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1、第九节 函数与方程三年三年1313考考 高考指数高考指数:1.1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数断一元二次方程根的存在性及根的个数. .2.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. .1.1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点. .2.2.常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化
2、归、数形结合思想与化归、数形结合思想. .3.3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题出现，属中、高档题. .1.1.函数的零点函数的零点(1)(1)定义：若实数定义：若实数x x是函数是函数y=y=f(xf(x) )的零点，则需满足条件的零点，则需满足条件_._.(2)(2)三个等价关系：三个等价关系：f(xf(x)=0)=0f(xf(x)=0)=0有实数解有实数解f(xf(x）的图象）的图象与与x x轴有交点轴有交点 f(xf(x) )有零点有零点【即时应用即时应用】(1)(1)函数函数f(xf(x)
3、=x)=x3 3-x-x的零点是的零点是_._.(2)(2)函数函数 的零点个数是的零点个数是_._.【解析解析】(1)(1)令令f(xf(x)=0)=0，即，即x x3 3-x=0-x=0解得解得x=0,1,-1,x=0,1,-1,f(xf(x) )的零点为的零点为-1-1，0 0，1.1.(2)(2)由等价关系，零点个数转化为方程由等价关系，零点个数转化为方程 的根的个数的根的个数 即又转化为函数即又转化为函数 图象交点个数，由图图象交点个数，由图象得：有一个交点象得：有一个交点. .答案：答案：(1)-1(1)-1，0 0，1 (2)11 (2)1xyo1-1-1 y=y=lgxlgx2
4、.2.函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理 条件条件 结论结论函数函数y=fy=f（x x）在在 上上y y= =f f( (x x) )在在( (a a, ,b b) )内内有零点有零点(1)(1)图象是连续不断的图象是连续不断的(2)(2)f f( (a a) )f f( (b b)0)0)0，则不存在实数，则不存在实数c(a,bc(a,b) )使得使得f(cf(c)=0 ( )=0 ( )若若f(a)f(bf(a)f(b)0,)0)0，则有可能存在实数，则有可能存在实数c(a,bc(a,b) )使得使得f(cf(c)=0 ( )=0 ( )若若f(a)f(bf(a)f(b)0,)0,
5、则有可能不存在实数则有可能不存在实数c(a,bc(a,b) )使得使得f(cf(c)=0( )=0( )(2)(2)在定理的条件下，当在定理的条件下，当f(xf(x) )是是_时，在区间时，在区间( (a,ba,b) )内内f(xf(x) )有唯一的一个零点有唯一的一个零点. .(3)(3)已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3-x-1-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为短区间为_.(_.(区间端点为整数区间端点为整数) )(4)(4)函数函数f(xf(x)=mx-1)=mx-1在在(0(0，1)1)内有零点，则实数内有零点，则实数m m的取
6、值范围是的取值范围是_._.【解析解析】(1)(1)如图甲的情况可判断如图甲的情况可判断错错正确，如图乙的情况可判断正确，如图乙的情况可判断不正确，由零点存在性定理可知不正确，由零点存在性定理可知不正确不正确. .(2)(2)由零点存在性定理容易判断由零点存在性定理容易判断f(xf(x) )是单调函数即可是单调函数即可. .(3)(3)由于由于f(0)=-10f(0)=-10，f(1)=-10,f(3)=230, f(1)=-10,f(3)=230, f(4)=590,f(4)=590,故只有区间故只有区间(1(1，2)2)满足满足. .(4)(4)由由f(0)f(1)0,f(0)f(1)0,
7、得得(-1)(-1)(m-1)0(m-1)1.m1.答案：答案：(1)(1) (2) (2)单调函数单调函数 (3)(1(3)(1，2) 2) (4)m1(4)m13.3.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系 0 0 =0 =0 0 0)0) 的图象的图象 与与x x 轴的轴的 交点交点 零点零点(x(x1 1,0),(x,0),(x2 2,0,0）(x(x1 1,0),0)无交点无交点x x1 1,x,x2 2x x1 1无无xyox x1 1x x2 2xyoxyox x1 1=x=x2 2【即时应用即时应用】(1)
