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1、1第四章 线性方程组 第四章第四章 线性方程组线性方程组4.1 线性方程组的基本概念线性方程组的基本概念4.2 高斯高斯(Gauss)消元法消元法4.3 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.4 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构24.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 4.1 线性方程组的基本概念线性方程组的基本概念一、线性方程组的几种表示形式一、线性方程组的几种表示形式二、线性方程组解的存在性与惟一性二、线性方程组解的存在性与惟一性三、等价的线性方程组三、等价的线性方程组34.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 下面将讨论一般线性方程组。下面将讨
2、论一般线性方程组。在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的 而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数 不一定相等。不一定相等。 一、线性方程组的几种表示形式一、线性方程组的几种表示形式方程组，方程组， 需要探讨的问题需要探讨的问题(1) 方程组是否有解方程组是否有解?(2) 如果有解，是否惟一如果有解，是否惟一? (3) 如何求解如何求解?44.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 其中其中为为未知量未知量，是第是第 i 个方程第个方程第 j 个未知量个未知量 xj 的的系数系数，1
3、. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式为为常数项常数项。若常数项不全为若常数项不全为 0，称为，称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组；定义定义否则称为否则称为齐次线性方程组齐次线性方程组 (或者或者导出组导出组)。一、线性方程组的几种表示形式一、线性方程组的几种表示形式 P109 P123 54.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 1. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式一、线性方程组的几种表示形式一、线性方程组的几种表示形式称为称为增广矩阵增广矩阵。2. 线性方程组的矩阵形式线性方程组的矩阵形式简记为简记为A 称为称为系数矩阵系数矩阵，其中其中 P111 64.1 线性
4、方程组的基本概念 第四章 线性方程组 1. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式一、线性方程组的几种表示形式一、线性方程组的几种表示形式2. 线性方程组的矩阵形式线性方程组的矩阵形式3. 线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式令令对于线性方程组对于线性方程组则得到向量形式为则得到向量形式为即即将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合 P111 74.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 1. 线性方程组解的存在性线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性二、线性方程组解的存在性与惟一性线性方程组线性方程组 A X = b 有解有解的充
5、要条件是的充要条件是定理定理证明证明必要性必要性若若 A X = b 有解，有解，则则 b 可由可由 线性表示，线性表示，故向量组故向量组 与与 等价，等价，即得即得P112 定理定理4.2 (1)84.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 充分性充分性1. 线性方程组解的存在性线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性二、线性方程组解的存在性与惟一性线性方程组线性方程组 A X = b 有解有解的充要条件是的充要条件是定理定理证明证明故故 b 可由可由 的线性表示，的线性表示，则则 的极大线性无关组也是的极大线性无关组也是若若即得即得 A X = b 有解。有解。的极大线性
6、无关组，的极大线性无关组，94.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 1. 线性方程组解的存在性线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性二、线性方程组解的存在性与惟一性2. 线性方程组解的惟一性线性方程组解的惟一性即即 A X = b 的解是惟一的。的解是惟一的。设设 则则 A X = b 有惟一解有惟一解。定理定理证明证明由由 知知 A X = b 有解，有解，即存在即存在 ，使得，使得(1) 若若则则 线性无关，线性无关，故故 b 只能由只能由 的惟一地线性表示，的惟一地线性表示，P112 定理定理4.2 (2)104.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 1.
7、 线性方程组解的存在性线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性二、线性方程组解的存在性与惟一性2. 线性方程组解的惟一性线性方程组解的惟一性证明证明故故 A X = b 的解不惟一。的解不惟一。设设 则则 A X = b 有惟一解有惟一解。定理定理(2) 若若线性相关，线性相关，即存在不全为零的即存在不全为零的 ，使得，使得可见可见 也是也是 A X = b 的解的解，则则114.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 1. 线性方程组解的存在性线性方程组解的存在性二、线性方程组解的存在性与惟一性二、线性方程组解的存在性与惟一性2. 线性方程组解的惟一性线性方程组解的惟一性对
8、于线性方程组对于线性方程组 A X = b， 有有( (线性方程组解的判定线性方程组解的判定) )综合综合(2) 当当 时，方程组有时，方程组有唯一解唯一解; (1) 当当 时，方程组有时，方程组有无穷多解无穷多解; (3) 当当 时，方程组有时，方程组有无解无解。其中其中124.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 有非零解有非零解有非零解有非零解二、线性方程组解的存在性与惟一性二、线性方程组解的存在性与惟一性3. 关于齐次线性方程组的一些结论关于齐次线性方程组的一些结论(3) 若若 m = n ，即，即 A 为方阵，则为方阵，则(1) 一定有一定有( (零零) )解。解。则必有非零
9、解。则必有非零解。(2) 只有零解只有零解只有零解只有零解因为因为特别，若特别，若 m n ，即方程的个数小于未知量的个数，即方程的个数小于未知量的个数， 补补 对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 有如下结论：有如下结论： 134.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 三、等价的线性方程组三、等价的线性方程组若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 P ，使，使 P A = B ，则线性方程组，则线性方程组若两个线性方程组同解，则称它们若两个线性方程组同解，则称它们等价等价。定义定义定理定理证明证明A X = b 与与 B X = P b 等价等价( (同解同解) )。由由由由故线性方程组故线性方程组 A X = b 与与 B X = P b 等价等价。 P111 定义定义4.1 P111 定理定理 4.1 144.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 三、等价的线性方程组三、等价的线性方程组 定理的重要意义定理的重要意义则线性方程组则线性方程组 A X = b 与与 B X = P b 同解同解( (即解不变即解不变) )。称此为线性方程组称此为线性方程组同解变形同解变形 。 思考思考可否进行可否进行列初等变换列初等变换？它是后面它是后面( (高斯高斯) )消元法的基础。消元法的基础。若若行初等变换行初等变换154.1 线性方程组的基本概念 第四章 线性方程组 轻松一下吧
