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1、第二十讲三角函数的图象第二十讲三角函数的图象回回归课本本1.作作y=Asin(x+)的的图象主要有以下两种方法象主要有以下两种方法:(1)用用“五点法五点法”作作图.用用“五点法五点法”作作y=Asin(x+)的的简图,主要是通主要是通过变量代量代换,设z=x+,由由z取取0, , ,2来求出来求出相相应的的x,通通过列表列表,计算得出五点坐算得出五点坐标,描点后得出描点后得出图象象. (2)由函数由函数y=sinx的的图象通象通过变换得到得到y=Asin(x+)的的图象象,有两种主要途径有两种主要途径:“先平移后伸先平移后伸缩”与与“先伸先伸缩后平移后平移”.方法一方法一:先平移后伸先平移后
2、伸缩y=sinx y=sin(x+) y=sin(x+) y=Asin(x+).方法二方法二:先伸先伸缩后平移后平移y=sinx y=sinx y=sin(x+) y=Asin(x+).2.y=Asin(x+)(A0,0),x 0,+)表示一个振表示一个振动量量时,A叫做叫做振幅振幅,T= 叫做叫做周期周期, 叫做叫做频率率,x+叫做叫做相位相位,x=0时的相位的相位称称为初相初相.3.对称称问题y=sinx图象的象的对称中心是称中心是(k,0),(k Z).对称称轴方程是方程是x= +k,(k Z).y=cosx图象的象的对称中心是称中心是(k Z).对称称轴方程是方程是x=k,(k Z).
3、考点陪考点陪练答案答案:A2.若若f(x)=sin(x+)的的图象象(部分部分)如如图所示所示,则和和的取的取值是是( )答案答案:C答案答案:C4.(2010四川四川)将函数将函数y=sinx的的图象上所有的点向右平行移象上所有的点向右平行移动个个单位位长度度,再把所得各点的横坐再把所得各点的横坐标伸伸长到原来到原来的的2倍倍(纵坐坐标不不变),所得所得图象的函数解析式是象的函数解析式是( )答案答案:C答案答案:C类型一型一“五点法五点法”作作图解解题准准备:根据三角函数的根据三角函数的图象在一个周期内的最高点象在一个周期内的最高点 最低最低点及与点及与x轴的三个交点来作的三个交点来作图,
4、即先确定即先确定这五个点来作五个点来作这个个函数的函数的图象象.其一般步其一般步骤是是: (1)令令x+分分别等于等于0, , ,2,求出求出对应的的x值和和y值,即求出即求出对应的五点的五点;(2)在坐在坐标系中描出系中描出这五个关五个关键点点,用平滑的曲用平滑的曲线顺次次连接接,得得函数函数y=Asin(x+)在一个周期内的函数在一个周期内的函数图象象;(3)将所得将所得图象向两象向两边扩展展,得得y=Asin(x+)在在R上的上的图象象.【典例典例1】作出函数作出函数 的一个周期内的的一个周期内的图象象.分析分析考考查:“五点法五点法”作作图. 反思感悟反思感悟用用“五点法五点法”作正作
5、正 余弦函数的余弦函数的图象要注意以下象要注意以下几点几点:先将解析式化先将解析式化为y=Asin(x+)或或y=Acos(x+)的形式的形式;周期周期;振幅振幅A(A0);列出一列出一个周期的五个特殊点个周期的五个特殊点;描点描点 用平滑曲用平滑曲线连线.类型二型二三角函数的三角函数的图象象变换解解题准准备:三角函数的三角函数的图象象变换包括平移和伸包括平移和伸缩两两类变换,具具体有以下三种体有以下三种变换:(1)相位相位变换:y=sinx的的图象向左象向左(0)或向右或向右(0)平移平移|个个单位得到位得到y=sin(x+)的的图象象.(2)周期周期变换:y=sinx的的图象上所有点的横坐
6、象上所有点的横坐标伸伸长(01)到原来的到原来的倍倍(纵坐坐标不不变),得到得到y=sinx的的图象象. (3)振幅振幅变换:y=sinx图象上所有点的象上所有点的纵坐坐标伸伸长(A1)或或缩短短(0A0)个个单位位,当向左平移当向左平移则把把x换成成x+a,当向右平移当向右平移则把把x换成成x-a,其他其他任何数任何数值和符号不和符号不变,若将若将图上各点的横坐上各点的横坐标伸伸长到原来的到原来的倍倍(1),则只需将只需将x换成成,若将若将图象上各点的横象上各点的横坐坐标缩短到原来的短到原来的(1),则只需将只需将x换成成x即可即可.类型三型三三角函数三角函数y=Asin(x+)的解析式的解
