《《高等数学》例题解析-第二十讲 二阶线性微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》例题解析-第二十讲 二阶线性微分方程（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十讲：二阶线性微分方程 一、单项选择题 131以212xxyc ec e为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 ( ) A 6yyy 000.B 60yyyC 6yyyD 60yyy解： 122,3rr 2230,6rrrr 故有 选 D 6yyy 02 的通解为 ( ) 0yyA 12xycc x e B 12xycc e C 12cossinycxcx D 12xxyc ec e 解： 221,210,1,1rrr 12xxyc ec e 选 D 3的待定特解 24yyx1y ( ) A B 2AxBxc2x AxBxc C 2AxB D 2x AxB 解：(1)240rr, 120,4
2、rr (2) 0 是特征单根 2yx AxBxc 选 B 422xyyye的待定特解( ) y A xAxB e B 2xAx e C xAe D xAxe 解：(1)221rr0, 2110rr , 121,12rr. (2)1 不是特征根,xyAe 52xyyx e的待定特解( ) y A2()xAxBx C e B2()xx AxBxC e C2xAx e D3xAx e 解 ： (1)20rr, 特 征 根2*12( )2xxxyy xxxeyCC e (2)1 不是特征根, 2xyx AxBxC e 选 B 6 若1y和2y是0ypyqy(, p q为常数)的两个特解,则1122yc
3、 yc y (为任意常数)是 ( ) 12,c cA 方程的通解 B 方程的特解 C 方程的解 D 不一定是方程的解 解：1122yc yc y是方程的解,选 C (注:若1y,2y线性无关,则1122yc yc y是方程通解) 二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 7以12 2xycc x e为通解的二阶线性常系数齐次微分方程是 解：重根121,1rr210r0 221rr ,故方程为: 20yyy 8的通解 10340yyy 解： 210340rr1,2101004 342r 6552ii3 通解 5cos3sin3xyeAxBx9369xyyyxe的待定特解 y 解：(1). 26
4、9rr0230r , 1,23r (2)是特征重根, 312xycc x e 101xyyxex的待定特解 y 解：(1)20rr,120,1rr (2)xyyxe,是 特 征 单根,1 xyxAxB e (3)1yyx,是 特 征 单根,0 Dyx Cx 故: xyx AxB ex CxD 11222xyyyex的待定特解 y 解：(1)2220rr 1,224812ri (2)121,0 都不是特征根 12xyyyAeBxC 12设1yx为yyx的解,212xye 为xyye的解,则xyyxe的通解y 解：(1)210r , 1,2ri 12cossinycxcx (2)yx ,2xey
5、2xeyx (3)通解121cossin2xycxcxxe 三、计算题 313求16的通解. 80yyy解： 216810rr 2410r ,1,214r 方程的通解:1412xycc x e 14求的通解(为常数) 0ykyk解： 220rkrk (1)当时, 0k 0,yy c12yc xc (2)当时,0k 2rk 1,2rk 12kxkxyc ec e (3)当时,0k 1,2rk i 12cossinyckxckx 15求满足, 613yyy 01 0y3 0y 的特解. 解：(1) 26130rr1,2636522r 32i (2)通解 312cos2sin2xyecxcx(3)特
6、解: 03y,13c 3123cos2sin2xyecxc x 3122sin22cos2xecxcx 01y ,2192c ,24c 特解:33cos24sin2xyexx 16 已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为1,212ri ,求此微分方程. 解：(1)特征方程: 12120riri 2212ri0,2214ri 021i 2rr,2140 225rr0 (2)微分方程:25yyy0 17求239yyx的通解. 解：(1)230rr， 123,0rr 312xy xcc e (2)0 是特征单根. 2yx AxBxC 32AxBxCx 2132yAxBxc 62yAxB 代入原方
7、程: 422629639AxBAxBxcx 比较系数,得 A=1,B=-1,C=23, 3223yxxx (3)通解: yy xy 3321223xcc exxx 18求2xyyyxe的通解. 解：(1),220rr122,1.rr 212xxy xc ec e (2) 不是特征根, 1 ()xyAxB e ()xyAAxB e ()xyAxABA e 代入原方程: (222 )AxABAAxBAxB x比较系数,A=12,-A-2B=0,12=2B,B=14 1)42xxye (3)通解: yy xy 2121)42xxxxc ec ee 19求23xyyye的通解. 解：(1) 21,22
8、10,rrr 12xy xcc x e (2)1 是特征重根,2xyx e 2xyxxe 2222xyxxx e23 代入原方程: 224242A xxxxx 323,2AA 故有232xyx e (3) 通解: yy xy 21232xxcc x ex e 20求xyyxe的通解. 解：(1)20rr.120,1rr 12( )xy xcc e (2)求*12:yyy* 考虑1.(1 )yyx 10是特征单根 *21()yx AxBAxBx, *12yAx B*12yA代入得 2A-2Ax-B=x 比较系数得(1 ) 12,1AB ,*2112yxx 再考虑.(2 )xyye 121是特征单
9、根 *2xyCxe 52(1)xxyC xe，2(2)xxyC xe 代入(2:() 2)(1)xxxxee 比较系数得 C=1, 2xxyxe 故有*212xyxxx e (3)通解2*12( )2xxxyy xyCCex xe 四、 证明题（本题 8 分） 21 设 12,yxyx是 ypyqyf x (, p q为常数)的两个不同的解,证明: 21yyxyx是方程 0ypyqy的解. 证：(1)是的解, 1yx ypyqyf x 1. 1qyfx11ypy (2)是 2yx ypyqyf x的另一个解. yp222. 2yqyf x (3) 得: 21 212121yypypyqyqyf
10、 xf x2121210yyp yyq yy21故yyy0ypyqy是的解 证毕 五、综合题（每小题 10 分，共 30 分） 22设函数( )440yy xyyy由及 02y, 0y4 所确定。求广义积分 0y x dx解：(1)2440rr2 1,220,rr2 故方程的通解:212xycc x e (2)求特解: 01,20yc02e12c 得 又22222(2)xxyc x ec e 又 y 04 ,0242(20)ec 故20c ，特解22xye (3) 2002xy x dxedx 22002xxxeed 20011xeelimx 1dx0y x 23 00xxxf xexf t
11、dttf t dt 其f连续,求 f x的具体表达式. 解：(1) 0xxfxexf xf t dtxf x xfxef x, xfxf xe ,0ff 011 (2) 012r10 .1,2ri (2)解微分方程6 12cossinf xcxcx 012120.0,kkrrrrmm 02 不是特征根,1 12ktmscc e ,xxfxAefxAe020 是特征单根,sAt xfxAe代入 xfxf xesA ,0s 代入微分方程,得0kAgmxxxAeAee, 11,22xAfxe,mgmgAstkk 03通解: yf xfx121cossin2xcxcxe03通解:12ktmmgscc etk(3)求特解: 111101.122fcc(3)求特解: 1200,0. 1scc1211sincossin22xycxcxxe 2ktmc kmgs temk 2101,12fc 故:212c 22200m gsck 111cossin222xf xxxe答: 1cossin2xf xxx 22(1)ktmm gmgs tetkk e24 一潜水艇质量为,从水面由静止开始下沉,所受阻力与下沉速度成正比(比例系数为)求下沉深度与时间函数关系mk ss t 解：(1) 列出微分方程:下沉过程中,作用力为重力,阻力为.由牛顿第二定律mgkvFma，msmgks000,0ttkssgmss
