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1、1第五章第五章 平面问题的复变函数法平面问题的复变函数法 直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用。数方法在弹性力学中的简单应用。2 5-4 5-4 多连通域内应力与位移的单值条件多连通域内应力与位移的单值条件5-3 5-3 边界条件的复变
2、函数表示边界条件的复变函数表示5-2 5-2 应力和位移的复变函数表示应力和位移的复变函数表示5-1 5-1 应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示5-5-6 6 含孔口的无限大板问题含孔口的无限大板问题5-5 5-5 无限大多连体的情形无限大多连体的情形第五章第五章 平面问题的复变函数法平面问题的复变函数法3 5-1 5-1 应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示 在第二章中已经证明，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数，它是位置坐标的重调和函数，即现在，引入复变数z= xiy和zxiy以代替实变数x 和y。注意4 可以得到变换式进而5令于是可将方程式变换成为由6
3、 可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设f(z)为解析函数，可令由令得则7 将上式对 积分，得到再对z积分，得到令即则8 注意上式左边的重调和函数是实函数，可见该式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭的，后两项也应是共轭的：令即得有名的古萨公式也可以写成9 于是可见，在常量体力的平面问题中，应力函数总可以用复变数z的两个解析函 (z)和(z)来表示，称为K-M 函数。而求解各个具体的平面问题，可归结为适当地选择这两个解析函数，并根据边界条件决定其中的任意常数。10 5-2 5-2 应力和位移的复变函数表示应力和位移的复变函数表示根据应力分量和应力函数的关系一一 应力分量的复变函数表
4、示应力分量的复变函数表示11 可得到应力分量的复变函数表示由可得从而由12 可得或13 只要已知(z)及 (z)，就可以把上述公式右边的虚部和实部分开，由虚部得出xy，由实部得出y-x。 和就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立公式，把x、y 、xy三者分开用(z)和 (z)来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。14 二二 位移分量的复变函数表示位移分量的复变函数表示 假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程可得15 由于并注意到同理可得16将上两式分别对x及y积分，得其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式17 由于18 从而得到于是得到刚体位移 f1(y)u0y，f2(x)v
5、0x故有19 若不计刚体位移，则有由式得到20 将结果回代,并两边除以1+得这就是位移分量的复变函数表示。若已知(z)及 (z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得出u和v。 上述公式是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，须将式中的E改换为E/(12)，改换为/(1)。215-3 5-3 边界条件的复变函数表示边界条件的复变函数表示 为了求得边界上各结点处的值，须要应用应力边界条件，即： 而代入上式，即得： 22 由图可见，l=cos(N,x)=dy/ds, m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改写为：由此得： 23 设A是边界上的固定点,B为任意一点，则从A到B边界上
6、的合力，可用上式从A点到B点对s积分得到：将式24 代入，整理得：把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。因此，可把应力函数A处的值设为零，于是对于边界上的有或这就是应力边界条件。25 对于位移边界条件将其代入下式即得平面应力情况下位移边界条件的复变函数表示对于平面应变，须将式中的E 改换为E/(12)，改换为/(1)。26 5-4 5-4 多连通域内应力与位移的单值条件多连通域内应力与位移的单值条件 应力确定后，应力函数仍可差一个任意的线性函数，这时K-M函数并未完全确定，对于单连通区域，可以通过选取适当坐标系等办法，使得K-M函数完全确定。但对于多连通区域仍不能完成确定，本节讨论K-M函数
7、在多连通区域内满足单值的条件。 设有多连通区域，有一内边界C，设在边界C上的外力矢量已给定。通常的多值函数是对数函数，我们设27 DC这里zk为内部边界内的任意一点，f和f为单值的解析函数（全纯函数），而Ak ，Bk为常数：28 前面的函数的导数是单值的，但他们本身是多值的，当z绕周边一周时，函数值ln(zk)产生一个增量2i, 于是(z)和 (z)的增量分别是2i Ak和2iBk,这时应力主矢量按照公式左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：29 这时位移按照公式也将得到增量，根据单值性这个增量应为零：结合可得到30 于是当有m个内边界时，取31 5-5 5-5 无限大多连体的情
8、形无限大多连体的情形 当多连体的外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大的多连体，除上述条件外，还需考虑无限远的极限情况。 以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到 在在s sR R之外的解析函数之外的解析函数32 于是可写为其中Px,Py为m个边界上沿x,y方向的面力之和。33 将多连通区域内的全纯函数*f和*f展开为罗郎级数：于是 由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，级数中n2的系数应为零。34 同样从中，由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，故有其中略去了和应力无关的常数项。35 于是其中与应力计算无关，可取为零，而36
9、这时当z时，可得同样当z时，由可得从中可求得相应的系数，并可以看到在无限远处，应力的分布是均匀的。37 系数则385-6 5-6 含孔口的无限大板问题含孔口的无限大板问题 以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到3940 改写为其中41 对于孔边上的点42 将上列各式代入就得到极坐标下圆周边界上的级数形式的应力边界条件。 设周边上的外力为已知，并将其展开为傅氏级数43 比较两边eik和e-ik的系数，可得44 由无限远处的应力条件，可得45由位移的单值条件有及可求得再由46 可求得至此，全部系数均已求出。例例 设孔周边为均匀压力
10、p，无限远处的应力为零。47 则有于是可求得48 最后得到根据上述方法，圆孔口无限大板的一般问题都可以得到解决。49习题5.1 试考察下列复变函数所解决的问题(1)(2)解: 基本公式为(1) 将分别代入(a)、(b)式50得联立求解以上两式,得 所给的函数可以解决矩形薄板在x方向受均布拉力q的问题.如图5.1(a)所示(2) 将代入(a),(b)两式,得xyqq图5.1(a)51联立求解以上两式,得 所给的函数可以解决矩形薄板受纯剪切问题.如图5.1(b)示.qqxy图5.1(b)习题5.2 如图所示.试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解.其中I为梁截面的惯矩,M为作用的弯矩.Myxzy解:基本公式为52将代入(1)、(2)式由(1)式得即53或由(2)式得即将(4)、(5)式联立求得54验证边界条件(3)在侧面:所以由得55由得故即(3)式恒成立. 由解答 所表示的是一个纯弯时,梁横截面上的应力状态.56习题5.3 试导出用复变函数 及 表示极坐标中应力分量的公式解: 因为在平面问题中所以又因为在平面问题中,有57则58因为所以习题5.4 试用公式由 导出半平面体在边界上受集中力作用时的应力分量公式.59ryroP解： 由得因为60而所以61即由（1）、（2）、（3）式得6263
