现代机械工程图学ppt课件

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1、13.4 直线、平面、立体的相交23.4.1 立体的投影 3.4.1.1 平面立体的投影3 1 棱柱例：正六棱柱，其直观图和三面投影如下 4顶、底面是程度面，H投影反映实形，V、W投影各积聚；前后侧面是正平面，V投影反映实形，H、W积聚；左右侧面都是铅垂面。各棱线是：铅垂的棱线有六条，侧垂的棱线有四条，程度的棱线有八条。分析各棱线的投影特性。1投影分析5知点M的V投影、点N的W投影，求两点的其它投影。图中示出了作图过程。显然，求作各点未知投影的过程利用了立体外表的积聚性投影。2外表取点6 2 棱锥例 正三棱锥，其直观图和三面投影如下 71投影分析 其底面ABC是程度面，侧面SAC是侧垂面AC是

2、侧垂线，另两个侧面SAB、SBC是普通位置平面。 各棱线是：SB是侧平线，SA、SC是普通位置直线，AB、BC是程度线，AC是侧垂线。82外表取点 知三棱锥外表上点M、N的V投影，求其它投影。图中示出了作图过程。 由于点M所在平面无积聚性，所以求作过程用了“两点法或“一点一方向法经过在外表上作直线来确定其未知投影。93.4.1.2 曲面立体的投影 1 圆柱1构成 一矩形平面绕一条边为轴旋转一周构成圆柱体。平行于转轴的边，其轨迹构成圆柱面，该边称为母线，它的恣意位置称为素线。102投影分析 该圆柱H投影积聚为圆。V、W投影为矩形，其上下边是顶、底圆面的积聚投影。素线AA、BB为前后半圆柱面的分界

3、限，称为转向轮廓线，V投影为aa、bb，W投影与回转轴重影不画出；素线CC、DD是左右投影的转向轮廓线，W投影为cc、dd，V投影与回转轴重影亦不画出。113外表取点 知圆柱面上的点M、N的V投影m、n，那么利用H投影的积聚性求出其它投影，留意可见性的判别。作图过程如图中所示。122 圆锥1构成 一三角形平面绕一条边为轴旋转一周构成。相交于转轴的边，其轨迹构成圆锥面，该边称为母线，它的恣意位置称为素线。 圆锥面上可作经过锥顶的直线和垂直于轴的不同直径的圆。132投影分析 圆锥轴线H，其底面H投影为圆，圆锥面与底面重影。V、W为三角形，素线SA、SB是前后半圆锥面的转向轮廓线，V投影为sa、sb

4、。H投影在sa、sb，W投影在sa、sb的位置不画出；素线SC、SD是左右转向轮廓线，W投影sc、sd。H投影在sc、sd，V投影在sc、sd的位置不画出。143外表取点 知圆锥面上点M的V投影，利用过锥顶的直线辅助素线法或利用垂直于轴的圆周辅助圆法来求出其它投影，作图过程如以下图。153 圆球1构成 由一圆面的直径为轴线回转构成，如下图。162投影分析 圆球的投影分别是球面上三条不同方向的转向轮廓线等于球直径的圆的投影，分析如下图。173外表取点知球面上点M、N的H投影m、n，利用球面上过知点且平行于投影面的圆周求出其它投影。作图过程如下图。 应留意球面上可作出恣意方向的圆但不能作直线。18

5、4 圆环1构成由一圆面绕与其共面但不经过该圆圆心的轴线回转而构成，如下图。192投影分析H投影画出内、外环面上转向轮廓线两个实线圆和母线圆的回转轨迹点画线圆；V投影画出内、外环面在V方向投影的转向轮廓线虚与实的半圆和内、外环面分界圆的投影上下二直线。203外表取点 环面上取点应采用垂直于轴线的辅助圆，作图过程如下图。21圆弧回转体的投影及外表取点 如图为部分的圆环面亦称为圆弧回转体，其投影和外表取点如以下图所示。223.4.2 直线与立体相交 直线与立体外表相交，其交点是直线与立体外表的共有点。 求交点的方法普通可利用投影的积聚性、辅助平面法、辅投影法等。该内容可视教学时间和需求情况取舍现举例

