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1、4-1 4-1 频率特性的概念频率特性的概念 ( (阐明频率特性与传递函数的关系阐明频率特性与传递函数的关系) )4-2 4-2 频率特性图示方法频率特性图示方法(*)(*) 极坐标图极坐标图( (NyquistNyquist图图) )、对数坐标图、对数坐标图(bode(bode图图) ) 对数幅相特性对数幅相特性(Nichols(Nichols图图) )4-3 4-3 频率特性特征量频率特性特征量第第4 4章章 系统的频率特性分析系统的频率特性分析4-4 4-4 最小相位最小相位/ /非最小相位系统非最小相位系统问题的提出问题的提出 对于自动控制系统，利用系统的频率特性分析系统的性能频率响应
2、法，优点如下：1.不需求解便可判断性能2.形象直观、计算量少3.系统分析、综合、校正方便快捷时域分析的不足：不适用于高阶系统（3、4阶以上）。对于系统如何调整结构参数不能很好说明4.1 4.1 频率特性基本概念频率特性基本概念 频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。 输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。 频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应 前面的例子看出，当前面的例子看出，当输入输入：输出输出： 一、频率响应一、频率响应：下面以下面以RCRC网络为例来说明频率特性的概念网络为例来说明频率特性的概念r(tr(
3、t) )c(tc(t) )如果系统输入为正弦信号如果系统输入为正弦信号则系统输出则系统输出经拉氏反变换经拉氏反变换稳态分量稳态分量稳态分量稳态分量瞬态分量瞬态分量瞬态分量瞬态分量输入输入：这一重要结论，同样适用于任何稳定的线性定常系统。这一重要结论，同样适用于任何稳定的线性定常系统。将传递函数将传递函数中的中的s s换为换为j jw求取求取 在在正弦输入正弦输入下，系统的输出下，系统的输出稳态分量稳态分量与输入量的与输入量的复数之比复数之比( (幅值与相位幅值与相位) )。幅频幅频+ +相频相频频率特性频率特性1 1、稳定线性系统的正弦稳态响应稳定线性系统的正弦稳态响应式中，式中，- -p p
4、j j，j=1,2,j=1,2,n,n为极点。为极点。若：若：拉氏反变换为：拉氏反变换为：频率特性的数学本质若系统稳定，则极点都在若系统稳定，则极点都在s s左半平面。当左半平面。当t t，即稳态时：即稳态时：前面的例子看出，当前面的例子看出，当输入输入：输出输出：线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为输出与输入的相位差说明说明:在正弦输入信号作用下，线性系统的稳态输出是和在正弦输入信号作用下，线性系统的稳态输出是和在正弦输入信号作用下，线性系统的稳态输出是和在正弦输入信号作用下，线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号。输入具有相同频率的正弦信号。输
5、入具有相同频率的正弦信号。输入具有相同频率的正弦信号。输出与输入的幅值比输出与输入的幅值比输出与输入的幅值比输出与输入的幅值比输出与输入的相位差输出与输入的相位差输出与输入的相位差输出与输入的相位差相频特性相频特性相频特性相频特性幅频特性幅频特性幅频特性幅频特性频率特性与传递函数频率特性与传递函数频率特性与传递函数频率特性与传递函数具有十分相似的形式具有十分相似的形式具有十分相似的形式具有十分相似的形式G G G G( ( ( (j j j j )=)=)=)=G G G G( ( ( (s s s s)| )| )| )|s s s s= = = =j j j j 。 【例例】某单位反馈控制
6、系统的开环传递函数为某单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号试求输入信号r(t)=2sin r(t)=2sin 2t2t时系统的稳态输出时系统的稳态输出y(t)y(t)。 解：解：系统的频率特性系统的频率特性=2时，则系统稳态输出为：则系统稳态输出为：y(t)=0.35*2sin(2t-45y(t)=0.35*2sin(2t-45o o ) ) =0.7sin(2t-45=0.7sin(2t-45o o) )频率特性的性质频率特性的性质1 1）与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。）与传递函数一样，频率特性也是一种数