8、(1)若二次函数若二次函数f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c+bx+c中，中，a ac c0,0,则其零点个数是则其零点个数是_._.(2)(2)若函数若函数f(xf(x)=ax)=ax2 2-x-1-x-1仅有一个零点，则实数仅有一个零点，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】(1)c=f(0),a(1)c=f(0),ac=ac=af(0)0,f(0)0,即即a a和和f(0)f(0)异号，异号， 函数必有两个零点函数必有两个零点. .(2)(2)当当a=0a=0时，则时，则f(xf(x)=-x-1,)=-x-1,易知函数只有一个零点易知函数只有一个零点. .当当
9、a0a0时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即=1+4a=0, =1+4a=0, 综上，当综上，当a=0a=0或或 时，函数只有一个零点时，函数只有一个零点. .答案：答案：(1)2 (2)a|a=0(1)2 (2)a|a=0或或 4.4.二分法二分法(1)(1)二分法的定义二分法的定义满足的条件：满足的条件：在区间在区间a,ba,b上上_的函数的函数y=y=f(xf(x) )在区间端点的函数值在区间端点的函数值满足：满足：_._.操作过程：操作过程：把函数把函数f(xf(x) )的零点所在的区间的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐，使区间的两个端点逐步
10、逼近步逼近_，进而得到零点的近似值，进而得到零点的近似值. .连续不断连续不断f(a)f(a)f(bf(b)0)0一分为二一分为二零点零点(2)(2)用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间第一步：确定区间a,ba,b, ,验证验证_,_,给定精确度给定精确度;第二步：求区间第二步：求区间( (a,ba,b) )的中点的中点c;c;第三步第三步: :计算计算f(cf(c) )；若若f(cf(c)=0,)=0,则则c c就是函数的零点；就是函数的零点；若若f(a)f(a)f(cf(c) )0,0,则令则令b=c(b=c(此时零点此时零点x x0 0(a,c);
11、(a,c);若若f(c)f(c)f(bf(b) )0,0,则令则令a=c(a=c(此时零点此时零点x x0 0(c,b).(c,b).第四步：判断是否达到精确度第四步：判断是否达到精确度：即若：即若|a-b|a-b|,则得到零点近则得到零点近似值似值a(a(或或b)b)，否则重复第二、三、四步，否则重复第二、三、四步. .f(a)f(a)f(bf(b) )0 0【即时应用即时应用】(1)(1)已知已知f(xf(x)=x)=x3 3+x+x2 2-2x-2,f(1)-2x-2,f(1)f(2)0,f(2)0,用二分法求用二分法求f(xf(x) )在在(1(1，2)2)内的零点时，第一步是内的零点
12、时，第一步是_._.(2)(2)用用“二分法二分法”求方程求方程x x3 3-2x-5=0-2x-5=0在区间在区间2 2，3 3内的实根，内的实根，取区间中点为取区间中点为x x0 0=2.5=2.5，那么下一个有根的区间是，那么下一个有根的区间是_._.【解析解析】(1)(1)根据二分法求函数零点近似值的步骤，已知根据二分法求函数零点近似值的步骤，已知f(1)f(1)f(2)0f(2)0后，应该求区间后，应该求区间(1(1，2)2)的中点为的中点为 (2)(2)令令f(xf(x)=x)=x3 3-2x-5-2x-5验证知验证知f(2)0,f(3)0f(2)0,f(3)0，所以，所以下一个有
13、根的区间是下一个有根的区间是(2(2，2.5).2.5).答案：答案：(1)(1)求区间求区间(1(1，2)2)的中点为的中点为(2)(2(2)(2，2.5)2.5) 确定函数零点所在的区间确定函数零点所在的区间【方法点睛方法点睛】 确定函数确定函数f(xf(x) )零点所在区间的常用方法零点所在区间的常用方法(1)(1)解方程法：当对应方程解方程法：当对应方程f(xf(x)=0)=0易解时，可先解方程，再看易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；求得的根是否落在给定区间上；(2)(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=y=f(xf(x)
