《八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高)（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实用文档西安乐童教育中心八年级数学西安乐童教育中心八年级数学因式分解常见方法讲解和经典题型因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法常见方法一、提公因式法一、提公因式法. .：ma+mb+mc=m(a+b+c)ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法二、运用公式法. .在整式的乘、除中，在整式的乘、除中， 我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用， 即为因式分解中常用的公即为因式分解中常用的公式，例如：式，例如：（1 1）(a+b)(a-b) = a(a+b)(a-b) = a2 2-b-b2 2 -a -a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=
2、(a+b)(a-b)；(2)(2)(a(a b)b)2 2 = a = a2 2 2ab+b2ab+b2 2 a a2 2 2ab+b2ab+b2 2=(a=(a b)b)2 2；(3) (a+b)(a(3) (a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2) =a) =a3 3+b+b3 3-a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2) )；(4)(4)(a-b)(a(a-b)(a2 2+ab+b+ab+b2 2) = a) = a3 3-b-b3 3 -a -a3 3-b-b3 3=(a-b)(a=(a-b)(a2 2+ab+b+ab+b2 2
3、) )下面再补充两个常用的公式：下面再补充两个常用的公式：(5)a(5)a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 2；(6)a(6)a3 3+b+b3 3+c+c3 3-3abc=(a+b+c)(a-3abc=(a+b+c)(a2 2+b+b2 2+c+c2 2-ab-bc-ca)-ab-bc-ca)；，c是是ABC的三边，且的三边，且a b c abbcca，例例. .已知已知a，b222则则ABC的形状是（的形状是（）A.A.直角三角形直角三角形B B 等腰三角形等腰三角形C C 等边三角形等边三角形D D 等腰
4、直角三角形等腰直角三角形解：解：a b c abbcca 2a 2b 2c 2ab2bc2ca222222 (ab)2(bc)2(ca)2 0 a b c三、分组分解法三、分组分解法. .（一）分组后能直接提公因式（一）分组后能直接提公因式例例 1 1、分解因式：、分解因式：am an bmbn分析：分析： 从从 “整体”“整体” 看，看， 这个多项式的各项既没有公因式可提，这个多项式的各项既没有公因式可提， 也不能运用公式分解，也不能运用公式分解， 但从但从 “局“局大全实用文档部”看，这个多项式前两项都含有部”看，这个多项式前两项都含有a a，后两项都含有，后两项都含有b b，因此可以考虑
5、将前两项分为一组，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式解：原式= =(am an) (bm bn)= =a(m n)b(m n)每组之间还有公因式！每组之间还有公因式！= =(m n)(a b)例例 2 2、分解因式：、分解因式：2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第三、四项为一组。第二、三项为一组。第二、三项为一组。解：原式解：原式= =(2ax 10ay) (5by bx)原式原
6、式= =(2ax bx) (10ay 5by)= =2a(x 5y) b(x 5y)= =x(2a b) 5y(2a b)= =(x 5y)(2a b)= =(2a b)(x 5y)练习：分解因式练习：分解因式 1 1、a ab ac bc2 2、xy x y 12（二）分组后能直接运用公式（二）分组后能直接运用公式例例 3 3、分解因式：、分解因式：x y ax ay22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。继续分解，所以只能另外分组。解：原式
7、解：原式= =(x y)(ax ay)22= =(x y)(x y) a(x y)= =(x y)(x y a)例例 4 4、分解因式：、分解因式：a 2ab b c解：原式解：原式= =(a 2ab b ) c= =(a b) c= =(a b c)(a b c)练习：分解因式练习：分解因式 3 3、xx9y3y4 4、x y z 2yz222222222222222综合练习：综合练习： （1 1）x x y xy y（2 2）ax bx bx ax a b22（3 3）x 6xy 9y 16a 8a 1（4 4）a 6ab 12b 9b 4a2223223432（5 5）a 2a a 9（
