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1、课课题题： 复合函数的导数复合函数的导数(1)(1)教学目的：教学目的：1.理解 ，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律教学重点：教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用教学难点：教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解授课类型：授课类型：新授课课时安排：课时安排：1 课时教教具具：多媒体、实物投影仪内容分析内容分析：复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点. 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：C 0；(xn) nxn1；(
2、sin x) cos x；(cos x) sin x2. .法则 1u(x)v(x) u(x)v(x)法则 2u(x)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x),Cu(x) Cu(x)u uvuv法则 3(v 0)2vv二、讲解新课：二、讲解新课：1.复合函数 : 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数y f (u)与u (x)复合而成的函数一般形式是y f(x)，其中 u 称为中间变量2.求函数y (3x2)2的导数的两种方法与思路：22方法一：yx(3x2) (9x 12x4) 18x12；方法二：将函数y (3x2)2看作是函数y u2和函数u 3x 2复合函数，并分别求对应变量的导
3、数如下： (u2) 2u，uyux (3x2) 3两个导数相乘，得uyux 2u 3 2(3x2) 318x12，从而有yx yuux对于一般的复合函数， 结论也成立， 以后我们求 yx时， 就可以转化为求 yu和 ux的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数 u=(x)在点 x 处有导数 ux=(x)，函数 y=f(u)在点x 的对应点 u 处有导数 yu=f(u)，则复合函数 y=f(x)在点 x 处也有导数，且yx yuux或 fx(x)=f(u)(x).证明： （教师参考不需要给学生讲）设 x 有增量 x，则对应的 u，y 分别有增量 u，
4、y，因为 u=(x)在点 x 可导，所以 u=(x)在点 x 处连续.因此当 x0 时，u0.当 u0 时，由yy uyy lim. 且lim.x0u0uxxu xlimyy uyuyu lim lim lim lim limx0xx0u xx0ux0xu0ux0x即yx yuux(当 u0 时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代三、讲解范例：三、讲解范例：例例 1 1 试说明下列函数是怎样复合而成的？y (2 x2)3；y sin x2；y cos(4 x)；y lnsi
5、n(3x 1)解：函数y (2 x2)3由函数y u3和u 2 x2复合而成；函数y sin x2由函数y sinu和u x2复合而成；函数y cos(4 x)由函数y cosu和u 4 x复合而成；函数y lnsin(3x 1)由函数y lnu、u sin v和v 3x 1复合而成说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等例例 2 2 写出由下列函数复合而成的函数：y cosu，u 1 x2；y lnu，u ln x解：y cos(1 x2)； y ln(ln x)例例 3 3 求y (2x 1)5的导数解：设
6、y u5，u 2x 1，则yx yuux (u5)x(2x 1) 5u42 5(2x 1)32 10(2x 1)4注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例例 4 4 求 f(x)=sinx2的导数.解：令 y=f(x)=sinu; u=x2yx yuux=(sinu)u(x2)x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例例 5 5 求 y=sin2(2x
7、+)的导数.3)时， 求 ux， 但此时 u 仍是复合函数， 所以可再设 v=2x+.33分析: 设 u=sin(2x+解：令 y=u2，u=sin(2x+)，再令 u=sinv，v=2x+33yx yuux=yu(uvvx)yx=yuuvvx=(u2)u(sinv)v(2x+)x3=2ucosv2=2sin(2x+)cos(2x+)233=4sin(2x+2)cos(2x+)=2sin(4x+)3332)3即 yx=2sin(4x+例例 6 6 求y 3ax2bxc的导数.解：令 y=3 u，u=ax2+bx+c12yx yuux=(u)u(ax +bx+c)x=u3(2ax+b)33222
8、ax b12=(ax +bx+c)3(2ax+b)=22333 (ax bx c)即 yx=2ax b3 (ax bx c)322例例 7 7 求 y=51 x的导数.x1 xx1 x)xx解：令y 5u,u yx yuux=(5u)u(4415(1 x)x(1 x)x1 1 x5x(1 x)u()225x5xx11112 4624551 x4x5 (1 x) x5x (x x )55()x即 yx=15x (x x )5241例例 8 8 求 y=sinx的导数.211解：令 y=u ，u=sinx，再令 u=sinv，v=x21yx yuuxvx=(u )u(sinv)v(x)x21211
9、101=2ucosv2=2sinxcosx2=x2sinxxx12yx=x2sinx例例 9 9 求函数 y=(2x23)1 x2的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x23 可求导，1 x2是复合函数，可以先算出1 x2对 x 的导数.解：令 y=uv，u=2x23，v=1 x2, 令 v=， =1+x22vx vx=()(1+x )x112xx=2(2x) 2222 1 x1 xyx=(uv)x=uxv+uvx=(2x23)x1 x2+(2x23)x1 x2=4x1 x 22x33x1 x26x3 x1 x2即 yx=6x3 x1 x2四、课堂练习四、课堂练习：1求下列函数的导数(先
10、设中间变量，再求导).(1)y=(5x3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2x2)3解：(1)令 y=u4，u=5x3yx yuux=(u4)u(5x3)x=4u35=4(5x3)35=20(5x3)3(2)令 y=u5，u=2+3xyx yuux=(u5)u(2+3x)x=5u43=5(2+3x)43=15(2+3x)4(3)令 y=u3，u=2x2yx yuux=(u3)u(2x2)x=3u2(2x)=3(2x2)2(2x)=6x(2x2)2(4)令 y=u2，u=2x3+xyx yuux=(u2)u(2x3+x)x=2u(23x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+1
11、6x3+2x2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(nN N*)(1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4)y=cotnx解：(1)令 y=sinu，u=nx(nx)x=cosun=ncosnxyx yuux=(sinu)u(2)令 y=cosu，u=nx(nx)x=sinun=nsinnxyx yuux=(cosu)u(3)令 y=tanu，u=nx(nx)x=(yx yuux=(tanu)u(4)y=(2x3+x)2sinu)uncosu=1ncosucosu sinu(sinu)n n=nsec2nx222cos ucos nx(cosu)(4)令 y=cotu，u=nx(nx)x=(yx yuux=(cotu)ucosu)unsinu=1nsinusinu cosucosun=n=ncsc2nx222sin usin nx(sinu)五、小结五、小结 ：复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代六、课后作业：六、课后作业：七、板书设计七、板书设计（略）八、课后记：八、课后记：
