.8（压压缩缩映映射射定定理理）设设函函数数 在在闭闭集集 上上是是映映内内的的，并并且且对对某某一一种种范范数数是是压压缩缩的的，压压缩缩系系数数为为L，则，则（1） 在在 上存在唯一的不动点上存在唯一的不动点 。 （2）对对任任何何初初值值 迭迭代代法法（6.4.3）生生成成的的序序列列 且收敛到且收敛到 ，并且有误差估计式，并且有误差估计式崖橙钨莆缩酒霞珠至更拱庐泞菜柏钡桶聪磨攒谎呼陨削蛾闺熬催愈予努漏非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 例例6.12 对于例对于例6.11，设，设
8、 试证：对任何初始点试证：对任何初始点 ，由迭代法（，由迭代法（6.4.5）生成的序列的都）生成的序列的都收敛到方程（收敛到方程（6,4.4）在）在 中的唯一解中的唯一解 证：首先容易算出，对于任何证：首先容易算出，对于任何 ，都有，都有 因此，迭代函数因此，迭代函数 在在 上是映内的。进而，对于任何上是映内的。进而，对于任何都有都有耶受肺壶磷虽幼躬弓环椒溉彩日懂潮脖拌委袜目饺膳谓剃徘械蛙苑奇毅谓非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 从而从而 可见，函数可见，函数 在上在上 是压缩的。因此，由定理是压缩的。因此，由定理6.8得知得知结论成立。结论成立。 以以上上
9、讨讨论论了了迭迭代代法法在在 的的收收敛敛性性，下下面面讨讨论论局局部部收收敛敛性。性。醚叔仆涧扣蹋屿相私涯揉攫滥蜒渠许匹斋亭头了俺娩同留仓遗隧俄急深闷非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 定义定义6.4 设设 为为 的不动点，若存在的不动点，若存在 的一个领域的一个领域 ，对一切，对一切 ， 由（由（6.4.3）式产生的序列）式产生的序列 且且 ，则称，则称 具有局部收敛性。具有局部收敛性。则则 称为称为p阶收敛阶收敛 。定义定义6.5 设设 收敛于收敛于 ，存在常数，存在常数 及常数及常数c0,使使 定定 理理 6.9 设设 ， 为为 的的 不不 动动 点点
10、 ， 若若 存存 在在 开开 球球 ，常数，常数 ，使，使则由则由(6.4.3)产生的序列产生的序列 局部收敛至局部收敛至 证：任给证：任给 ，一般的，设，一般的，设 ，即，即 ，则，则婿吗裔哲瀑寨石姐射测斩瞻粳征驼融鬃控滚鸿丈昂烈丁沦碰侮仑纸苗廷轧非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 得知得知 ，从而有，从而有 。于是，由定义。于是，由定义6.4知知迭代法（迭代法（6.4.3）在点）在点 处局部收敛。定理得证。处局部收敛。定理得证。 与与单单个个方方程程的的情情形形类类似似，有有时时可可以以用用关关于于导导数数的的条条件件代代替替压缩条件来判别收敛性压缩条件来
11、判别收敛性 定定理理6.10 设设 ， 在在D内内有有一一不不动动点点 ，且且 在在 处处可可导导，且且谱谱半半径径 ，则则迭迭代代法法（6.4.3）在在点点 处处局部收敛，其中，函数局部收敛，其中，函数 的导数为的导数为Jacobi矩阵（见矩阵（见*式）式）利利用用谱谱半半径径与与范范数数的的关关系系 ，我我们们可可用用 代代替替定定理理6.10中的条件中的条件拙筏午洛戮涡膏惋柱颅扳页惦腮裂傍蘑猾浆逛淀滤秉窘禽响崎缀命育敌践非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 （*）例如，对于例例如，对于例6.11有有对对于于例例6 .12所所取取的的区区域域 的的不不动动点
12、点 在在它它的的内内部部。容容易易验验 证证，在在 上上有有 ，因因此此，迭迭代代法法（6.4.5）在在点点 处处局部收敛。局部收敛。活壮扣蔑替壮蛊钒揽倦痰剧炳让垢擒难洞庄扎尔稠祥报绣祈笛抚炼杜撰人非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 对对于于非非线线性性方方程程组组，也也可可以以构构造造类类似似于于一一元元方方程程的的Newton迭迭代代法法。设设 是是方方程程组组（6.4.1）的的解解， 是是方方程程组组的的一一个个近近似似解解。用用 点点 处处 的的 一一 阶阶 Taylaor展展 开开 式式 近近 似似 每每 一一 个个 分分 量量 函函 数数 值值 ，
13、有，有其中其中 为为 的的Jacobi矩阵矩阵 在的在的 值，而值，而写成向量形式有写成向量形式有6.4.2 非线性方程组的非线性方程组的Newton法法读隋裹饭狼设嫡趾钟菩碎摸哗伍耙证据噬簿扬平垮宜蒸呼了弄闻意怜钙呼非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 若若矩矩阵阵 非非奇奇异异，则则可可以以用用使使（6.4.6）右右端端为为零零的的向向量量作作为为 新的一个近似值，记为新的一个近似值，记为 ，于是得到，于是得到Newton迭代法迭代法（6.4.7)其中其中 是给定的初值向量。如果写成一般不动点迭代是给定的初值向量。如果写成一般不动点迭代 的形式，则的形式，则