7、学模型。 描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。结构参数给定，则频率特性也完全确定。2 2）频率特性是一种稳态响应。频率特性是一种稳态响应。 系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则无法系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。可以用频率特性来分析研究系统，直接观察到稳态响应。可以用频率特性来分析研究系统，包括它的稳定性、稳态性能等。包括它的稳定性、稳态性能等。3 3）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。 4 4）频率特性可以通过实验量测来获
8、得，而不必推导系）频率特性可以通过实验量测来获得，而不必推导系统的传递函数。统的传递函数。 当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，可利当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，可利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函数模用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函数模型。此外在验证推导出的传递函数的正确性时，也用它型。此外在验证推导出的传递函数的正确性时，也用它所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。5 5）频率特性可以用图来表示。）频率特性可以用图来表示。6 6）只适应于线性定常系统。）只适应于线性定常系统。 4.2 4.2 频率特性的图示方法
9、频率特性的图示方法 频率特性是频率频率特性是频率 的复变函数，可以用频率作自变的复变函数，可以用频率作自变量，在坐标图上表示。量，在坐标图上表示。根据选用的坐标系不同，常用有以下几种：根据选用的坐标系不同，常用有以下几种： 1.1.幅相频率特性幅相频率特性 ( (NyquistNyquist图图) ) 2.2.对数频率特性对数频率特性 (Bode(Bode图图) ) 3.3.对数幅相特性对数幅相特性 (Nichols(Nichols图图) )1.1.极坐标图极坐标图( (NyquistNyquist图图) ) 频率特性频率特性G(jG(j ) )是个复变函数是个复变函数, ,当为某一确定值时，
10、当为某一确定值时，在在复平面复平面复平面复平面上相应地表示为一条确定的矢量上相应地表示为一条确定的矢量当当 作为参变量，取作为参变量，取(0, (0, (0, (0, + + + + ) ) ) )不同值时不同值时, , G(jG(j ) )矢量矢量的终端在复平面上画出的的终端在复平面上画出的轨迹，叫轨迹，叫NyquistNyquist图（极坐图（极坐标图、幅相频率特性曲线）标图、幅相频率特性曲线）。A A( ( ) )系统开环频率特性极坐标图系统开环频率特性极坐标图 系统开环频率特性极坐标图应根据各组成环节的系统开环频率特性极坐标图应根据各组成环节的特性，按特性，按“幅值相乘除，相角相加减幅
11、值相乘除，相角相加减”的原则形成系的原则形成系统的极坐标图。手工绘制时，只能抓关键特征，绘制统的极坐标图。手工绘制时，只能抓关键特征，绘制概略图。概略图。考察这些关键特征的基本方法是，考察这些关键特征的基本方法是，求求A(0)、 (0)和和A()、 ()；补充必要的特征点补充必要的特征点( (如与坐标轴的交点如与坐标轴的交点) )，根，根据据A()、 () 的变化趋势，画出的变化趋势，画出NyquistNyquist图图的大致形状。的大致形状。1.01.0型系统型系统 开环开环NyquistNyquist图画法举例图画法举例且且A A（ ）随随 增大单调减少增大单调减少2.I2.I型系统型系统
12、 开环开环NyquistNyquist图画法举例图画法举例A A（ ）随随 增大单调减少增大单调减少频率特性可表成频率特性可表成A（ ）幅频特性，幅频特性，描述幅值随频率的变化。描述幅值随频率的变化。 （ ）相频特性，相频特性，表示相移与频率的关系。表示相移与频率的关系。2.2.对数频率特性对数频率特性 (Bode(Bode图图) )对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：对数相频特性：0.1 0.212102010002040-20-40dB(分贝分贝)半对数坐标半对数坐标: :由由对数幅频特性对数幅频特性和和对对数相频特性数相频特性两条曲线所组成。两条曲线所组成。 1010倍频程：倍频程
13、：横坐标的一个单位长度，表示频率变化横坐标的一个单位长度，表示频率变化1010倍倍 103050-10-3020lg|G(j )|半对数坐标：横坐标半对数坐标：横坐标 轴采用对数刻度轴采用对数刻度不均匀，而纵不均匀，而纵坐标是均匀刻度，以度为单位。坐标是均匀刻度，以度为单位。P133P133采用对数坐标的优点采用对数坐标的优点- -利用利用频率特性的叠加性频率特性的叠加性 表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BodeBode图上可由环节特性叠加而得到。图上可由环节特性叠加而得到。两边取对数后两边取对数后利用这个特点对构建系统频率特性至关重要利用这