6、如下：23例1 求直线与圆柱面的交点 如图a所示，直线AB是普通位置，而圆柱面垂直于H面。 利用圆柱的积聚性，直线的H投影ab与圆柱的H投影圆交点m、n即是直线AB与圆柱交点的H投影，再求出V投影。 由于点M在前半圆柱面上，其V投影m可见，而N点在后半圆柱面上，其V投影n不可见，如图b所示。24例2 求直线与圆锥面的交点 如图a所示，直线AB普通位置，圆锥轴线垂直于H。现包含直线AB和锥顶S作辅助截平面：过S任作两直线S、S，与AB交于、，那么S即是辅助截平面。该截平面与圆锥的交线为S、S，它们的程度投影s3、s4分别与ab交于k1、k2即为交点的H投影。再作出V投影并判别可见性完成作图，如图

7、b、c所示。 25例3 求直线与圆球面的交点 如图b所示，包含直线AB作铅垂面P，截球得到圆。P面上直线AB与该圆的交点即是直线与球的交点。 作一次辅投影，使AB成为投影面平行线，P面截球得到的圆反映真形从而得到交点的一次辅投影k1两解。 前往作其它投影，判别可见性完成作图。 如图a所示，普通位置直线与球相交，求它们的交点。263.4.3 平面与立体相交截交线27概述平面与立体相交在立体外表上的交线称为截交线，如图。该平面称为截平面。截交线围成的平面图形称为截面形。立体被截后，剩余部分称为截余部分。截交线的外形取决于立体外表外形和截平面与立体的相对位置，它可以是直线或曲线。截交线具有如下性质：

8、1是截平面与立体外表的公有线。2普通是封锁的。283.4.3.1 平面截平面立体 平面立体各外表都是平面。因此，平面截平面立体的截交线是一平面多边形，多边形的各顶点是截平面与立体的棱线的交点，或两截平面交线的顶点，且多边形的边数等于顶点数。29例1 求正三棱锥被平面截后的H、W投影。1分析 正三棱锥被一程度面和一正垂面所截。其中程度面与正三棱锥有四个交点，其截面形应是四边形；正垂面与三棱锥有三个交点，其截面形应是三角形。302作图 截交点、三点在三棱锥的棱线上，、两点在外表上。详细作图如右所示。31例2 求正四棱柱开孔后的W投影。 1分析 该正四棱柱被两个程度面上下对称和左右侧平面所截。其中每

9、个程度面与正四棱柱各自有六个截交点，因此其截面形应是六边形；而每个侧平面与正四棱柱各自有四个交点，其截面形应是矩形。各截交点的V、H投影均知，如下图。322作图 如下图，由知二投影求出W投影，留意可见性的判别和前后棱线在、和、之间部分已被截除，其W投影33和66之间无线。33截交线的外形取决于立体外表的外形和截平面与立体轴线的相对位置。截交线为曲线时，其截交点分为特殊点和普通中间点。特殊点是指：1确定曲线根本性质的点，如椭圆长短轴的端点；2确定极限位置的点，如最高、最低，最左、最右，最前、最后点；3确定某投射方向上可见与不可见的分界点即真假分界点等。下面分别讨论平面截圆柱、圆锥、圆球和圆环的截

10、交线及其求作方法。3.4.3.2 平面截回转曲面立体341 平面截圆柱截平面与圆柱轴线的相对位置有平行、垂直、倾斜三种情况，分别产生的截交线为矩形、圆、椭圆，如图abc所示。351截平面平行和垂直于圆柱轴线截圆柱 图ab为截平面侧平面和程度面平行和垂直于圆柱轴线截圆柱时的截交线的求作。其中、为矩形；、为圆弧加直线。留意ab的不同之处，分析其缘由。362截平面倾斜于圆柱轴线截圆柱 图a、b为截平面V倾斜于圆柱轴线截圆柱。其中I、II、III、IV为椭圆长短轴的端点；是最高最左、最低最右、最前、最后点；III、IV亦为W投射方向的转向轮廓线上的点，是真假分界点。V、VI、VII、VIII是中间点。

11、留意a、b的不同之处。373截平面倾斜于圆柱轴线截圆柱的特殊情况 截平面对W投影面的倾角大于45或小于45时，空间椭圆的长轴投影到W面上成了椭圆的短轴或长轴，而空间椭圆的短轴一直是正垂线，其W投影坚持不变。因此，当截平面与W面成45时，那么空间椭圆的长轴投影到W面上与短轴相等，即椭圆投影成了圆。这时的投影如图c所示。38 2 平面截圆锥 由截平面与圆锥的不同位置，可得到不同的截交线：a等腰三角形；b圆；c椭圆；d抛物线加直线；e双曲线加直线。39例 正垂面截圆锥，截交线是椭圆投影的求作 1分析 右图为正垂面截圆锥，截交线是椭圆。 其中I、II、III、IV为椭圆长短轴的端点，是最高最左、最低最

