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1、北师大版九年级北师大版九年级(上上)1.3 .2 1.3 .2 正方形的判定正方形的判定正方形的判定正方形的判定1回顾反馈回顾反馈1、怎样判定矩形？、怎样判定矩形？2、怎样判定菱形？、怎样判定菱形？回答：回答：2正方形的正方形的 两条对角线互相垂直平分两条对角线互相垂直平分且相等且相等,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角正方形的对边平行且相等正方形的对边平行且相等正方形的四个角都是直角正方形的四个角都是直角边边对角线对角线角角3、正方形有什么性质？、正方形有什么性质？正正方方形形的的性性质质3问题情景问题情景 根据正方形的定义，有一组邻边相等，并且有一个根据正方形的定义，有一组邻边相
2、等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。除此之外，你认为角是直角的平行四边形叫做正方形。除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个四边形是正方形？还有什么条件可以判断一个四边形是正方形？ABCD一组邻边相等一组邻边相等一个角是直角一个角是直角ABCD4新知探究新知探究、如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，、如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？打开。怎样剪才能剪出一个正方形？5合作交流合作交流、满足什么条件的矩形是正方形？、满足什么条件的矩形是正方形？(1)一组邻边相等一组邻边相等 一组邻边相等一组邻边相等(2)对角线互相垂直对角线互相垂直
3、 对角线互相垂直对角线互相垂直6新知探究新知探究、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。已知：如图，矩形已知：如图，矩形ABCD中，中， ACBD。求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形。是正方形。证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形是矩形DAB=90，且四边形且四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， ACBD AB=AD（线段垂直平分线上的点，到这条线段两端（线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等。点的距离相等。 ）DABCO OB=OD四边形四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等，并且有一是正方形（有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行
4、四边形是正方形。）个角是直角的平行四边形是正方形。）AC是是BD的垂直平分线的垂直平分线7合作交流合作交流、满足什么条件的菱形是正方形？、满足什么条件的菱形是正方形？(1)有一个角是直角有一个角是直角 有一个角是直角有一个角是直角(2)对角线相等对角线相等 对角线互相垂直对角线互相垂直8新知探究新知探究、求证：有一个角是直角的菱形是正方形。、求证：有一个角是直角的菱形是正方形。已知：如图，菱形已知：如图，菱形ABCD中，中， A =90。求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形。是正方形。证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形是菱形AD=AB，且四边形且四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形
5、， A=90四边形四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等，是正方形（有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。）并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。）DABC9新知探究新知探究、求证：对角线相等的菱形是正方形。、求证：对角线相等的菱形是正方形。DABCO已知：如图，菱形已知：如图，菱形ABCD中，中， AC=BD。求证：四边形求证：四边形ABCD是正方形。是正方形。证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形是菱形AB=AD，且四边形且四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， AC=BDDAB=90平行四边形平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平是矩形（对角线相等的平行四边形是
6、矩形）行四边形是矩形）四边形四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等，是正方形（有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。）并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。）10新知归纳新知归纳正方形的判定正方形的判定 ：(3) (3) 对角线互相垂直的矩形是正方形。对角线互相垂直的矩形是正方形。(2) (2) 有一个角是直角的菱形是正方形。有一个角是直角的菱形是正方形。(4) (4) 对角线相等的菱形是正方形。对角线相等的菱形是正方形。（1 1）有一组邻边相等的矩形是正方形。）有一组邻边相等的矩形是正方形。11例例1、已知：如图，在矩形、已知：如图，在矩形ABCD中，中，BE平分平分AB
7、C，CE平分平分DCB，BFCE，CFBE.求证：四边形求证：四边形BECF是正方形是正方形.范例讲解范例讲解证明：证明： BFCE，CFBE四边形四边形BECF是平行四边形是平行四边形ABC=90,DCB=90DABCEF四边形四边形ABCD是矩形是矩形又又BE平分平分ABC，CE平分平分DCB1= ABC=45,2= DCB=451=2EB=EC平行四边形平行四边形BECF是菱形是菱形（有一组邻边相等的平行（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）四边形是菱形） 在在EBC中，中，EBC=45,ECB=45BEC=90菱形菱形BECF是正方形（有是正方形（有一个角是直角的菱形是正方一个角是直角的
8、菱形是正方形。）形。）1212合作交流合作交流、我们知道：依次连接任意四边形各边的中点可以得、我们知道：依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形。到一个平行四边形。 那么依次连接正方形各边的中点能得到一个怎那么依次连接正方形各边的中点能得到一个怎样的图形呢？样的图形呢？先猜一猜，再证明。先猜一猜，再证明。13合作交流合作交流、依次连接菱形、矩形、平行四边形各边中点，分别、依次连接菱形、矩形、平行四边形各边中点，分别能得到一个什么图形？能得到一个什么图形？菱形菱形矩形矩形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形14 -下列说法对吗下列说法对吗? ?1.1.四个角都相等的
9、四边形是正方形四个角都相等的四边形是正方形. . 2.2.四条边都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形. .3.3.对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形. .4.对角线垂直的平行四边形是正方形对角线垂直的平行四边形是正方形.5.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.6.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.7.7.对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形. .8.8.对角线垂直且相等的四边形是正方形对角线垂直且相等的四边形是正方形. .9.9.四边相等，有一角是直
10、角的四边形是正方形四边相等，有一角是直角的四边形是正方形. .15 在在ABC中中,AB=AC,D是是BC的中的中 点点,DE AB,DF AC,垂足分别是垂足分别是E,F.1)求证：求证：DE=DF2)只添加一个条件只添加一个条件,使四边形使四边形EDFA是正方形是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外不另外添加辅助线添加辅助线,无需证明无需证明)F FE ED DC CB BA A165种判种判定方法定方法三个角是直角三个角是直角四条边相等四条边相等一个角是直角一个角是直角或或对角线相等对角线相等一组邻边相等一组邻边相等或或对角线垂直对角线垂直一组邻边相等一组邻边相等或或对角线垂直对角线垂直一个角是直角一个角是直角或或对角线相等对角线相等一个角是直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结（推出关系）（推出关系）四边形四边形矩形矩形菱形菱形平行四平行四边形边形正方形正方形17
