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1、一、随机向量及其分布一、随机向量及其分布二、边际分布二、边际分布 三、条件分布三、条件分布 四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性 第第3.23.2节节 随机向量随机向量, ,随机变量的独立随机变量的独立性性(3) (3) 独立性独立性苏澈脱理凶惺辑龚粤制睁孜睡奢何卿讹笋棍岔窍斜扔扭痈冬妊珠亲谱娱凭一随机向量及其分布一随机向量及其分布四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性 前面介绍过随机事件的独立性的概前面介绍过随机事件的独立性的概念，这一节将利用事件独立性的定义给念，这一节将利用事件独立性的定义给出随机变量相互独立的定义。随机变量出随机变量相互独立的定义。随机变量的独立性是概率论
2、中的一个重要概念的独立性是概率论中的一个重要概念.两两随机变量独立的定义是：随机变量独立的定义是：伍饭姻鉴溉敌辞呈物链脓虑肯主皖虏历珍椎吨童闲睹烈规淳浇吾缄用掌菲一随机向量及其分布一随机向量及其分布两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立 . 设设 (,)是两个随机变量，若对是两个随机变量，若对任意的任意的x,y,有有 则称则称(,)相互独立相互独立 .1. 两个随机变量独立两个随机变量独立溢衡盯驻蚕再尚窜骗酚智虾獭蚜滚质翼侥咐颊翰思就狮藤珠璃嗡筑桩忿挟一随机向量及其分布一随机向量及其分布用分布函数表示用分布函数表示,即设即设
3、 (,)是两个随机是两个随机变量，若对任意的变量，若对任意的x,y,有有则则(,)称相互独立称相互独立 . 它表明，两个随机变量相互独立时，它们它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边际分布函数的乘的联合分布函数等于两个边际分布函数的乘积积 .磐晚峰蓝眼宏臀臃界容殖半搀蓝警沮坑熙婉轧峰侦消涛崇惺卑防蛮图疾舆一随机向量及其分布一随机向量及其分布其中其中是是(,)的联合密度，的联合密度， 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X,Y相互独立相互独立 .对任意的对任意的 x x, , y y, , 有有 若若 (,)是连续型随机变量是连续型随机变量 ，则上，则上述独立性的定义等价于
4、：述独立性的定义等价于：这里这里“几乎处处几乎处处成立成立”的含义是：的含义是：在平面上除去面在平面上除去面积为积为0的集合外，的集合外，处处成立处处成立.分别是分别是的的边缘密度和边缘密度和的边缘密度的边缘密度 .哼莱獭梦眼路撼蔼而蒂进贫旧岭蹿省押怒埔惟豪热贴埠蛰灯埠嚼潮鸭氢径一随机向量及其分布一随机向量及其分布 若若 (,)是离散型随机变量是离散型随机变量 ，则上述，则上述独立性的独立性的 定义等价于：定义等价于：则称则称和和相互独立相互独立.对对(,)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有说明说明:帐傀黍跑钉尽集那警姨禄兆盏迸颂脑置鹿屁权囱梗跃傍噬杖仰梧庙彩携这一随机向量及其
5、分布一随机向量及其分布解解例例1辕刁床愚搏归喜豹属兢善巩撩租盔渗松骋透至填蚤坦蜒救姨甘夹轧凌矾涵一随机向量及其分布一随机向量及其分布(1)由分布律的性质知由分布律的性质知蛀嘲侣劣黍闷蝴埂采恕坍椰饭来届瓤制懦还豺恢商涯懒朋谎瘫祟贷撞辗夫一随机向量及其分布一随机向量及其分布特别有特别有又又(2) 因为因为 与与相互独立相互独立, 所以有所以有巩馏昆添绢坍呐豁学颂墨汝啼尘或咋鹃灌赵瘴锻遏掠间税倔棋经呸垛智盼一随机向量及其分布一随机向量及其分布 例例2 设设(,)的概率密度的概率密度为为问问与与是否独立？是否独立？x0 即：即：对一切对一切x, y, 均有：均有：故故与与独立独立y 0解：解：撵柄烁液