14、个特点对构建系统频率特性至关重要。同样，相频特性也具有这个特点同样，相频特性也具有这个特点系统频率特性表成系统频率特性表成比例环节比例环节积分环节积分环节微分环节微分环节 惯性环节（惯性环节（一一阶系统）阶系统） 一阶微分环节一阶微分环节 振荡环节（二阶系统）振荡环节（二阶系统）一阶不稳定环节一阶不稳定环节 典型环节的频率特性典型环节的频率特性一、一、一、一、比例环节比例环节比例环节比例环节传递函数传递函数: :频率特性频率特性: : 2. 2. 对数频率特性对数频率特性 3.3.幅相频率特性幅相频率特性 1. 1. 幅频特性幅频特性 及相频特性及相频特性 复平面实数轴上一个点，到原点距离为复
15、平面实数轴上一个点，到原点距离为K K改变增益导致对数幅频特性上升或下降一个相应常数，但不影响相频特性改变增益导致对数幅频特性上升或下降一个相应常数，但不影响相频特性 。二、积分二、积分二、积分二、积分环节环节环节环节传递函数传递函数: :频率特性频率特性: : 2. 2. 对数频率特性对数频率特性 1. 1. 幅频特性幅频特性 及相频特性及相频特性 每增加每增加10倍，倍，L()则衰减则衰减20dB。40db0.1110-20db积分环节积分环节20db0.22200db-20db-40db讨论：讨论： 1.N1.N个积分环节串联的幅频特性如何变化个积分环节串联的幅频特性如何变化? ?90
16、-90 -45 0积分环节积分环节45讨论：讨论：N N个积分环节串联的相频特性如何变化个积分环节串联的相频特性如何变化? ? 环节增益不影响相频特性环节增益不影响相频特性, ,在整个频率范围内都等于在整个频率范围内都等于-90-900.10.51210400db20db40db-20db-40dbL()-20低频段低频段：实例实例0 0=K=K3.3.幅相频率特性幅相频率特性 幅相频率特性是一条与虚轴负段相重合的直线。幅相频率特性是一条与虚轴负段相重合的直线。三、微分三、微分三、微分三、微分环节环节环节环节传递函数传递函数: :频率特性频率特性: : 2. 2. 对数频率特性对数频率特性 1
17、. 1. 幅频特性幅频特性 及相频特性及相频特性 3.3.幅相频率特性幅相频率特性 幅相频率特性是一条与虚轴正段相重合的直线。幅相频率特性是一条与虚轴正段相重合的直线。40db0.111020db微分环节微分环节20db0.22200db-20db-40db讨论：讨论： 1.N1.N个微分环节串联的幅频特性如何变化个微分环节串联的幅频特性如何变化? ?90 -90 -45 0微分环节微分环节45四、惯性环节（一阶系统）四、惯性环节（一阶系统）四、惯性环节（一阶系统）四、惯性环节（一阶系统） 传递函数传递函数: :频率特性频率特性: : 1. 1. 幅频特性幅频特性 及相频特性及相频特性 当当
18、时时 a.在在 1/T 1/T（高频段）（高频段）近似地认为，惯性环节在高频段的对数幅频特性近似地认为，惯性环节在高频段的对数幅频特性是经过是经过1/T1/T横轴处，斜率为横轴处，斜率为-20dB/dec-20dB/dec的直线。的直线。2. 2. 2. 2. 对数频率特性对数频率特性对数频率特性对数频率特性 综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用在综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用在1/T处相处相交于交于0分贝的两条渐近直线来近似表示：分贝的两条渐近直线来近似表示：两条渐近线相交处的频率两条渐近线相交处的频率1/T称为转折频率称为转折频率(交接频率交接频率)。采用渐近线在幅频曲线上产生的
19、误差是可以计算的。采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算的。幅值的最大误差发生在转折频率幅值的最大误差发生在转折频率 1/T处：处：40db0.111020db惯性环节惯性环节20db0.22200db-20db-40db8db20lg2.5=820lg2.5=890 -90 -45 0惯性环节惯性环节 相频特性相频特性45 4 2当当=0时，时， ()=0 ；当当=1/T时，时， ()=-45 ；当当时，时， () -90。渐近线渐近线渐近线渐近线 精确曲线精确曲线精确曲线精确曲线 转折频率转折频率转折频率转折频率 精确曲线精确曲线精确曲线精确曲线 惯性环节的对数频率特性惯性环节的对数频
20、率特性惯性环节的对数频率特性惯性环节的对数频率特性 渐近线渐近线渐近线渐近线、精确曲线精确曲线精确曲线精确曲线 思考思考1.1.幅频特性曲线中幅频特性曲线中, ,转折频率后每转折频率后每1010倍频程衰减多少倍频程衰减多少2.2. dB?dB?3.3.2.2.实际转折频率处幅频特性衰减多少实际转折频率处幅频特性衰减多少dBdB？0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20-40转折频率：转折频率：0.50.5实例实例( (续续1 1）惯性环节：惯性环节：低频段：低频段：不难看出，随着频率不难看出，随着频率=0+=0+变化，惯性环节的幅值逐步衰减，变化，惯