8、6 6）4a x 4a y b x b y222222（7 7）x 2xy xz yz y（8 8）a 2a b 2b 2ab 122（9 9）y(y 2)(m1)(m1)（1010）(a c)(a c)b(b 2a)大全实用文档333（1111）a (bc)b (ac)c (ab)2abc（1212）a b c 3abc222四、十字相乘法四、十字相乘法. .（一）二次项系数为（一）二次项系数为 1 1 的二次三项式的二次三项式直接利用公式直接利用公式x (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。进行分解。2特点：特点： （1 1）二次项系数是）二次项系数是 1 1；（2 2）常数项
9、是两个数的乘积；）常数项是两个数的乘积；（3 3）一次项系数是常数项的两因数的和。）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？思考：十字相乘有什么基本规律？例例. .已知已知 0 0a 5 5， 且且a为整数，为整数， 若若2x 3xa能用十字相乘法分解因式，能用十字相乘法分解因式， 求符合条件的求符合条件的a. .2解析：凡是能十字相乘的二次三项解析：凡是能十字相乘的二次三项 式式 axax2 2+bx+c+bx+c，都要求，都要求 b24ac00 而而且是一个完全平方数。且是一个完全平方数。于是于是 98a为完全平方数，为完全平方数，a 1例例 5 5、分解因式：、分解
10、因式：x 5x 62分析：将分析：将 6 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5 5。由于由于 6=26=2 3=(-2)3=(-2) (-3)=1(-3)=1 6=(-1)6=(-1) (-6)(-6)，从中可以发现只有，从中可以发现只有 2 2 3 3 的分解适合，的分解适合，即即 2+3=52+3=5。1 12 22解：解：x 5x 6= =x (2 3)x 231 13 32= =(x 2)(x 3)1 1 2+12+1 3=53=5用此方法进行分解的关键：用此方法进行分解的关键： 将常数项分解成两个因数的积，将常数项分解成两个因数的积， 且这两
11、个因数的代数和要等于一且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。次项的系数。例例 6 6、分解因式：、分解因式：x 7x 62解：原式解：原式= =x (1)(6)x (1)(6)1 1-1-12= =(x 1)(x 6)1 1-6-6（-1-1）+ +（-6-6）= -7= -7练习练习 5 5、分解因式、分解因式(1)(1)x 14x 24(2)(2)a 15a 36(3)(3)x 4x 522222练习练习 6 6、分解因式、分解因式(1)(1)x x 2(2)(2)y 2y 15(3)(3)x 10x 242大全实用文档（二）二次项系数不为（二）二次项系数不为 1 1 的二次三项式的二次
12、三项式ax bx c2条件：条件： （1 1）a a1a2a1c1（2 2）c c1c2a2c2（3 3）b a1c2 a2c1b a1c2 a2c1分解结果：分解结果：ax bx c= =(a1x c1)(a2x c2)2例例 7 7、分解因式：、分解因式：3x 11x 102分析：分析：1 1-2-23 3-5-5（-6-6）+ +（-5-5）= -11= -11解：解：3x 11x 10= =(x 2)(3x 5)2练习练习 7 7、分解因式：、分解因式： （1 1）5x 7x 6（2 2）3x 7x 2222（3 3）10x 17x 3（4 4） 6y 11y 102（三）二次项系数为
13、（三）二次项系数为 1 1 的齐次多项式的齐次多项式例例 8 8、分解因式：、分解因式：a 8ab 128b分析：将分析：将b看成常数，把原多项式看成关于看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 18b8b1 1-16b-16b8b+(-16b)= -8b8b+(-16b)= -8b22解：解：a 8ab 128b= =a 8b (16b)a 8b(16b)222= =(a 8b)(a 16b)2222练习练习 8 8、分解因式、分解因式(1)(1)x 3xy 2y(2)(2)m 6mn 8n(3)(3)a ab 6b22（四
14、）二次项系数不为（四）二次项系数不为 1 1 的齐次多项式的齐次多项式例例 9 9、2x 7xy 6y例例 1010、x y 3xy 21 1-2y-2y把把xy看作一个整体看作一个整体1 1-1-12 2-3y-3y1 1-2-2大全2222实用文档(-3y)+(-4y)= -7y(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3(-1)+(-2)= -3解：原式解：原式= =(x 2y)(2x 3y)解：原式解：原式= =(xy1)(xy2)22练习练习 9 9、分解因式：、分解因式： （1 1）15x 7xy 4y（2 2）a x 6ax 82263综合练习综合练习 1010、
