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1、高于铺二中高于铺二中 张涛张涛新人教版九年级数学下册新人教版九年级数学下册新人教版九年级数学下册新人教版九年级数学下册 第二十八章第二十八章第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数锐角三角函数锐角三角函数学习目标学习目标 理解直角三角形中理解直角三角形中六个元素六个元素的关系，会的关系，会运用运用勾股定理勾股定理，直角三角形的，直角三角形的两个锐角互两个锐角互余余及及锐角三角函数锐角三角函数解直角三角形解直角三角形. .复复 习习30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a三角函数304560sin acos atan a对于对于sinsi
2、n与与tantan，角度越大，函数值也越大；，角度越大，函数值也越大；对于对于coscos，角度越大，函数值越小。，角度越大，函数值越小。一个直角三角形共有几个元素？它们之间有怎样的关系？一个直角三角形共有几个元素？它们之间有怎样的关系？(1)三边之间的关系三边之间的关系: a2b2c2（勾股定理（勾股定理）；(2) 两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90 （互余关系）（互余关系） ； (3)边角之间的关系边角之间的关系:sinAaccosAtanAabc六个元素：六个元素：三条边三条边和和三个角，三个角，其中有一个角为其中有一个角为直角直角.bcab（锐角三角函数）（锐角三角函数）
3、sinB=cosB=tanB=想一想：想一想：知知知知 识识识识 回回回回 顾顾顾顾在直角三角形中，知道其中哪些元素，可以求在直角三角形中，知道其中哪些元素，可以求出其余的元素出其余的元素?在在Rt ABC中中,（1 1）根据）根据A= 60A= 60, ,斜边斜边AB=30,AB=30,你能求出这三个角的其他元素吗？你能求出这三个角的其他元素吗？A在直角三角形的六个元素中在直角三角形的六个元素中, ,除直角外除直角外, ,如果知道如果知道两两个元素个元素就可以求出其余三个元素就可以求出其余三个元素. .(其中至少有其中至少有一个是边一个是边),你发现你发现了什么了什么BC B AC BC A
4、 B AB一角一边一角一边两边两边（2 2）根据）根据AC= AC= ，BC= BC= 你能求出这个三角形的其他元素吗？你能求出这个三角形的其他元素吗？两角两角 （3 3）根据）根据A=60A=60,B=30,B=30, , 你能求出这个三角形的其他元你能求出这个三角形的其他元 素吗素吗? ?不能不能在直角三角形中在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程由已知元素求未知元素的过程,叫叫解直角三角形解直角三角形解直角三角形的依据解直角三角形的依据abc(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；(2)锐角之间的关系锐角之间的关系: A B 90；(3)边角之间的
5、关系边角之间的关系:新知识例题分析例题分析在在Rt ABC中中, C=90,AC= ,BC = ,解解这个直角三角形这个直角三角形. .解：由勾股定理得：在Rt ABC中，中，AB=2AC所以， B=30 A=60CAB?想一想想一想: :还可以怎样求还可以怎样求？解题方法多样，关键在于优化解题方法多样，关键在于优化. .在在 Rt ABCABC中，中，CC9090， ， ， 解这个直角三角形（即求解这个直角三角形（即求AA、BB、c c边）边）. . ABCabc2 2?解：解：tanA=A=30, B=90-A=60.c=练练 习习例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，B35，b=20
6、，解这个直角三，解这个直角三角形（精确到角形（精确到0.1）解：解：A90B903555ABCabc2035你还有其他你还有其他方法求出方法求出c吗吗？例题分析例题分析想一想：想一想： 已知什么？求什么？怎样求呢？其根据是什么？已知什么？求什么？怎样求呢？其根据是什么？在在Rt ABCABC中，中，C C9090，c c2,B2,B3030, , 解这个直角三角形解这个直角三角形 . .ABCabc2 2?解：解：b=3030练练 习习例例3 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC=6， BAC的平分线的平分线 ，解这个直角三角形。，解这个直角三角形。DABC6解：解：因为因为AD平分
7、平分BAC例题分析例题分析ABCm1.1.（东营（东营中考）中考）如图，小明为了测如图，小明为了测量其所在位置，量其所在位置，A A点到河对岸点到河对岸B B点之间点之间的距离，沿着与的距离，沿着与ABAB垂直的方向走了垂直的方向走了m m米，到达点米，到达点C C，测得，测得ACBACB，那么，那么ABAB等于（等于（ ）(A) m(A) msinsin米米 (B) m(B) mtantan米米 (C) m(C) mcoscos米米 (D) (D) 米米B B2. 2. ( (滨滨州州中中考考) )边边长长为为6cm6cm的的等等边边三三角角形形中中，其其一一边边上上高的长度为高的长度为_c
8、m._cm.【解析【解析】一边上的高一边上的高=6=6sin60sin60= =练练 习习设塔顶中心点为设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的，塔身中心线与垂直中心线的夹角为夹角为A，过点，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足向垂直中心线引垂线，垂足为点为点 C（如图）在（如图）在 RtABC 中，中，C=90，BC=5.2 m，AB= 54.5 m，求，求A 的度数的度数CAB解决有关比萨斜塔倾斜的问题解决有关比萨斜塔倾斜的问题利用计算器可得利用计算器可得 A528将上述问题推广到一般情形就是：将上述问题推广到一般情形就是：已知直角三角形的斜边和一条直已知直角三角形的斜边和一条直角边，求