14、)在区间在区间a,ba,b上的图象是否连续，再看是否有上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(a)f(bf(b)0.)0-0=40，f(1)=( )f(1)=( )1-21-2-1-13 3=10=10，f(2)=( )f(2)=( )2-22-2-2-23 3=-70,=-70,f(1)f(1)f(2)0, f(2)2,2,排除排除A.A.f(3)=- 0,f(5)=ln3- 0f(3)=- 0,f(5)=ln3- 0，f(3)f(3)f(4)0,f(4)f(4)0f(5)0，函数函数f(xf(x) )的零点在的零点在(3(3，4)4)之间，故选之间，故选C.C.【反思反思感悟感悟】(1)(
15、1)判断函数零点所在的区间，当方程判断函数零点所在的区间，当方程f(xf(x)=0)=0无法解出或函数无法解出或函数y=y=f(xf(x) )的图象不易作出时，常用函数零点存在的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断的判定定理判断. .(2)(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题. . 判断函数零点个数判断函数零点个数【方法点睛方法点睛】判断函数零点个数的常用方法判断函数零点个数的常用方法(1)(1)解方程法：令解方程法：令f(xf(x)=0)=0，如果能求出解，则有几个解就有几，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；个零点；(2
16、)(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a,ba,b上是连续不断的曲线，且上是连续不断的曲线，且f(a)f(a)f(bf(b) )0,0,还必须结合函数的图还必须结合函数的图象与性质象与性质( (如单调性、奇偶性、周期性、对称性如单调性、奇偶性、周期性、对称性) )才能确定函数才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题. .先画先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几出两个函数的图
17、象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点个不同的值，就有几个不同的零点. .【例例2 2】(2011(2011陕西高考陕西高考) )方程方程|x|=|x|=cosxcosx在在(-,+)(-,+)内内( )( )(A)(A)没有根没有根 (B)(B)有且仅有一个根有且仅有一个根(C)(C)有且仅有两个根有且仅有两个根 (D)(D)有无穷多个根有无穷多个根【解题指南解题指南】解决本题可转化为函数解决本题可转化为函数y=|x|y=|x|与与y=y=cosxcosx在在R R上的交上的交点问题或利用零点存在的判定定理及函数的性质进行判断点问题或利用零点存在的判定定理及函
18、数的性质进行判断. .【规范解答规范解答】选选C.C.方法一：构造两个函数方法一：构造两个函数y=|x|y=|x|和和y=y=cosxcosx，在，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察知图象有两同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根个公共点，所以已知方程有且仅有两个根. .x1 15 5-5-5yo-1-1-2-22 24 4方法二：令方法二：令f(xf(x)=|)=|x|-cosxx|-cosx，则知函数为偶函数，则知函数为偶函数，当当xx0,+)0,+)时，时，f(xf(x)=)=x-cosxx-cosx, ,显然显然xx +)
19、+)时，时，f(xf(x)=)=x-cosxx-cosx0,0,当当xx0, 0, 时，时，f(xf(x)=1+sinx0,)=1+sinx0,故故f(xf(x)=)=x-cosxx-cosx在在0 0， 上单调递增且上单调递增且f(0)=0-cos0=-10,f(0)=0-cos0=-10, = 0,即即f(0)f( )0f(0)f( )0).)= (x0).(1)(1)若若g(xg(x)=m)=m有实数根，求有实数根，求m m的取值范围；的取值范围；(2)(2)确定确定m m的取值范围，使得的取值范围，使得g(x)-f(xg(x)-f(x)=0)=0有两个相异实根有两个相异实根. .【解题
20、指南解题指南】解答解答(1)(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，求解，(2)(2)转化为两个函数转化为两个函数f(xf(x) )与与g(xg(x) )有两个交点，从而数形有两个交点，从而数形结合求解结合求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)方法一：方法一： 等号成立等号成立的条件是的条件是x=e,x=e,故故g(xg(x) )的值域是的值域是2e,+)2e,+)，因此，只需，因此，只需m2e,m2e,则则g(xg(x)=m)=m就有零点就有零点. .方法二：作出方法二：作出 的大致图象如图：的大致图象如图：可知若使可知若使g(xg(x)=m)=m