15、（1 1）8x 7x 1（2 2）12x 11xy 15y22（3 3）(x y)3(x y)10（4 4）(a b) 4a 4b 32222（5 5）x y 5x y 6x（6 6）m 4mn 4n 3m 6n 22222（7 7）x 4xy 4y 2x 4y 3（8 8）5(a b) 23(a b ) 10(a b)222222（9 9）4x 4xy 6x 3y y 10（1010）12(x y) 11(x y ) 2(x y)222222思考：分解因式：思考：分解因式：abcx (a b c )x abc2222五、换元法。五、换元法。例例 1313、分解因式（、分解因式（1 1）200
16、5x (20051)x 200522（2 2）(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x解：解： （1 1）设）设 2005=2005=a，则原式，则原式= =ax (a 1)x a222= =(ax 1)(x a)= =(2005x 1)(x 2005)（2 2）型如）型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式原式= =(x 7x 6)(x 5x 6) x设设x2 5x 6 A，则，则x27x6A2x原式原式= =(A 2x)A x= =A2 2Ax x2= =(A x)= =(x 6x 6)练习练习 1313、分解
17、因式（、分解因式（1 1）(x xy y)4xy(x y)222222222222（2 2）(x 3x 2)(4x 8x 3)9022（3 3）(a 1) (a 5) 4(a 3)432例例 1414、分解因式（、分解因式（1 1）2x x 6x x 2222222观察：此多项式的特点是关于观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少的降幂排列，每一项的次数依次少1 1，并且系数成“轴，并且系数成“轴对称”对称” 。这种多项式属于“等距离多项式”。这种多项式属于“等距离多项式” 。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，
18、然后再用换元法。解：原式解：原式= =x2(2x2 x 611112)= =x22(x22) (x ) 6xxxx大全实用文档11t，则，则x22 t22xx22t22)t 6= =x22t2t 10原式原式= =x （212= =x2t 5t 2= =x22x 5x 2xx2122= =xx2x 5 x 2= =2x 5x 2x 2x 1xx设设x = =(x 1) (2x 1)(x 2)2（2 2）x44x3 x24x 1411 12)= =x2x224x 1xxxx11设设x y，则，则x22 y22xx222原式原式= =x (y 4y 3)= =x (y 1)(y 3)1122= =
19、x2(x 1)(x 3)= =x x 1x 3x 1xx练习练习 1414、 （1 1）6x47x336x27x 64322（2 2）x 2x x 12(x x)解：原式解：原式= =x2(x24x1六、添项、拆项、配方法。六、添项、拆项、配方法。例例 1515、分解因式（、分解因式（1 1）x33x24解法解法 1 1拆项。拆项。解法解法 2 2添项。添项。原式原式= =x313x23原式原式= =x33x2 4x 4x 4= = =(x 1)(x2 x 1)3(x 1)(x 1)(x 1)(x2 x 13x 3)222= = =2x(x23x 4) (4x 4)x(x 1)(x 4) 4(
20、x 1)= =(x 1)(x 4x 4)= =(x 1)(x 4x 4)= =(x 1)(x 2)= =(x 1)(x 2)（2 2）x9 x6 x33解：原式解：原式= =(x 1)(x 1)(x 1)963= =(x 1)(x x 1)(x 1)(x 1)(x 1)363333= =(x 1)(x x 1 x 11)3633= =(x 1)(x x 1)(x 2x 3)263练习练习 1515、分解因式、分解因式3（1 1）x 9x 8（2 2）(x 1) (x 1) (x 1)422442422（3 3）x 7x 1（4 4）x x 2ax 1 a222222444（5 5）x y (x
21、 y)（6 6）2a b 2a c 2b c a b c444大全实用文档七、待定系数法。七、待定系数法。例例 1616、分解因式、分解因式x xy 6y x 13y 622分析：原式的前分析：原式的前3 3 项项x xy 6y可以分为可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式必定可分为，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x 2y n)解：设解：设x xy 6y x 13y 6= =(x 3y m)(x 2y n)2222 (x 3y m)(x 2y n)= =x xy 6y (m n)x (3n 2m)y mn22 x xy 6y x 13y 6= =x xy 6y (m n)x (3
22、n 2m)y mn2222m n 1m 2对比左右两边相同项的系数可得对比左右两边相同项的系数可得3n 2m 13，解得，解得n 3mn 6原式原式= =(x 3y 2)(x 2y 3)例例 1717、 （1 1）当）当m为何值时，多项式为何值时，多项式x y mx 5y 6能分解因式，并分解此多项式。能分解因式，并分解此多项式。22（2 2）如果）如果x3ax2bx 8有两个因式为有两个因式为x1和和x2，求，求ab的值。的值。（ 1 1 ） 分分 析析 ： 前前 两两 项项 可可 以以 分分 解解 为为(x y)(x y)， 故故 此此 多多 项项 式式 分分 解解 的的 形形 式式 必必
