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1、利用三角函数的周期性来展开周期函数一. 傅里叶(Fourier)级数周期函数的傅里叶展开；奇函数和偶函数的傅里叶展开；有限区间中的函数的的傅里叶展开；复数形式的的傅里叶展开。 傅里叶变换傅里叶变换复变函数项级数幂级数幂级数要通过三角函数表示 f(t)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种三角函数来表现 f(t)。这就是傅里叶级数。1. 周期函数的傅里叶展开周期为 2l 的函数 f(t) 满足三角函数族：不同的函数形式由不同的组的 和 表示。a. 2l 周期性b. 按三角函数族展开此为傅里叶级数展开.(1.1)三角函数族具有正交性因此此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够
2、展开任何周期函数。函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致狄里克雷定理 若函数 f(t) 满足条件(1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数 (1.1) 收敛，且2.奇函数和偶函数的傅里叶展开是奇函数，是偶函数。故 奇函数 f(t) 有偶函数 f(x) 有3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开f(t) 定义于 (0, l).可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(t), 在半周期 (0, l) 中 g(t)=f(t). 这种做法叫延拓。例偶延拓奇
3、延拓 4. 复数形式的的傅里叶级数其中二. 傅里叶积分与傅里叶变换有限区间的函数可以延拓为周期函数。而任何一个非周期函数f(t) (定义域R) 。从方便研究而言，它又可以看作为以2l为周期的函数g(t)当l趋于无穷大的函数。设 g(t) 为周期函数，有如下傅里叶展开1. 傅里叶积分其中令：傅里叶积分公式(2.1)故其中(2.2)(2.3)(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,(2) 在区间上绝对可积 （即 收敛）, 则f(x) 可表为傅里叶积分，且傅里叶积分值= 连续点间断点 3. 奇、偶
4、函数的傅里叶积分偶函数奇函数例定义矩形函数为将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。偶函数像函数像原函数表示为原函数到像函数的变换像函数到原函数的逆变换偶函数奇函数例 1 求矩形脉冲函数 的傅氏变换及其积分表达式。5. 傅里叶变换的基本性质(1) 线性性质证明：(2) （微分性质）导数定理导数定理#证明：(2) 象函数的导数公式记则由微分性质即#(3) 积分定理积分定理(3) 相似性相似性定理定理证明(4)位移定理位移定理(5)像函数的位移性质(6) 卷积定理卷积定理原函数的卷积与像函数的乘积间的关系卷积定义：卷积定理很多时候这样反过来用证明6. 函数（单位脉冲函数） 作为广义函数的引入对于任何一个无穷次可微的函数f(x)，如果满足其中(1) 筛选性筛选性质质 证明：（利用 积分 中值 定理）(2) 其它性其它性质质证明 单位阶跃函数证明 7. 傅里叶变换举例7. 傅里叶变换举例三. 傅里叶变换的应用象原函数(方程的解)象函数微分积分方程象函数的代数方程取傅氏逆变换取傅氏变换解代数方程例 1 积分方程 的解 ，其中解：为 的傅里叶正弦逆变换例 2 求解积分方程 解：例 3 求常系数非齐次线性微分方程 解：例 4 求解微分积分方程 解：