21、有零点，则只需有零点，则只需m2e.m2e.(2)(2)若若g(x)-f(xg(x)-f(x)=0)=0有两个相异的实根，有两个相异的实根，即即g(xg(x) )与与f(xf(x) )的图象有两个不同的交点，的图象有两个不同的交点，作出作出 的大致图象的大致图象. .f(x)=-xf(x)=-x2 2+2ex+m-1=-(x-e)+2ex+m-1=-(x-e)2 2+m-1+e+m-1+e2 2，其图象的对称轴为其图象的对称轴为x=e,x=e,开口向下，最大值为开口向下，最大值为m-1+em-1+e2 2. .故当故当m-1+em-1+e2 22e,2e,即即m-em-e2 2+2e+1+2e
22、+1时，时，g(x)g(x)与与f(x)f(x)有两个交点，即有两个交点，即g(x)-f(x)=0g(x)-f(x)=0有两个相异实根有两个相异实根.m.m的取值范围是的取值范围是(-e(-e2 2+2e+1, +2e+1, +).+).【反思反思感悟感悟】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解数图象交点问题求解. .【创新探究创新探究】函数零点命题的新考向函数零点命题的新考向【典例典例】(2011(2011山东高考山东高考
23、) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=logloga ax+x-b(ax+x-b(a0,0,且且a1).a1).当当2a3b42a3b4时，函数时，函数f(xf(x) )的零点的零点x x0 0(n,n+1),nN(n,n+1),nN* *，则则n=_.n=_.【解题指南解题指南】解答本题可先确定函数解答本题可先确定函数f(xf(x) )在在(0(0，+)+)上的单调上的单调性，然后根据性，然后根据a,ba,b满足的条件及对数的运算性质探究出满足的条件及对数的运算性质探究出f(xf(x) )零零点所在的区间，从而对照点所在的区间，从而对照x x0 0(n,n+1),nN(n,n+1),nN
24、* *确定出确定出n n的值的值. .【规范解答规范解答】2a3,f(x)=2a3,f(x)=logloga ax+x-bx+x-b为定义域上的单调递增为定义域上的单调递增函数，函数，f(2)=logf(2)=loga a2+2-b,f(3)=log2+2-b,f(3)=loga a3+3-b3+3-b，2a3b,02a3b,0lg2lg2lgalgalg3, 1,lg3, 3,-b-3,2-b3,-b-3,2-b-1,logloga a2+2-b0,2+2-b0,即即f(2)0,f(2)0,1 ,3b4,-13-b0,1 ,3b4,-13-b0,f(3)0,3+3-b0,f(3)0,即即f(
25、2)f(2)f(3)0f(3)0a0时，时，f(af(a)=a)=a2 2=4,a=2.=4,a=2.综上，综上，a=-4a=-4或或2.2.3.3.（20122012益阳模拟）函数益阳模拟）函数y=f(x-1)y=f(x-1)的图象如图所示，它在的图象如图所示，它在R R上单调递减，上单调递减，则则y=fy=f-1-1(x)(x)的零点为的零点为_._.【解析解析】由由y=f(x-1)y=f(x-1)的图象向左平移的图象向左平移1 1个单位就得到个单位就得到y=y=f(xf(x) )的图象，的图象，所以有所以有f(0)=1f(0)=1，f f-1-1(1)=0.(1)=0.答案：答案：1 1
26、 4.(20114.(2011辽宁高考辽宁高考) )已知函数已知函数f(xf(x)=e)=ex x-2x+a-2x+a有零点，则有零点，则a a的取值的取值范围是范围是_._.【解析解析】函数函数f(xf(x)=e)=ex x-2x+a-2x+a有零点，即方程有零点，即方程e ex x-2x+a=0-2x+a=0有实根，有实根，即函数即函数g(xg(x)=2x-e)=2x-ex x与函数与函数y=ay=a有交点，而有交点，而g(xg(x)=2-e)=2-ex x, ,易知函数易知函数g(xg(x)=2x-e)=2x-ex x在在(-,ln2)(-,ln2)上递增，在上递增，在(ln2(ln2，+)+)上递减，因此上递减，因此g(xg(x)=2x-e)=2x-ex x的值域为的值域为(-,2ln2-2(-,2ln2-2, ,所以要使函数所以要使函数g(xg(x)=2x-e)=2x-ex x与与函数函数y=ay=a有交点，只需有交点，只需a2ln2-2a2ln2-2即可即可. .答案：答案：(-,2ln2-2(-,2ln2-2
