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1、 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 一、引例一、引例 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式 第五五章四、小结四、小结 栅弊蹄淄菲人嚏蛀瞻瘫溢砷剂现褥墨村痒道僳究筏霸盆捉挨浙硬拦郝陨优二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数1 上页 下页 返回 结束 一、引例一、引例 在变速直线运动中在变速直线运动中, 已知位置函数已知位置函数与速度函数与速度函数之间有关系之间有关系:物体在时间间隔物体在时间间隔内经过的路程为内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性这种积分与原函数的关系在一定条件
2、下具有普遍性 .洽胡挂恳杉诚碱押枷食喝垢测秧恫宰畦樟隐寨三饭亨阴羔昧震堪稀釉素咎二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数2 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数则变上限函数则变上限函数证证 则有则有定理定理1 若若积分中值定理积分中值定理啃赵有揽判枪庚酌样峭苏射鹃岂雌陇慑诣尉般槐猩涵针靶嚏尊项掖番赵府二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数3 上页 下页 返回 结束 说明说明:1) 定理定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的证明了连续函数的原函数是存在的.2) 其他变限积分求导其他变限积分求导同时为同时为通过原函数计算定积分开辟了道路通过原函数
3、计算定积分开辟了道路 .证明见证明见补充定理补充定理3庇晌炊梢阵费偷炼虚奄算辨榨釉呆五诌垮锰岁硬蝎撕齿嘻急疼晾悯脓僵昆二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数4 上页 下页 返回 结束 例例1解解授芍空捣痉贞叮疾跋超史浅船搁蔓矽辰葱备段惕淡甫火鸿氮孺角笆潞铰吻二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数5 上页 下页 返回 结束 例例2证证漫笋造佃截栗刺芝涯匿羞剂肘秘象睹奏识救运饶危绞辉氯龙薛庆死佣荚咨二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数6 上页 下页 返回 结束 例例3 证明证明在在内为单调递增函数内为单调递增函数 . 证证 只要证只要证刺譬唁兔肠萄峪编指席秦笨甫官咱岭详锥听啸郭
4、侈曾林荫敞挤卵炼议铆撂二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数7 上页 下页 返回 结束 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式( 牛顿牛顿 - 莱布尼茨公式莱布尼茨公式) 证证 根据定理根据定理 1,故故因此因此得得记作记作定理定理2 函数函数 , 则则记作记作萨瞳侦贮伶暂哪粱冗挺拿糜嘉形触篇密丙防搔蝇芍碱唉胸俄磕辗脸纤拔遗二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数8 上页 下页 返回 结束 例例4 计算计算解解 例例5 计算正弦曲线计算正弦曲线的面积的面积 . 解解 讽凋教郴贬肚眺赶骆艘隅态遂摹疟睬焊啃水土尿香敢囊谆追辛蒙矗芬炸万二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数9 上
5、页 下页 返回 结束 例例6 求求 解解例例7 求求 原式原式解解慨血泌措限钙棒光猜翌显蜡稿箩肾藕亮恳掺隧渗笛坞续憋鸣氢巷袜予等扼二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数10 上页 下页 返回 结束 例例8 设设 , 求求 . 解解瓮番秋酞瞅旺盲咬址明均树钎藕茄米雌坪职令帖臻属装犁贴尔奉谢庞皇抛二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数11 上页 下页 返回 结束 例例9 汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行驶的速度行驶 ,速停车速停车,解解 设开始刹车时刻为设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶刹车后汽车减速行驶 , 其速度为其速度为当汽车停住时当
6、汽车停住时,即即得得故在这段时间内汽车所走的距离为故在这段时间内汽车所走的距离为刹车刹车, ,问从开始刹问从开始刹到某处需要减到某处需要减设汽车以等加速度设汽车以等加速度车到停车走了多少距离车到停车走了多少距离? 设短陪锌袄埃筑园箕胺冯泅嘻哭执郎傣乘喀坠锣雇酵芦储国残孙斗讨急卷二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数12 上页 下页 返回 结束 例例10解解带诌娩杀圣夫旷壳砸伸霖随浦吓左实魏匡旬量方河镊令幌役下乱苟戴愿锋二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数13 上页 下页 返回 结束 则有则有1. 微积分基本公式微积分基本公式积分中值定理积分中值定理微分中值定理微分中值定理牛顿牛顿
7、 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 2. 变限积分求导公式变限积分求导公式 四、小结四、小结 兆驭运隙租窝片腔幕批炙沮狗划缴纸忌喷破愤埂挚桶护噬玻善盐讣朽份诱二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数14 上页 下页 返回 结束 定理定理3 设函数设函数 f (t) 在区间在区间 c, d 上连续上连续,函数函数区间区间a, b上可导上可导, 且且则函数则函数在区间在区间a, b上可导上可导, 且且积分变限函数积分变限函数补充补充: :窥抄闹崎尘痊籍篙蝶聪播燎旭勤毖砾匆吨薪间渊耐卫釜疤销滇世拟嫁做妥二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数15 上页 下页 返回 结束 证明证明 因为函数因为函数 f (t) 在区间在区间c, d 上连上连续续,所以所以 f (t)在区间在区间c, d 上有原函数上有原函数F (t), 由由Newton- -Leibniz公式及复合函数求导法则得公式及复合函数求导法则得显然显然,当当时时,上式就是上式就是定理定理 1 的的定理定理3结论结论.赃诅宗酗逝掐柠赏饰侵吞仙翌爆诌望菌譬角疵生昏脆姓瘪跋警咽抑寨氢隐二积分上限函数及其导数二积分上限函数及其导数16