12、右、最前、最后点；V、VI为W投射方向的转向轮廓线上，是真假分界点，这些点都是特殊点。V402作图特殊点的求作如图，图中未求中间点。413 平面截圆球 平面与圆球的截交线总是圆。投影那么取决于截面形对投影面的位置，其投影能够是积聚的直线、圆和椭圆。42 1分析 如下图，程度面截出的截交线分别在V、W投影中积聚，而H投影反映实形；正垂面截出的截交线在V投影中积聚，而H、W投影均为椭圆加直线。例 程度面和正垂面截球的求作V432作图椭圆的求作可按图示进展分析。444 平面截圆弧回转体环面 1分析 圆弧绕和其共面的轴回转构成圆弧回转体。 如下图，其被铅垂面所截，求作中应利用回转面子上与轴线垂直的素线

13、是圆的特性，并由积聚的投影进展求作。例 铅垂面截圆弧回转体的求作452作图 如下图，在V投影的求作中利用了回转面子上与轴线垂直的素线是圆的特性，并由积聚的H投影分别求出曲线上假设干点的V投影，然后光滑衔接得到曲线的V投影。其中I、II是最低点分别为最左、最右，而III是最高点是曲线上与圆弧回转体轴线间隔最短的点。463.4.4 立体与立体相交相贯线473.4.4.1 概述两立体相交称为相贯，其外表交线称为相贯线。相贯线普通是封锁的空间曲线，如图af所示。特殊时可蜕化成平面曲线、直线等，如图gh所示。 确定相贯线的三大要素是：两立体的外形、大小和它们的相互位置。48相贯线是两立体外表的公有线，相

14、贯线上的点称为相贯点，是两立体外表的公有点。相贯线的求作过程是先求出两立体外表的一系列公有点，然后依次光滑衔接成曲线。相贯点有特殊点和普通中间点。如曲面立体的转向轮廓线与另一曲面立体的交点称为转向点；相贯线上的最高、最低、最左、最右、最前、最后点以及相贯线与曲面上素线的切点称为极限位置点等是特殊点。作图时，应求出特殊点，这有助于确定相贯线的投影范围和变化趋势，使相贯线的投影更准确。普通点那么按需求求出。详细求作方法：1外表取点法。条件是必需至少知相贯线的一个投影2辅助截面法。没有投影条件限制，但辅助截面的选择应使所截得的截交线是直线或平行于投影面的圆。辅助截面法在相贯线的求作中运用较多。3.4

15、.4.2 相贯线的求作方法49辅助截面法 如图a所示，圆柱与圆锥相贯，过锥顶并平行于圆柱轴线作辅助截面P，截圆锥面为两相交直线；截圆柱面为两平行直线。交点、，即为相贯线上的点。 图b所示，圆柱与圆锥相贯，辅助截面Q垂直于圆锥轴线并平行于圆柱轴线，截圆锥为平行于H投影面的圆，截圆柱为两平行直线。交点、即为相贯线上的点。选择一系列的辅助面，求得一系列公有点，依次光滑衔接相邻的点完成相贯线的投影。50举例51例1 求不等直径圆柱正交相贯线的投影。 1分析：如下图，两圆柱轴线相互垂直相交。小圆柱垂直于H面、大圆柱垂直于W面，相贯线是一封锁的空间曲线，其前后、左右对称。相贯线的H、W投影分别有积聚性，V

16、投影需求求作。 522辅助截平面的选择 分析可知，投影面的平行面均能截出直线或平行于投影面的圆，因此可作为辅助平面。如下图，本例选正平面P为辅助截平面。533求特殊点 如下图，I、II是最高点、又是最左、最右点，也是V投影方向上的真假分界点，III、IV是最低点、又是最前、最后点。各点的V投影1、2、3、4由知的H、W投影求得。544求普通点如下图，V、VI两点选择辅助平面P求得。555连线并判别可见性 相贯线前后对称，其V投影真假重叠。566不同外表相交情况的分析 上述两圆柱外外表相交的相贯线，同样可出如今圆柱上开圆柱孔的情况下，即圆柱与圆柱孔外和内外表、圆柱孔与圆柱孔内和内外表正交时。它们