23、 为为(x y a)(x y b)解：设解：设x y mx 5y 6= =(x y a)(x y b)2222则则x y mx 5y 6= =x y (a b)x (b a)y ab22a b ma 2a 2比较对应的系数可得：比较对应的系数可得：ba 5，解得：，解得：b 3或或b 3ab 6m 1m 1当当m 1时，原多项式可以分解；时，原多项式可以分解；当当m 1时，原式时，原式= =(x y 2)(x y 3)；当当m 1时，原式时，原式= =(x y 2)(x y 3)（2 2）分析：）分析：x3ax2bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因是一个三次式，所以
24、它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如式必为形如xc的一次二项式。的一次二项式。32解：设解：设x ax bx 8= =(x 1)(x 2)(x c)32则则x ax bx 8= =x (3 c)x (23c)x 2c32a 3ca 7 b 23c解得解得b 14，2c 8c 4 ab= =21大全实用文档练习练习 1717、 （1 1）分解因式）分解因式x 3xy 10y x 9y 222（2 2）分解因式）分解因式x 3xy 2y 5x 7y 622（3 3） 已知：已知：x 2xy 3y 6x 14y p能分解成两个一次因式之积，能分解成两个一次因式之积， 求常数求常数p并并2
25、2且分解因式。且分解因式。（4 4）k为何值时，为何值时，x 2xy ky 3x 5y 2能分解成两个一次因式的乘积，并能分解成两个一次因式的乘积，并22分解此多项式。分解此多项式。经典题型经典题型例例 0101 选择题：对2mmpnp2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）（A）(2m 2n np) mp（B）(2m np) (2n mp)（C）(2m2n)(mpnm)（D）(2m 2n mp) np分析分析本组题目用来判断分组是否适当.（A）的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确； （B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确； （D）中两组也无公因式可提，故（D
26、）不正确.（C）中第一组可提取公因式 2，剩下因式(mn)；第二组可提取这样组间可提公因式(mn)，故（C）正确.典型例题二典型例题二例例 0202用分组分解法分解因式：（1）7x3yxy21x； （2）1 x 4xy 4y.222p，剩下因式(mn)，分析分析本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.解解7x3yxy21x2 (7x221x)(3y xy)（合理分组） 7x(x3) y(x3)（组内提公因式） (x3)(7x y)（组间提公因式）大全实用文档1 x 4xy 4y221(x24xy 4y2)（注意符号）1(x2y
27、)2（组内运用公式）1 (x 2y)1(x 2y)（组间运用公式） (1 x2y)(1 x2y)说明说明分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可根据分组后“求同”有公因式或可运用公式的原则来合理分组，达到分解的目的.另外在应用分组分解法时还应注意：运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归.分组时要添加带“”的括号时，各项要注意改变符号，如的第一步.典型例题三典型例题三例例 0303 分解因式：5x 15x x332分析分析本题按字母x的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为5，15，1，3.系数比相等的有515153232或， 因而可
28、分组为(5x x)、(15x 3)或(5x 15x )、15313(x3).解法一解法一5x 15x x332 (5x315x2)(x3)（学会分组的技巧） 5x2(x3)(x3) (x3)(5x21)解法二解法二5x 15x x332 (5x3 x)(15x23) x(5x21)3(5x21)大全实用文档 (5x21)(x3)说明说明根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！典型例题四典型例题四例例 0404 分解因式：7x3yxy21x2分析分析本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.解法一解法一7x3yxy21x2
