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1、定积分的应用 若能把某个量表示若能把某个量表示成定积分成定积分,我们就可以我们就可以应用定积分计算这个量应用定积分计算这个量第六章1(3) 求和，求和，(4) 求极限，求极限，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，个小窄曲边梯形，小窄曲边梯形的面积为小窄曲边梯形的面积为则则(2)计算计算的近似值，的近似值，而第而第i个个(1)把区间把区间a,b分成分成n个长度为个长度为的小区间的小区间得得A的近似值的近似值,得得A的精确值的精确值.回顾：回顾：曲边梯形的曲边梯形的面积面积表示为表示为定积分定积分的步骤：的步骤：ab xyo2abxyo对以上过程进行简化对以上过程进行简化:的
2、面积，的面积，则则取取面积元素面积元素若用若用表示任一小区间表示任一小区间上的窄曲边梯形上的窄曲边梯形这种简化以后的定积分方法叫这种简化以后的定积分方法叫“微元法微元法”或或“元素法元素法”3一、定积分的一、定积分的元素法元素法1.什么问题可以用定积分（元素法）解决什么问题可以用定积分（元素法）解决 ?表示为表示为1) 所求量所求量 U 是与区间是与区间a , b上有定义的上有定义的f (x) 有关的有关的2) U 对区间对区间 a , b 具有具有可加性可加性 , 即可通过即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”定积分定义定积分定义一个整体量一个整体量 ;4第
3、一步，第一步，根据具体情况根据具体情况，选取积分变量，选取积分变量，确定确定x的变化的变化 区间区间a,b.第二步，第二步，把区间把区间a,b分成分成n个小区间，个小区间， 取一代表区间取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的求出该区间上所求量的部分量的称为量称为量U的微元的微元.第三步，第三步，写出定积分的表达式：写出定积分的表达式：近似表达式近似表达式这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法元素的几何形状常取为元素的几何形状常取为: 条条,带带,段段,环环,扇扇,片片,壳壳等等先作图先作图先作图先作图2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：5
4、3.使用元素法时应注意：使用元素法时应注意：使用元素法时应注意：使用元素法时应注意： (1)U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间a,b有关的量有关的量.(2)U对于区间对于区间a,b具有可加性，具有可加性，则则U相应地分成许多相应地分成许多即如果把区间即如果把区间a,b分成许多部分区间，分成许多部分区间，部分量，部分量， 而而U等于所有部分量之和等于所有部分量之和.则则U在在a,b 上的值可由定积分上的值可由定积分示为示为(3) 在在a,b中任取的小区间中任取的小区间上的部分量上的部分量与区间长度与区间长度可以通过可以通过x的某函数的某函数乘积近似表乘积近似表来计算来计算.61.
5、直角坐标系下平面图形面积的计算直角坐标系下平面图形面积的计算梯形的面积为梯形的面积为 A.X X 型型型型(2)(2)由曲线由曲线由曲线由曲线所围图形的面积所围图形的面积.其面积元素为：其面积元素为：则面积为则面积为上曲线上曲线上曲线上曲线下曲线下曲线下曲线下曲线二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用7(4)(4)由曲线由曲线由曲线由曲线所围图形的面积所围图形的面积.其面积元素为：其面积元素为：则面积为则面积为右曲线右曲线右曲线右曲线左曲线左曲线左曲线左曲线xoycdxyocdy+dyyy+dyy的面积的面积A.Y Y 型型型型8总之总之总之总之9回顾：极坐标系回顾：极坐标系1.
6、 极坐标系的定义：极坐标系的定义： 在平面上取定一点在平面上取定一点o， 叫做叫做极点极点.从极点出发引一条射线从极点出发引一条射线Ox,叫叫极轴极轴， 并取定一个并取定一个长度单位长度单位和计算角度的和计算角度的正方向正方向(通常取通常取逆时针方向作正方向逆时针方向作正方向),这样这样就建立了一个就建立了一个平面极坐标系平面极坐标系.x1 2 3 4o.2. 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化xoyyx10过点过点M(a,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程且垂直于极轴的直线的极坐标方程 过极点且倾角为过极点且倾角为的射线的极坐标方程为的射线的极坐标方程为xoyxo.Mby极坐标与直
7、角坐标的极坐标与直角坐标的关系关系:轴的直线方程为轴的直线方程为 过点过点M 且平行于极且平行于极3. 几个常用曲线的极坐标方程几个常用曲线的极坐标方程xoyM(a,0)11xory圆极坐标方程圆极坐标方程oxy2aoxy2a 圆极坐标方程圆极坐标方程圆极坐标方程圆极坐标方程122. 极坐标系下平面图形面积的计算极坐标系下平面图形面积的计算求由曲线求由曲线及及围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积.解解:在区间在区间上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为133.已知平行截面面积函数的立体体积
8、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), 则在小区间则在小区间的体积元素为：的体积元素为：立体体积为：立体体积为：上连续上连续,xA(x)xab14(1)曲边梯形曲边梯形旋转一周围成的旋转体的体积为：旋转一周围成的旋转体的体积为：(2)曲边梯形曲边梯形绕绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为：轴旋转一周围成的旋转体体积为：4.旋转体的体积旋转体的体积15abyxoxdx生成的旋转的体积生成的旋转的体积.u求旋转体体积求旋转体体积x+dx内表面积：内表面积： 柱壳法柱壳法16abyxoxdx生成的旋转的体积生成的旋转的体积.u求旋转体
9、体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法x+dx底面积：底面积：17围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周轴旋转一周所以：由连续曲线所以：由连续曲线类似地，类似地， 如果旋转体是由如果旋转体是由连续曲线连续曲线而成的立体的体积而成的立体的体积.而成的立体的体积而成的立体的体积.185. 弧长弧长 (数数1、数、数2)yxoab(2)参数方程参数方程(3)极坐标方程极坐标方程注意注意: 求弧长时积分上求弧长时积分上下限必须下限必须上大下小上大下小196.旋转体的侧面积旋转体的侧面积(数数1、数、数2)设平面光滑曲线设平面光滑曲线求求它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得到