9、它的锐角的度数角边，求它的锐角的度数. .解解：利利用用勾勾股股定定理理可可以以求求出出折折断倒下部分的长度为断倒下部分的长度为: :262610103636（米）（米）. .答答: :大树在折断之前高为大树在折断之前高为3636米米. .如如图图所所示示，一一棵棵大大树树在在一一次次强强烈烈的的地地震震中中于于离离地地面面10米米处处折折断倒下，树顶落在离树根断倒下，树顶落在离树根24米处米处.大树在折断之前高多少？大树在折断之前高多少？练练 习习如图如图,太阳光与地面成太阳光与地面成60度角度角,一棵倾斜的大树一棵倾斜的大树AB与地面与地面成成30度角度角,这时测得大树在地面上的影长为这时
10、测得大树在地面上的影长为10m,请你求请你求出大树的高出大树的高.ABC30地面地面太阳光线太阳光线6010米米就是求就是求AB的长的长.D练练 习习基础练习基础练习1、在下列直角三角形中不能求解的是（、在下列直角三角形中不能求解的是（ ）A、已知一直角边一锐角、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角、已知一斜边一锐角C、已知两边、已知两边 D、已知两角、已知两角 2、Rt ABC中，中， C=90,若若sinA= ，AB=10，那么，那么BC=_，tanB=_D8基础练习基础练习3.在在RtABC中中,C=90，a、b、c分别为分别为 A 、B、 C的对边的对边.根据已知条件，根据已知条件
11、，解直角三角形解直角三角形.(1)c=8，A =60；(4)a=1， B=30.(2) b= ， c=4；(3)a= ， b=6 ；在在ABCABC中，中，C=90C=900 0，解直角三角形：解直角三角形：(如图如图)CAB4.已知已知a,c.则通过则通过 ，求求 A 1.已知已知A，a. 则则b= ,c= ; 3.已知已知A，b. 则则a= , c= .2. 已知已知A，c. 则则a= ,b= ; 提高练习提高练习5.已知已知a,b.则通过则通过 ，求求 A 如如图图，在，在ABCABC中中,A=30,A=30, ,tanB= ,AC=2 ,tanB= ,AC=2 ,求求AB. AB. A
12、CBD 如图，在四边形ABCD中， AB=2，CD=1， A= 60， D= B= 90，求，求此四边形此四边形ABCD的面积。ABCD2601 如图，在四边形ABCD中， AB=2，CD=1， A= 60， D= B= 90，求，求此四边形此四边形ABCD的面积。ABCDE2601ABCDE2160ABCDE2160CABDABCE求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助线，将其转换为线，将其转换为直角三角形直角三角形来解来解.提提示示DBACD2、(2011青青岛岛中考中考)已知已知AB是是 o的弦，半径等于的弦，半径等于6cm, A
13、OB=120,求求AB的长的长ABCDEABCDE1.解直角三角形：解直角三角形：直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程A的对边的对边aABCA的邻边的邻边b斜边斜边c归纳小结归纳小结解直角三角形解直角三角形a2+b2=c2三角函数三角函数关系式关系式计算器计算器 由锐角求三角函数值由锐角求三角函数值由三角函数值求锐角由三角函数值求锐角A B902.解直角三角形的依据及方法：解直角三角形的依据及方法：1.1.可以发现：可以发现：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程, ,叫做叫做解直角三角形解直
14、角三角形. .在直角三角形的六个元素中在直角三角形的六个元素中,除直角外除直角外,如果知道如果知道两个两个元素元素(其中其中至少有一个是边至少有一个是边),就可以求出其余就可以求出其余三个三个元素元素.2.解直角三角形：解直角三角形：3.3.在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：(1)三边之间的关系三边之间的关系: a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；(2) 两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90 （互余关系）（互余关系） ；(3)边角之间的关系边角之间的关系:（锐角三角函数）（锐角三角函数）ABabcC归纳小结归纳小结知
15、斜边，求直边，知斜边，求直边，正余弦，很方便；正余弦，很方便；知直边，求直边，知直边，求直边，用正切，理当然；用正切，理当然；知两边，求一边，知两边，求一边，用勾股，最方便；用勾股，最方便；知两边，求一角，知两边，求一角，边角式，要选好；边角式，要选好；知锐角，求锐角，知锐角，求锐角，用互余，最可靠；用互余，最可靠；知直边，求斜边，知直边，求斜边，用除法，正余弦；用除法，正余弦；好方法，要选择，好方法，要选择，能用乘，不用除能用乘，不用除. . 2.2.选择解直角三角形方法的原则：选择解直角三角形方法的原则：1.解直角三角形优选关系式的口诀：解直角三角形优选关系式的口诀：3.3.解直角三角形一般有两种情形：解直角三角形一般有两种情形： （1）已知两条边；）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角）已知一条边和一个锐角 （1 1）有斜用弦，无斜用切；）有斜用弦，无斜用切； （2 2）作垂线，构造直角三角形；）作垂线，构造直角三角形； （3 3）数形结合，便于分析）数形结合，便于分析. .归纳小结归纳小结