17、的求作方法是一样的，如下图。577二等直径圆柱正交 其相贯线由空间曲线蜕化成两个椭圆。如下图，各椭圆所在平面均与V面垂直，因此它们的V投影都积聚成直线，由两立体在V面上的转向轮廓线的交点所连成。58例2 求不等直径圆柱斜交相贯线的投影。1分析 两圆柱轴线倾斜相交，且平行于V面，因此相贯线是一封锁的空间曲线，其前后对称。由于程度大圆柱垂直于W面，所以相贯线的W投影有积聚性，H、V投影需求求作。592辅助截平面的选择 正平面截两圆柱面的截交线均为直线，而其他平面截两圆柱面会出现椭圆。所以选正平面P为辅助平面，如下图。603求特殊点 如下图，、是最高点、又是最左、最右点，也是V投射方向上的真假分界点

18、，、是最低点、又是最前、最后点。各点的V、H投影由知的W投影求得。614求普通点 如下图，V、VI选择正平面P为辅助平面求得两点、。其中，平面P截倾斜小圆柱面的二平行素线经过一次辅投影求出其准确位置。625连线并判别可见性 由于相贯线前后对称，所以V投影真假重叠。而H投影以III、IV为真假分界点，其左边部分为不可见，投影是虚线。倾斜小圆柱的上下转向轮廓线的H投影应补画到点3、4。63例3 求圆柱与圆锥偏交相贯线的投影1分析 如下图，圆柱与圆锥轴线垂直但不相交。相贯线是一封锁的空间曲线，其左右对称。由于程度圆柱垂直于W面，所以相贯线的W投影有积聚性，H、V投影需求求作。642辅助截平面的选择

19、选择程度面或过锥顶的侧垂面为辅助平面分析为什么？653求特殊点 如下图，是最高点，、是最低点、是最前点，是最后点。各点的V、H投影由知的W投影和经过作程度辅助平面方法求得。而两点、，是相贯线与圆锥素线的切点。664求普通点 选择程度面或过锥顶的侧垂面为辅助平面可求得，本例图中未作。675连线并判别可见性 两立体公共可见部分的交线可见，由知的W投影分析知：V投射方向，以点、和、为分界，相贯线的前面部分为可见；H投射方向，以点、为分界，相贯线的上面部分为可见。因此得到如图中的投影结果。圆柱前后转向轮廓线的V投影和上下转向轮廓线的H投影补画情况亦如下图。68例4 求圆柱与圆球偏交相贯线的投影。1分析

20、 如下图，圆柱与球轴线平行但不相交。相贯线是一封锁的空间曲线。由于直立圆柱垂直于H面，所以相贯线的H投影有积聚性，现仅求作V投影。692辅助截平面的选择 选择投影面平行面为辅助平面，其与圆柱面的交线是直线或平行于投影面的圆，而与球面的交线是平行于投影面的圆。703求特殊点 如下图，I、II是最左、最右点，III、IV是最前点、最后点。而最高、最低点E、F的H投影应是在H投影中圆柱和球中心连线与圆周相交的点e、f。以上各点的V投影由它们知的H投影和经过作正平面P为辅助平面的方法求得。714求普通点 可同样选择正平面为辅助平面求得，本例图中未作。725连线并判别可见性 两立体公共可见部分的交线可见

21、，由知的H投影分析知：V投影中，以点I、II为真假分界点，相贯线的前面部分为可见。圆柱和球的前后转向轮廓线在V投影中补画情况亦如下图。733.4.4.3 相贯线的特殊情况 1 两立体相交，它们公切于一个球面时 相贯线由空间曲线蜕化成两个椭圆。如图，各椭圆所在平面均与V面垂直，它们的V投影积聚成直线，由两立体在V面上的转向轮廓线的交点所连成。742 回转体与球相交，且回转体轴线过球心时 其相贯线为一垂直于回转体轴线的圆。 753 球面法 利用回转体与球共轴相交，其相贯线为一垂直于回转体轴线的圆的原理。当圆柱和圆锥同时与球相交且轴线均过球心时，它们分别与球产生的交线都是垂直于相应轴线的圆。假设二圆

22、相交，那么交点是圆柱和圆锥的公有点，即是它们的相贯线上的点，如图中的III、IV、VII、VIII点。因此，当不能采用辅助平面时，那么可思索选择辅助球面法 76例 圆柱和圆锥轴线斜交 1分析 如图，由于除过锥顶且平行于V面的对称平面，或过锥顶的垂直面为辅助平面，截交线都会出现曲线，不宜作图。 现选择辅助球面，以圆柱和圆锥轴线交点为球心，以适当长度为半径作球，球与圆柱、圆锥的交线为圆，两圆交点即是相贯线点。77 以圆柱和圆锥轴线交点为球心，以适当长度为半径作球，球与圆柱、圆锥的交线为圆，两圆交点即是相贯线点III、IV、VII、VIII。它们的V和H投影分别是34、78和3、4、7、8。 圆柱上