10、的旋转曲面的侧面积 .积分后得旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积取侧面积元素取侧面积元素:(注意在不同坐标系注意在不同坐标系下下 ds 的表达式的表达式)20X X 型型型型Y Y 型型型型请熟记以下公式：请熟记以下公式：21注意：注意：1) 以上公式都要求以上公式都要求2) 复杂图形应学会分割复杂图形应学会分割.3) 不能用公式时应会元素法不能用公式时应会元素法.4)若曲边梯形的曲边为参数方程若曲边梯形的曲边为参数方程则上述公式可以用定积分的换元法处理则上述公式可以用定积分的换元法处理.5)若曲边梯形的曲边为极坐标方程若曲边梯形的曲边为极坐标方程则可转化为直角坐标系下的参数方程：则可转化为
11、直角坐标系下的参数方程：6)与弧长有关时与弧长有关时,其限应其限应上大下小上大下小.22解解:典型例题分析典型例题分析23解解:24xyoAB解：解：依题意有依题意有25例例4. 计算抛物线计算抛物线解：解： 如图，如图， 求两曲线的交点求两曲线的交点26而成的而成的旋转体的体积旋转体的体积.分析：分析： 无公式可用无公式可用,可用元素法可用元素法.如图如图:例例5. 解法解法1:选择选择 y 作积分变量作积分变量,解法解法2:选择选择 x 作积分变量作积分变量,27思考思考:过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线轴围成平面图形轴围成平面图形D.解解: (1) 设切点的横坐标为设切点的横坐标为则所求
12、切线方程为则所求切线方程为由切线过原点知由切线过原点知的切线的切线. 该切线与该切线与故切线方程为故切线方程为1(2003考研考研)(1) 求求 D 的面积的面积;(2) 求求D 绕直线绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积.28(2) 求求D 绕直线绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积.(2) 切线、切线、x 轴及直线轴及直线所围三角形绕直线所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为：旋转所得圆锥的体积为：曲线、曲线、x 轴及直线轴及直线所围图形绕直线所围图形绕直线旋转所旋转所因此所求旋转体体积为：因此所求旋转体体积为：得旋转体体积为：
13、得旋转体体积为：129解解:30解解:31解解:32解解:33(1)求由摆线求由摆线的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .(2) 计算摆线计算摆线的一拱与的一拱与 y0所围所围成的图形分别绕成的图形分别绕 x 轴轴 ,y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积 .(3) 计算摆线计算摆线的一拱的长度的一拱的长度.练习题：练习题：34提示提示:计算摆线计算摆线平面图形分别绕平面图形分别绕 x 轴轴 , y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.解：解：绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为P280例例8用柱壳法求用柱壳法求 较好较好35证证: 设正弦线的
14、弧长等于设正弦线的弧长等于设椭圆的弧长等于设椭圆的弧长等于设椭圆的弧长等于设椭圆的弧长等于例例7. 证明正弦线证明正弦线的弧长等于的弧长等于椭圆椭圆的周长的周长.故原结论成立故原结论成立.36试用定积分求圆试用定积分求圆上上半圆为半圆为下下求体积求体积 :解解:方法方法1 利用对称性利用对称性而成的环体体积而成的环体体积 V 及表面积及表面积 S .方法方法2 用柱壳法用柱壳法例例8.37上上半圆为半圆为下下解解:求侧面积求侧面积 :试用定积分求圆试用定积分求圆而成的环体体积而成的环体体积 V 及表面积及表面积 S .例例8.38解：解：如图如图立体的体积立体的体积.例例9. 39例例10.在
15、在 x0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数, 旋转一周所成旋转体体积旋转一周所成旋转体体积 , 证明证明:证证: 利用柱壳法利用柱壳法则则故故40思考题：思考题：(94 年数年数):求曲线求曲线与与 x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y=3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积.41解：解： 利用对称性利用对称性 ,故故旋转体体积旋转体体积为为在第一象限在第一象限 (94 年数年数):求曲线求曲线与与 x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y=3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积.42回顾：回顾： 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、定积分在物理上的应用
16、二、定积分在物理上的应用设物体在连续变力设物体在连续变力 F(x) 作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 x a 移动到移动到力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功求变力所做的功 .在其上所作的功元素为在其上所作的功元素为因此变力因此变力F(x) 在区间在区间 上所作的功为上所作的功为解：解：4301x解解:设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次第一次锤击时所作的功为锤击时所作的功为例例1. 用铁锤将一铁钉击入木板用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成铁钉击入木板的深度成正比正比, 在击第一次时在击第一次时,将铁钉击入将铁
17、钉击入木板木板1厘米厘米,如果如果铁锤铁锤每次锤击每次锤击铁钉铁钉所作的功相等所作的功相等,问锤问锤击第击第 二二 次时次时,又将铁钉击入多少？又将铁钉击入多少？h设两次击入的总深度为设两次击入的总深度为 厘米厘米依题意知依题意知:故第二次击入的深度为故第二次击入的深度为P292P292第第第第5 5题题题题44谢谢 谢谢 大大 家！再家！再见见例例2. 设有一长度为设有一长度为 l, 线密度为线密度为 (x) 的细直棒的细直棒,求该棒的质量求该棒的质量m及平均密度及平均密度.解：解：建立坐标系如图建立坐标系如图.细棒上小段细棒上小段对应的质量微元为对应的质量微元为:平均密度为：平均密度为：45