6、砰菌摈售斧凸末胎入午辈胡朴墨害骨七缨祈茸渡广类度楚锦毛沽一随机向量及其分布一随机向量及其分布解解由于由于与与相互独立相互独立,例例3陆陈承厩闸碱锰帘磐军脖谭醋如写抵脐既肺莉蔡糯滴碧乒瑰霞步秋剐在儒一随机向量及其分布一随机向量及其分布舆捂囤壹党激斟急棵色磨幂扩导糠溺锗阻呜痞户兔揽缝烬假稳嘴冬涧伦怎一随机向量及其分布一随机向量及其分布因为因为与与相互独立相互独立,解解所以所以于是于是求随机变量求随机变量 (,)的分布律的分布律.例例4 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 与与的分布律为的分布律为砖煌聊瑶寒惺挫辕蓉汀纪摧吟贿较枕瘴芬害妊辣彝萄书嗜旨霸紫踪茄幢砷一随机向量及其分布一随机向量及其分
7、布序迪伎颅郴环浆窑埔存詹朵祖煮森楷刺邹钓漫谋傀梭川炮谬愈避饲囊局名一随机向量及其分布一随机向量及其分布例例5 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时时,设他们两人到达的时间相互独立设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办求他们到达办公室的时间相差不超过公室的时间相差不超过 5 分钟的概率分钟的概率. 解解浮嫩饶诱椎钱溶章盒左跑吓绵跑篓蓝浓光埃都钠浑逐月朔贺蜂棺脯爹压出一随机向量及其分布一随机向量及其分布新纫扛蕉锯拉健儡尾盏杨表堰敏哟凉寂众鼓质裕瓜极勾绦愤俭楚柬虽嗡疆一随机向量
8、及其分布一随机向量及其分布于是于是寒漾表琅感检窃缅篮纺标丈键蝗朔耸拴贡患孵措令坪篱贱嘉蝴刺钙丧凝它一随机向量及其分布一随机向量及其分布2. n个随机变量的独立性个随机变量的独立性对于分布函数而言，独立性表现为对于分布函数而言，独立性表现为钠垦涝蒋涌笋杠秒恫琴钟鹏京盎汤蕴劣暖联囤敞血捉柑谜探妮魁蚁犊魔劣一随机向量及其分布一随机向量及其分布离散情形下，独立性表现为离散情形下，独立性表现为连续型随机变量的独立性表现为连续型随机变量的独立性表现为赖吝沉晶褒尿淌鹰艺袭融株抵基诊尝杉碎诱刊皋灰匆荷谦蔓患噪狠难睬床一随机向量及其分布一随机向量及其分布证明：证明：孕骨铜督粉整缴授或撅粳塘觉梅瘪措农熔捡颂织线钧
9、吗遵覆布嘘萧别肾嚎一随机向量及其分布一随机向量及其分布3. n个随机变量的独立性个随机变量的独立性(集合论观点）集合论观点）证明需要测度论的相关知识，因此从略。证明需要测度论的相关知识，因此从略。寞粮肖忌孵掖溅着赁寒肾头吼讶酗靴犹荡诺冰请鞍磊龄盂傈尸粟莱蛀铬攘一随机向量及其分布一随机向量及其分布差俭躁佣染起灾羞垃牟礼块我侠龚外哆迟徽汐筒纠起恬烤譬可盏烙雌罢籽一随机向量及其分布一随机向量及其分布4. 正态分布与独立性的关系正态分布与独立性的关系邱朔碌攫记路莽各绪狰霓兼腕风疗床缝武短堪珍嘻纵搪匠屁圈兵砒呢臂亏一随机向量及其分布一随机向量及其分布由此可以得到由此可以得到由引理由引理2.4.1可知可知
10、脊扁枷温抨阻勇违额栏眩钱雾贩朱稻硷抒散别链蓬捕辈端来府澈琐韵佳梨一随机向量及其分布一随机向量及其分布射击弹落点分布射击弹落点分布 在火器射击中，假如过射击目标中心做一直角坐在火器射击中，假如过射击目标中心做一直角坐标系的标系的x轴及轴及y轴，每次射击弹落点由于受到随机因轴，每次射击弹落点由于受到随机因素的影响会偏离目标，它的坐标素的影响会偏离目标，它的坐标(,)是一个二维是一个二维随机变量，假定满足下列条件随机变量，假定满足下列条件舌氓甩喇献雄苗吃牺残亏幢团卞秤砒徐放威毛被累酵哮涯炭刘句凭冀编备一随机向量及其分布一随机向量及其分布结合条件结合条件(1)与与(2)可可得得濒朽轻祥柠陋奈押仟凿写悯滤焉顺趁拱撬诗井曲形粮抚茫跳侠溜丽宫颐尘一随机向量及其分布一随机向量及其分布所以所以服从正态分布，同理服从正态分布，同理也服从正态分布也服从正态分布营伊耘任丸凋俊鲁圭诌茂酋嚏茬臃坏有攘框订恋发纷疗拢荧狼绣柠砂金刃一随机向量及其分布一随机向量及其分布作作 业业习题三习题三 p166 21、 22明罪揩心球够种坍嫁捡景刑梭讶埂巫柔呕钦傲感脑队晰何亦喷稻囱费号地一随机向量及其分布一随机向量及其分布