7、析式解解题准准备:给出出图象求解析式象求解析式y=Asin(x+)+B的的难点在于点在于的确定的确定,本本质为待定系数法待定系数法.基本方法是基本方法是:“五点法五点法”,运运用用“五点五点”中的一点确定中的一点确定.图象象变换法法,即已知即已知图象是由象是由哪个函数的哪个函数的图象象经过变换得到的得到的,通常可由零通常可由零值点或最点或最值点点确定确定,有有时从找从找“五点法五点法”中的第一零中的第一零值点点作作为突破口突破口,要从要从图象的升降情况找准第一零象的升降情况找准第一零值点的位置点的位置.【典例典例3】下下图为y=Asin(x+)的的图象的一段象的一段,求其解析式求其解析式. 分
8、析分析确定确定A.若以若以N为五点法作五点法作图中的第一零点中的第一零点,由于此由于此时曲曲线是先下降后上升是先下降后上升(类似于似于y=-sinx的的图象象)所以所以A0.而而= ,可由相位来确定可由相位来确定. (2)由此由此题两种解法可两种解法可见,在由在由图象求解析式象求解析式时,“第一零点第一零点”的确定是很重要的的确定是很重要的,尽量使尽量使A取正取正值,由由f(x)=Asin(x+)(A0,0)的一段的一段图象象,求其解析式求其解析式时,A比比较容易看容易看图得出得出,困困难的是求待定系数的是求待定系数和和,常用如下两常用如下两种方法种方法:如果如果图象明确指出了周期象明确指出了
9、周期T的大小和的大小和“零点零点”坐坐标,那么那么由由= 即可求出即可求出;确定确定时,若能求出离原点最近的右若能求出离原点最近的右侧图象上升象上升(或下降或下降)的零点横坐的零点横坐标x0,则令令x0+=0(或或x0+=)即可求出即可求出.代入点的坐代入点的坐标.利用一些已知点利用一些已知点(最高点最高点 最低点或零点最低点或零点)坐坐标代入解析式代入解析式,再再结合合图形解出形解出和和,若若对A,的符号或的符号或对的范的范围有要求有要求,则可用可用诱导公式公式变换使其符合要求使其符合要求. (3)利用利用图象特征确定函数解析式象特征确定函数解析式y=Asin(+)+k或根据代或根据代数条件
10、确定解析式数条件确定解析式时,要注意以下几种常用方法要注意以下几种常用方法:振幅振幅A= (ymax-ymin).相相邻两个最两个最值对应的横坐的横坐标之差之差,或者一个或者一个单调区区间的的长度度为由此推出由此推出的的值.确定确定值,一般用一般用给定特殊点坐定特殊点坐标代入解析式确定代入解析式确定.类型四型四三角函数三角函数图象的象的对称性称性解解题准准备:函数函数y=Asin(x+)的的图象的象的对称称问题(1)函数函数y=Asin(x+)的的图象关于直象关于直线x=xk(其中其中xk+=k+ ,k Z)成成轴对称称图形形,也就是也就是说波峰或波谷波峰或波谷处且与且与x轴垂直的直垂直的直线
11、为其其对称称轴.(2)函数函数y=Asin(x+)的的图象关于点象关于点(xj,0)(其中其中xj+=k,k Z)成中心成中心对称称图形形,也就是也就是说函数函数图象与象与x轴的交点的交点(平衡位置点平衡位置点)是其是其对称中心称中心.类型五型五三角函数模型的常三角函数模型的常见应用用解解题准准备:三角函数能三角函数能够模模拟许多周期多周期现象象,因此在解决因此在解决实际问题时有着广泛的有着广泛的应用用.如果某种如果某种变化着的化着的现象具有周期性象具有周期性,那么它就可以借助三角函数来描述那么它就可以借助三角函数来描述,三角函数模型的常三角函数模型的常见类型有型有: (1)航海航海类问题.涉
12、及方位角概念涉及方位角概念,方位角指的是从指正北方方位角指的是从指正北方向向线顺时针旋旋转到目到目标方向方向线所成的角度所成的角度.还涉及正涉及正 余弦余弦定理定理.(2)与三角函数与三角函数图象有关的象有关的应用用题.近年全国高考有一解答近年全国高考有一解答题正是此正是此类应用用题.(3)引引进角角为参数参数,利用三角函数的有关公式利用三角函数的有关公式进行推理行推理,解决最解决最优化化问题,即求最即求最值.(4)三角函数在物理学中的三角函数在物理学中的应用用.【典例典例5】已知某海已知某海滨浴浴场的海浪高度的海浪高度y(米米)是是时间t(0t24,单位位:小小时)的函数的函数,记作作:y=
