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1、第一章第一章 几何空间中的向量几何空间中的向量第二节 向量的积n 向量的数量积n 混合积1内积外积混合积一、一、 向量的数量积向量的数量积启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.SF2内积外积混合积定义定义取值范围呢？取值范围呢？3内积外积混合积定义：定义： 向量向量在非零向量在非零向量 的的投影投影其中为,之间的夹角提示：提示： 1、投影是一个向量还是标量？、投影是一个向量还是标量？ 2、图形上怎样描绘投影（我们称为向量分解）、图形上怎样描绘投影（我们称为向量分解）4内积外积混合积数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向
2、量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和模和另一个向量在这向量另一个向量在这向量的的方向上的方向上的投影投影的的乘积乘积. .5内积外积混合积投影性质投影性质（1 1）（2 2）6内积外积混合积内积的性质：内积的性质：证证证证7内积外积混合积内积运算规律：内积运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：若若 、 为数为数：8内积外积混合积1 1若若a = =，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =02 2若若a ，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a ，a b b = =0，则，则b=
3、 =4 4若若a b= =0，则，则a, ,b中至少有一个为中至少有一个为 5 5若若a ，a b= = b c，则，则a=c例：概念判断题：例：概念判断题：9内积外积混合积数量积注意点：数量积注意点：（1 1）有没有所谓的消去率？）有没有所谓的消去率？成立吗成立吗?（2 2）有没有所谓的结合率？）有没有所谓的结合率？有这样的式子吗？有这样的式子吗？10内积外积混合积证证几何关系代数表达几何关系代数表达11内积外积混合积例例12内积外积混合积实例实例二、二、 两向量的向量积两向量的向量积13内积外积混合积定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.cr的方向既的方向既垂直于垂直
4、于ar，又垂直于又垂直于br，指向符合，指向符合右手系右手系. .“右手法则右手法则” 14内积外积混合积向量积的性质：向量积的性质：证证/问题：问题：1、平行我们以前怎么判断？、平行我们以前怎么判断？ 2、平行两个向量坐标间有什么关系？、平行两个向量坐标间有什么关系？15内积外积混合积向量积运算规律：向量积运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：例例反交换反交换16内积外积混合积几何意义及应用几何意义及应用17内积外积混合积定义定义三、三、 向量的混合积向量的混合积提示：提示：1、混合积的计算结果是标量还是向量、混合积的计算结果是标量还是向量2、顺序能不能改成先内积再外积？、顺序能不能改成先内积再外积？18内积外积混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：19内积外积混合积“右手法则右手法则”20内积外积混合积解解例例21内积外积混合积