29、 (7x221x)(3y xy) 7x(x3) y(x3) (x3)(7x y)解法二解法二7x3yxy21x2 (7x2 xy)(3y 21x) x(7x y)3(7x y) (x3)(7x y)说明本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式， 并不是只要所分组的项数相等， 便可完成因式分解.要使分解成功， 需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用 “对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度.典型例题五典型例题五例例 0505把下列各式分解因式：（1）xy xz y 2yz z；（2）a222b2c22bc2a1；大全实用文档（
30、3）x 4xy 4y 2x4y 1.22分析分析此组题项数较多，考虑用分组法来分解.解法解法（1）xy xz y 2yz z22 (xy xz)(y22yz z2) x(y z)(y z)2 (y z)(x y z)（2）a2b2c22bc2a1 (a22a1)(b22bcc2) (a1)2(bc)2 (a1bc)(a1bc)（3）x 4xy 4y 2x4y 122 (x2 4xy 4y2)(2x4y)1 (x 2y)2 2(x 2y) 1 (x2y 1)2说明说明对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.如中， “
31、交叉项”为2yz，相应的平方项为y、z；中， “交叉项”为2bc，相应的22平方项为b、c.典型例题六典型例题六例例 0606分解因式：（1）a 5a6； （2）m 3m10.2222分析分析本题两例属于x (p q)x pq型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.2大全实用文档解解（1）6 (2)(3)，(2)(3) 5，a25a6 a2(23)a(2)(3) (a 2)(a 3)（2）10 25，253，m23m10 m25(2)m(5)(2) (m5)(n2).说明说明抓住符号变化的规律，直接运用规律.典型例题七典型例题七例例 0707分解因式：（1）(a b)5(a b)4；2（2）p
32、 7pq 12q.分析分析对（1） ，利用整体思想，将(a b)看作一个字母，则运用x (p q)x pq型分222解；对（2） ，将其看作关于p的二次三项式，则一次项系数为7p，常数项为12q2，仍可用x2(p q)x pq型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.解解（1）(a b)5(a b)42 (ab1)(ab4)（2）12q (3q)(4q)，3q(4q) 7q，2p27pq 12q2 p27pq 12q2 (p3q)(p4q).典型例题八典型例题八例例 0808分解因式：大全实用文档x x x1；43p5pq6qp3q；22a(a1)(a1)b(b1)(b1)；a24b2a2b4b
33、cc2c.分析分析本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解.解解法一：x x x143 (x4 x3)(x1) x3(x1)(x1) (x1)(x31)（x31可继续分解，方法很简单：(x3 x) (x 1)，对于x31方法类似，可以自己探索） (x1)(x1)(x2 x1)法二：x x x143 (x41) (x3 x) (x21)(x21) x(x21) (x21)(x21 x) (x1)(x1)(x2 x1)法三：x x x143 (x4 x)(x31) x(x31)(x31) (x31)(x1) (x1)(x2 x1)(x1)p5pq6qp3q22大全实用文档
34、 (p25pq 6q2)(p3q)（看作x2(ab)xab型式子分解） (p2q)(p3q)(p3q) (p3q)(p2q1)a(a 1)(a 1)b(b 1)(b 1) a(a21) b(b21) a3ab3b (a3b3)(ab) (ab)(a2abb2)(ab) (a b)(a2abb21)a24b2a2b4bcc2c a2(4b24bcc2)(a2bc) a2(2bc)2(a2bc)a(2bc)a(2bc)(a2bc) (a2bc)(a2bc)(a2bc) (a2bc)(a2bc1)说明中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不仅
35、达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用了x (ab)xab型二次三项式的因式分解.将p 5pq 6q看做关于222p的二次三项式6q2q3q，p 5qp6q p (2q3q)p 2q3q.2222式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法.大全实用文档式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破.但应注意：不可混淆因式分解与整式乘法的意义.如小题中做乘法的目的是为了分解因式，