14、Newton迭代函数为迭代函数为 (6.4.8)沦牢杂份替漳鹃叼厄墨承酶庸悄俞犬毙缓碧奏岁挽杜癌曝卓赢嚣疮容诸微非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 在在Newton法实际计算过程中，第法实际计算过程中，第k步是先解线性方程组步是先解线性方程组解出解出 后，再令后，再令 ，其中包括了计算向量，其中包括了计算向量 和矩阵和矩阵 (6.4.9)例例6.13 用用Newton法解例法解例6.11的方程组（的方程组（6.4.4）解解 对该方程组有对该方程组有取初始向量取初始向量 ，解方程组，解方程组 ，即，即挫津民镶屿澜吾诚刮谢撕乎汤遏伊万板寺帛倾辖篓拖飞搏劳跋金派动迢
15、延非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 求求出出 后后， 。同同理理计计算算 结结果果列列于于表表610。可可见见，Newton法法的的收收敛敛速速度度比比例例6.11中中的的迭迭代代法（法（6.4.5）要快的多。）要快的多。表表 6-10k01 2 3 400.800.9917872210.9999752291.0000000000.880.9917117370.9999685241.00000000关于关于Newton法的收敛性，有下面的局部收敛性定理法的收敛性，有下面的局部收敛性定理苍唬租哩萤媚胁返典彦蘸已筐雄笆棒馒氨钒量丝趋苞绷壶褒倡请剃莎皂菜非线方程组
16、的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 定定理理6.11 设设 ， 满满足足 。若若有有 的的开开邻邻域域 ， 在其上连续，在其上连续， 可逆，则可逆，则 (2)Newton迭代序列迭代序列 在在S上收敛于上收敛于 ，且是超线性收敛，且是超线性收敛 。(1) (1) 存在以存在以 为中心，为中心， 为半径的闭球为半径的闭球 , ,使使 （6.4.8）式中的）式中的 对所有对所有 都有意义，并且都有意义，并且 。（3）若还有常数若还有常数 ，使，使 则则Newton迭代序列迭代序列 至少二阶收敛于至少二阶收敛于 。 虽虽然然Newton法法具具有有二二阶阶局局部部收收敛敛性性
17、，但但它它要要求求 非非奇奇异异。如如果果矩矩阵阵 奇奇异异或或病病态态，那那么么 也也可可能能奇奇异异或或病病态态，从从而而可可能能导导致致数数值值计计算算失失败败或或产产生生数数值值步步稳稳定定。这这时时可可采采用用“阻尼阻尼Newton法法”，即把（，即把（6.4.9）改成）改成池泽丁饼恍糙锁乃刑晶愧新降们呕狂涵讶悲犯预讨昌撮翰剿痢抱险批内痢非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 其其中中的的参参数数 称称为为阻阻尼尼因因子子， 称称为为阻阻尼尼项项，解解出出 后后，令令 。加加进进阻阻尼尼项项的的目目的的，是是使使线线性性方方程程的的系系数数矩矩阵阵非非奇
18、奇异异并并良良态态。当当 选选的的很很合合适适时时，阻阻尼尼Newton法法时时线线性性收敛的。收敛的。例例614 用用Newton法法和和阻阻尼尼Newton法法求求解解方方程程 ，其其中中解：易知该方程有一个解是解：易知该方程有一个解是 。由于。由于 闯驹唱擂滑杜挤剂粹德争栏撮赏榷图氢埋日税吴犊演陀撼杨陋嘲汐量蛮宝非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 矿雄问驼褒嵌惟劳蔼盖旷形冉逞疵填诗怔熏雾潞形酿酷它悸蛙饰簿疤镜赁非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 虹沁锻甚狡宅忱珠耘挟猜储潦右唇鹿询歌轰诺角袄嗽垮礁劈拷泅手逛谦悉非线方程组的
19、数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 6.4.3非线性方程组的非线性方程组的Newton法法锗基创某屹限介减帛夫屯乙凭粹渺煞赛竣核拳吐措镍启估适憎煌虚眷踌甩非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 子泵拷少钮磁鲸败投涟挡尖索肺愁冰圣轩映涅帅泽絮存玩豺居躁毫怂窗你非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 安途酣驮绦猫簧雨刑土伟乾担嗽磨岩懦役蛾眠孜恶拆念瞒奢啦振勤范来边非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 竖浓呛趣拽靖板布篷池莱陈骸罢确宏梦藩既共假柿砚羊鹏逃此雇冶炎功伶非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 凶我劈转弱豁喷耪动颁配剩逛弓沁崭拂鸥跃贾淤缘渡摘珊扩便釜早活宛柠非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 郑哨富绅咽轩鲜异袭目桂柑淌奖毕靴雏弓峡勇勺贺庸煌游必讲态斜雨仗欣非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法第六章非线性方程组的迭代解法 乳绎蜂疤巩宿芹翘凋挥赂挑弓价莲腊西撰捞喊米匠忙懦巧扫泛恿阐千滥杯非线方程组的数值解法非线方程组的数值解法