23、下转向轮廓线上的点V5、5、VI6、6只能近似求出。2作图78由于辅助球面不但必需与两回转体相交，且球与两回转体的交线也必需相交。图中，小于内切于圆锥的球与圆锥不相交，而大于球心到两回转体外形线交点中远的一点II2、2的间隔为半径的球与两回转体的交线不相交。因此，辅助球面半径的范围是：最大球半径Rmax为球心到两回转体外形线交点中远的一点的间隔；最小球半径Rmin为内切于两回转体中大的一个球半径。辅助球面半径的选择79假设内切于两回转体中大的一个球与两回转体的交线不相交时，最小球半径Rmin那么取球心到两回转体外形线交点中近的一点的间隔，如下图。该当指出，辅助球面法对相贯线上某些特殊点还不能直

24、接求得，如前例圆柱上下转向轮廓线上的点V、VI只能近似求出。辅助球面半径的选择803.4.5 综合举例81概述 几个根本几何体相交组成一个复杂的组合体时，如何正确作出它们的交线。 1.必需很好掌握单一根本几何体被平面所截产生截交线和两个根本几何体相交产生相贯线的分析和求作方法； 2.必需分析清楚组合体由哪几个根本几何体组成、它们的相对位置以及何处存在交线。特别留意对形体的认识和分析； 3.必需分析清楚交线的外形和不同交线的分界点，以及它们的投影情况。 4.按逐一作图，留意衔接，综合完成进展正确求作。82例1 求立体交线的投影。1分析 该组合体是由三个直径不同的圆柱组成。 其中左右程度的小、大两

25、圆柱共轴线并W面; 直立圆柱H面并与程度两圆柱垂直相交。 组合体前后对称。 直立圆柱与程度大、小圆柱的相贯线均为不等直径圆柱正交，各是前后对称的空间曲线。832作图点、和、，分别在W、H中积聚，V为前后重影。 程度大圆柱左端面是侧面平行面，与直立圆柱轴线平行，交线是二铅垂线。其V重影即34一段，H积聚成一点即34，W是34 。后面与前面对称。直立圆柱下端面是程度面，与程度小圆柱面相交是二侧垂线。其V重影即56一段，W积聚成一点即5 6 ，H是56不可见。后面与前面完全对称。最后，补全其它投影，完成作图。84例2 完成开孔立体的H、W投影。1分析 该组合体是由共轴线的圆柱和圆台组成，轴线垂直于H

26、面。组合体开有上下、前后通孔，且相互垂直相交。组合体前后、左右均对称。852作图如下图，圆柱开孔在外外表是不等径圆柱正交的空间曲线和平行于圆柱轴线的二平行直线，相贯线经过、点，其V、H积聚，W为曲线投影；交线和是铅垂线，W投影为直线。内孔是二等直径圆柱正交，交线椭圆的W积聚成直线不可见。圆台开圆柱孔在外外表的交线是空间曲线和双曲线，空间曲线经过、点，其V积聚，H，W为曲线投影；交线、和、是双曲线，其V、H投影积聚，W为曲线投影。内孔是二等直径圆柱正交，交线椭圆的W积聚成直线不可见。W中，圆柱和圆台的转向轮廓线在点、之间已不存在，交线前后对称。最后，补全其它投影，完成作图。86例3 分析立体上哪

27、些是截交线？哪些是相贯线？并补全H投影。1分析 该立体是左右开有圆柱通孔半径R的圆柱。被程度面P、正垂面Q所截，且左面有一半径为R的前后圆柱面E与其相贯。 P平面与左右圆柱轴线平行，与Q平面和圆柱右端面相交，截交线是一矩形； Q平面与左右圆柱轴线倾斜，截圆柱和圆柱孔的截交线是椭圆曲线； 圆柱面E与左右圆柱面是不等直径圆柱正交，与圆柱孔是等直径圆柱正交，它们产生的是相贯线。872作图 H投影前后对称，其中5、18、4之间是不等直径圆柱正交的空间曲线投影，1、94、10之间是椭圆，9、1110、12是直线；6、27、3之间是二等直径圆柱正交相贯线椭圆的积聚投影，2、3是Q平面截圆柱孔的截交线椭圆的投影。