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1、第三节第三节 M/M/1M/M/1排队模型排队模型一.标准的M/M/1模型（M/M/1/ ）1.问题的一般提法设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制求：（1）系统状态概率Pn； （2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。1优学课堂2. 系统状态概率（1）利用状态转移图列出平衡方程 状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具，设到达与服务率分别为 ，则由此列出平衡方程： . . n-1nn+10 2 1 2优学课堂由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程可解得状态概率：记 ，称为服务强度，规定 （为什么？），则（2）由平衡方程解得状态概率3优学课堂n n在在M/M/1/M/
2、M/1/ 的实际意义的实际意义表达式不同，含义不同。表达式不同，含义不同。1) 1) 服务员在为一位顾客平均服务时间内，到达系统内的顾客数。服务员在为一位顾客平均服务时间内，到达系统内的顾客数。2) 2) 上述平均时间占顾客到达平均时间间隔之比，称服务强度。上述平均时间占顾客到达平均时间间隔之比，称服务强度。3) 3) 服务机构的利用率，刻画服务机构的繁忙程度。服务机构的利用率，刻画服务机构的繁忙程度。4) 4) 在服务台上被服务的顾客的平均数。在服务台上被服务的顾客的平均数。5) 5) 反映顾客等待服务的时间占在系统内逗留的时间之比。反映顾客等待服务的时间占在系统内逗留的时间之比。4优学课堂
3、3. 系统运行指标系统运行指标（1）Ls与Lq5优学课堂因为是均值。（2）Ws与Wq6优学课堂（3）上述4个指标之间的关系里特公式例2 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从泊松分布，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）店内顾客的平均数；（5）顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的顾客平均数；（7）平均等待修理时间；（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。7优学课堂8优学课堂二.系统容量有限的M/M/1模型（M/M/1/ ）1.与（M/M/1/ ）的区别9优学课堂2.
4、状态概率由此列出平衡方程：nn-1 . . n+1K-1K2 1010优学课堂3 3. . 系统系统系统系统运行指标运行指标运行指标运行指标11优学课堂例3 某修理站只有1个修理工，且站内最多只能停放3台待修理的机器。设待修理的机器按泊松流到达，平均每小时到达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25小时可修理1台。试求：（1）站内空闲率；（2）顾客损失率；（3）有效到达率；（4）站内平均队长；（5）机器为修理而需等待的平均时间。12优学课堂例例例例4 4：为开办一个小型汽车冲洗站，必须决定提供等为开办一个小型汽车冲洗站，必须决定提供等为开办一个小型汽车冲洗站，必须决定提供等为开办一个小型汽
5、车冲洗站，必须决定提供等待汽车使用的场地大小。设要冲洗的汽车到达服从待汽车使用的场地大小。设要冲洗的汽车到达服从待汽车使用的场地大小。设要冲洗的汽车到达服从待汽车使用的场地大小。设要冲洗的汽车到达服从泊松分布，平均每泊松分布，平均每泊松分布，平均每泊松分布，平均每4 4分钟分钟分钟分钟1 1辆，冲洗的时间服从负指辆，冲洗的时间服从负指辆，冲洗的时间服从负指辆，冲洗的时间服从负指数分布，平均每数分布，平均每数分布，平均每数分布，平均每3 3分钟洗分钟洗分钟洗分钟洗1 1辆。试计算当所提供的场辆。试计算当所提供的场辆。试计算当所提供的场辆。试计算当所提供的场地仅能容纳（地仅能容纳（地仅能容纳（地仅
6、能容纳（a a）1 1辆；（辆；（辆；（辆；（b b）3 3辆；（辆；（辆；（辆；（c c）5 5辆（包括辆（包括辆（包括辆（包括正在被冲洗的正在被冲洗的正在被冲洗的正在被冲洗的1 1辆辆辆辆）时，由于等待场地不足而转向其时，由于等待场地不足而转向其时，由于等待场地不足而转向其时，由于等待场地不足而转向其它冲洗站的汽车的比例。它冲洗站的汽车的比例。它冲洗站的汽车的比例。它冲洗站的汽车的比例。13优学课堂14优学课堂三.顾客源有限的M/M/1模型（M/M/1/ ）1.与（M/M/1/ ）的区别15优学课堂说明（进入率与状态有关）：如m=5，n=3，如下图所示进入的或甲或乙或丙，故16优学课堂由此
7、列出平衡方程：nn-1 . . n+1m-1m2 102. 状态概率17优学课堂3 3. . 系统系统系统系统运行指标运行指标运行指标运行指标问题： 的直观意义为何？18优学课堂例例例例5 5： 某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为15分钟。有1个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次需12分钟。 求（1）修理工空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均台数；（4）等待修理机器的平均台数；（5）每台机器的平均停工时间；（6）每台机器的平均等待修理时间。19优学课堂求（1）修理工空闲的概率；（2）5台机器都出故障的概率；（3）出故障机器的平均台数；（4）等待修理机器的平均台数；（5）每台机器的平均停工时间；（6）每台机器的平均等待修理时间。该排队系统的指标计算的结论是什么？机器停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间应当提高服务率或增加修理工，或购置高效机器减少需修理率。20优学课堂