13、f(t).下表是某日各下表是某日各时的浪高数据的浪高数据:t(时时)03691215182124y(米米)1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b的图象的图象. (1)根据以上数据根据以上数据,求出函数求出函数y=Acost+b的最小正周期的最小正周期T 振振幅幅A及函数表达式及函数表达式;(2)依据依据规定定,当海浪高度高于当海浪高度高于1米米时才可才可对冲浪冲浪爱好者开放好者开放.请依据依据(1)的的结论,判断一天内的判断一天内的8：00到到20：00之之间,有多有多少少时间可供
14、冲浪者可供冲浪者进行运行运动? 解解(1)由表中数据由表中数据,知周期知周期T=12. =由由t=0,y=1.5,得得A+b=1.5.由由t=3,y=1.0,得得b=1.由由得得A=0.5,b=1, 振幅振幅为 (2)由由题知知,当当y1时才可才可对冲浪者开放冲浪者开放, 2k- (k Z),即即12k-3t12k+3(k Z). 0t24,故可令故可令中中k分分别为0 1 2,得得0t3或或9t15或或21t24. 在在规定定时间8：00至至20：00之之间,有有6个小个小时的的时间可供冲可供冲浪者运浪者运动,即即9:00至至15：00.错源一源一未抓住平移未抓住平移对象而致象而致误【典例典
15、例1】将函数将函数的的图象沿象沿x轴向左平移向左平移 个个单位位,求所得求所得图象的解析式象的解析式. 剖析剖析此题出错率极高此题出错率极高,主要原因是未抓住函数图象平移是针主要原因是未抓住函数图象平移是针对自变量对自变量x而言的而言的.错源二源二伸伸缩变换中中记忆不准而致不准而致错 剖析剖析“错解一解一”错在在变换公式公式记忆错误;“错解二解二”错误较多多,不不仅变换公式公式记忆错误,还不清楚不清楚变换是是针对自自变量量x的的.错源三源三抓不住抓不住对称称变换中中针对对象而致象而致错 剖析剖析错在在前也加了前也加了负号号,将函数将函数图象关于象关于y轴对称称,只是在自只是在自变量量x前加前加
16、负号号,其他其他处都不都不变. 评析评析若将函数若将函数y=sin(x+)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称,所得图所得图象的解析式为象的解析式为y=sin(-x+);若将函数若将函数y=sin(x+)的图的图象关于象关于x轴对称轴对称,所得图象的解析式为所得图象的解析式为y=-sin(x+).技法技法 “四看四看”解决解决图象平移象平移问题一看一看:平移要求平移要求拿到拿到这类问题,首先要看首先要看题目要求由哪个函数目要求由哪个函数图象平移到哪象平移到哪个函数个函数图象象,这是判断移是判断移动方向的关方向的关键点点.一般一般题目会有下目会有下面两种常面两种常见的叙述的叙述.解析解析上面两上面
17、两题是平移是平移问题两种典型的叙述方法两种典型的叙述方法,粗看两粗看两题好好像差不多像差不多,其其实两两题的要求是不同的的要求是不同的.第第(1)题是要把函数是要把函数y=sin2x移到移到而第而第(2)题是要把函数是要把函数移到移到y=sin2x,两两题平移平移的要求不同的要求不同.第第(1)题是基本形式是基本形式,应该选D,而第而第(2)题是它的是它的反形式反形式,故故选C. 答案答案(1)D(2)C 二看二看:函数形式函数形式我我们在解决在解决这类问题时,一定要依一定要依赖y=Asin(x+)的形式的形式,如果如果题目目给定的函数不是定的函数不是这样的形式的形式,就要化就要化为y=Asi
18、n(x+)的形式的形式,再考再考虑平移平移. 解析解析此此题主要是函数形式的主要是函数形式的变化化,我我们所研究的两个函数所研究的两个函数必必须都是形如都是形如y=Asin(x+)的形式的形式.当当实际题目中的两个目中的两个函数不都是函数不都是这样的形式的形式时,要先利用函数公式要先利用函数公式进行行转化化.所所以我以我们可以改可以改变 答案答案B三看三看:移移动方向方向在学在学习中中,移移动的方向一般我的方向一般我们会会简记为“左加右减左加右减”,其其实,这样不理解的不理解的记忆是很危是很危险的的.上述上述规则不是不是简单地看地看y=Asin(x+)中中的正的正负,而是和它的平移要求有关而是和它的平移要求有关.正确正确的理解的理解应该是是:平移平移变换中中,将将x变换为x+,这时才是才是“左左加右减加右减”. 答案答案D 答案答案C