36、不可在分解中，半路再返回做乘法.善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如小题中p 5pq 6q.典型例题九典型例题九例例 0909分解因式：（1）x(x1)(x2)6； （2）ab(x 1) x(a b)22222分析分析本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.解解x(x1)(x2)6 x(x23x2)6 x33x22x6（乘法运算，去括号） (x33x2)(2x6)（重新分组） x2(x3)2(x3) (x3)(x22)ab(x 1) x(a b)222 abx2aba2xb2x（乘
37、法运算去括号） (abx2a2x)(abb2x)（重新分组） ax(bxa)b(bxa) (axb)(abx)说明“先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.大全实用文档典型例题十典型例题十例例 1010分解因式a 7a63分析分析因式分解一般思路是： “一提、二代、三分组、其次考虑规律式（十字相乘法）” .即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解； 再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式” （或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.解解a37a6
38、 a37a17 (a31)(7a7) (a 1)(a2 a 1) 7(a 1) (a 1)(a2 a 1 7) (a1)(a2a6) (a1)(a2)(a3)说明说明当a 1时，多项式a 7a6值为 0，因而(a1)是a 7a6的一个因式，因33此，可从“凑因子”(a1)的角度考虑，把 6 拆成17，使分组可行，分解成功.运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.法二：a 7a63 a3a6a6 (a3 a) (6a 6) a(a 1) 6(a 1)2 a(a1)(a1)6(a1) (a1)(a2a6) (a1)(a2)(a3)法三：a 7a63大全实用文档 a37a814 (a38)(7a1
39、4)（凑立方项） (a 2)(a2 2a 4)7(a 2) (a2)(a2 2a 47) (a2)(a22a3) (a 2)(a 1)(a 3)法四：a 7a63 a37a2721（与a3凑立方项） (a327)(7a21) (a3)(a23a9)7(a3)（套用a3b3公式） (a3)(a23a97) (a3)(a23a2) (a3)(a1)(a2)法五：a 7a63 a34a3a6（拆7a项） (a34a)(3a6) a(a24)3(a2) a(a2)(a2)3(a2) (a2)(a22a3) (a2)(a1)(a3)法六：a 7a63 a39a2a6（凑平方差公式变7a项）大全实用文档
40、(a39a)(2a6) a(a29)2(a3) a(a3)(a3)2(a3) (a3)(a23a2) (a3)(a1)(a2)法七：令a x1则（a1为多项式一个因式，做变换x a1）a37a6 (x1)37(x1)6 x33x23x17x76（做乘法展开） x33x24x x(x23x 4) x(x 1)(x 4) (x11)(x12)(x13) (a 1)(a 2)(a 3)（还原回a）说明说明以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧“拆项”（或添项） ，这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的 .“凑”时，需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变
41、换的方法，通过换元寻找突破点.本题还可以如下变形：a 7a6(a a ) (a 7a 6) a (a 1) (a 1)(a 6)33222典型例题十一典型例题十一例例 1111若4x kx25是完全平方式，求k的值.222分析分析原式为完全平方式，由4x (2x)，25 5即知为(2x5)，展开即得k值.解解4x kx25是完全平方式222应为(2x5)2大全实用文档又(2x5)4x 20x25，22故k 20.说明说明完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定k值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆向思维类，运用a 2abb (ab)来求解.典型例题十一典型例题十一例例 1111 把下列各
42、式分解因式：（1）x 8x16；（2）a 14a b 49b24236222（3）9(2ab)6(2ab)12解解： （1）由于 16 可以看作4，于是有2x28x16 x22x442 (x4)；（2）由幂的乘方公式，a可以看作(a )，49b可以看作(7b )，于是有4222632a414a2b349b6 (a2)22a27b3(7b3)2 (a 7b )；（3）由积的乘方公式，9(2a b)可以看作3(2ab)，于是有222329(2ab)26(2ab)13(2ab)223(2ab)113(2a b)12 (6a 3b1)2说明说明（1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解
43、：可以看成是关于某个字母的二次三项式；其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；其余的一项恰是这两数乘积的 2 倍，或这两数乘积 2 倍的相反数. 而结果是“和”的平方还是“差”的大全实用文档平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同.（2）在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.典型例题十二典型例题十二例例 1212求证：对于任意自然数n，3n22n33n2n1一定是 10 的倍数.分析分析欲证是 10 的倍数，看原式可否化成含 10 的因式的积的形式.证明证明3n22n33n2n1 (3n23n)(2n3 2
44、n1) 3n(321)2n(232) 3n102n1010(3n2n)10(3n2n)是 10 的倍数，3n22n33n2n1一定是 10 的倍数.典型例题十三典型例题十三例例 1313因式分解（1）a xa yb xb y；（2）mxmx nnx22222解解： （1）a x a y b x b y (a x a b)(b x b y)22222222 a(x y)b(x y)22(x y)(a b)22或a2xa2y b2xb2y (a2xb2x)(a2y b2y) x(a b) y(a b)2222(a b)(x y)；22大全实用文档（2）mx mx nnx (mx mx)(nnx)2
45、2 mx(1 x)n(1 x) (1 x)(mxn)或mxmx2nnx (mx2nx)(nxn) x(mxn)(mxn) (mxn)(x1)说明说明： （1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。因此，分组分解因式要有预见性；（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变；（4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解典型例题十四典型例题十四例例 1414把下列各式分解因式：（1）a4ba2b；（2）x a 2abb；32222（3）ax a
46、x axa22解解： （1）a 4b a2b (a 4b)(a2b)2222 (a2b)(a2b)(a2b) (a2b)(a2b1)（2）x a 2abb x (a 2abb)222222 x (ab)22大全实用文档x(ab)x(ab) (xab)(xab)（3）ax ax axa a(x x x1)3232 a(x x)(x1)32 ax(x1)(x1)2 a(x1)(x 1)2或ax ax ax a a(x x)(x 1)3232 a(x 1)(x1)2或ax ax axa a(x 1)(x x)3232 a(x1)(x x1) x(x1)2 a(x1)(x x1 x)2 a(x1)(x
47、 1)2说明说明： （1）要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。如，x2a22abb2 (x2a2)(2abb2) (xa)(xa)b(2ab) ，就会分解不下去了；（2）有公因式时， “首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后更便于观察分组情况，预测结果；（3）对于一道题中的多种分组方法，要善于选择使分解过程简单的分组方法，如题中前两种分组显然优于后者。典型例题十五典型例题十五例例 1515把下列各式分解因式大全实用文档（1）x x 2； （2）x 2x 15.22分析分析 （1）x x 2
48、的二次项系数是 1， 常数项 2=(1)2， 一次项系数 1=(1) 2，2故这是一个x (p q)x pq型式子.2（ 2 ）x 2x 15的 二 次 项 系 数 是 1 ， 常 数 项215=(5)3， 一 次 项 系 数 2 (5) 3，故这也是一个x2 (p q)x pq型式子.解解： （1）因为 2=(1)2，并且 1=(1) 2，所以x2 x 2=(x 2)(x 1).(2) 因为15=(5)3， 2 (5)3，所以x2 2x 15=(x 5)(x 3).说明说明：因式分解时常数项因数分解的一般规律：（1）常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同.(2) 常数
49、项是负数时,它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同.典型例题十六典型例题十六例例 1616将m x 2mx 35分解因式22分析分析： 此例不能直接用提公因式法或运用公式法分解因式，用分组分解法又不具备运用分组分解法的题目特点，而用x (p q)x pq型式子分解因式其二次项系数不是 1，而是m，22故在上述都不能的情况下，想方法将mx看成y，则这个二次三项式就可以化成y 2y 35，2即可符合x (p q)x pq型式子，故可分解因式.2解解：设mx 2y，则原式=y 2y 35 (y 7)(y 5) (mx 7)(mx 5)所以，m x 2mx 35 (mx 7)(mx 5).22大全实用文档说说明明：今后应细心审题观察题目的特征，若能利用整体换元的思想将多项式化为x2 (p q)x pq型的式子即可因式分解.大全