21、性环节的幅值逐步衰减，最终趋于最终趋于0 0。相位移的绝对值越来越大，但最终不会大于。相位移的绝对值越来越大，但最终不会大于-90-90，其，其NyquistNyquist图为一个半圆。图为一个半圆。取三个特殊点：取三个特殊点：3. 3. 3. 3. 幅相频率特性幅相频率特性幅相频率特性幅相频率特性 Nyquist图为一个图为一个半圆半圆可证明如下可证明如下：设设: : G(j)=U+jV将它们之比代入实频特性表达式将它们之比代入实频特性表达式五、一阶微分环节五、一阶微分环节五、一阶微分环节五、一阶微分环节 传递函数传递函数: :频率特性频率特性: : 1. 1. 幅频特性幅频特性 及相频特性
22、及相频特性 3. 3. 幅相频率特性幅相频率特性 当当从零变化到无穷时，相频从从零变化到无穷时，相频从0 0变化到变化到+90+90，其幅相频率特性是通过（其幅相频率特性是通过（1 1，0 0）点，且平行于正虚轴的一条直线。）点，且平行于正虚轴的一条直线。2. 2. 对数频率特性对数频率特性 传递函数：传递函数：传递函数：传递函数：G G( (s s)=1+)=1+TsTs频率特性：频率特性：频率特性：频率特性：G G( (j j )=1+)=1+j j T T传递函数互为传递函数互为倒数倒数倒数倒数的环节，其对数幅频曲线关于的环节，其对数幅频曲线关于0dB0dB0dB0dB线线线线对称，其对
23、数相频曲线关于对称，其对数相频曲线关于0 0 0 0 线线线线对称对称一阶微分一阶微分环节的对数频率特性与惯性环节的对数频率环节的对数频率特性与惯性环节的对数频率特性分别以特性分别以0dB0dB线或线或0 0线互为镜像对称线互为镜像对称。一阶微分一阶微分一阶微分一阶微分：对数频率特性曲线对数频率特性曲线对数频率特性曲线对数频率特性曲线 40db0.111020db一阶微分环节一阶微分环节20db0.22200db-20db-40db-8db90 -90 -45 0一阶微分环节一阶微分环节45 4 2六、六、六、六、 振荡环节（二阶系统）振荡环节（二阶系统）振荡环节（二阶系统）振荡环节（二阶系统
24、） 传递函数传递函数: :频率特性频率特性: : 1. 1. 幅相频率特性幅相频率特性 幅频特性：幅频特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：相频特性：相频特性： = = r r时时, ,幅值最大幅值最大, ,这一现象称为这一现象称为“谐振谐振”。几个重要的点：几个重要的点： =0=0时时,A,A（0 0）=1,=1, （0 0）=0=0 , , U(U()=1,V()=0)=1,V()=0 =时时,A(,A()=0,=0, ()=-180()=-180 , , U(U()=0,V()=0)=0,V()=0 = = n n时时, ,A(A( n n)=1/2)=1/2 , , ( ( n
25、 n) )=-90=-90 , ,U()=0,V()=-U()=0,V()=-1/21/201ABBReIm谐振峰讨论谐振峰讨论求导求导 当当当当0.7070.7070.7070.707时，幅值曲线不可能有峰值出时，幅值曲线不可能有峰值出时，幅值曲线不可能有峰值出时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振。现，即不会有谐振。现，即不会有谐振。现，即不会有谐振。 特征点特征点1:1:特征点特征点2: 2: 谐振频率谐振频率 谐振峰值谐振峰值 时时出现谐振出现谐振2. 2. 幅频特性幅频特性 及相频特性及相频特性 讨论：讨论：1 1）低频段的渐进线）低频段的渐进线 2 2）高频段的渐进线）高频段的
26、渐进线: :忽略忽略 1 1，与，与3 3）转折频率）转折频率 = = 称转折频率。称转折频率。高频渐近线与低频渐近线在高频渐近线与低频渐近线在高频渐近线与低频渐近线在高频渐近线与低频渐近线在= = = =n n n n处相交。这个频率称为处相交。这个频率称为处相交。这个频率称为处相交。这个频率称为转折频率转折频率转折频率转折频率( ( ( (交接频率交接频率交接频率交接频率) ) ) )。3. 3. 对数频率特性对数频率特性 近似认为振荡环节在低频段对数幅频特性是与近似认为振荡环节在低频段对数幅频特性是与横轴相重合横轴相重合横轴相重合横轴相重合。当当/n/n111时，时， 0db20db40
27、db-20db-40dbL()0.1110100-40？0db20db40db-20db-40dbL()0.1110100-40振荡环节振荡环节L(L()的修正方法的修正方法传递函数传递函数传递函数传递函数：G G( (s s)=1+2)=1+2 Ts+TTs+T2 2s s2 2频率特性频率特性频率特性频率特性: : : :幅频特性：幅频特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：相频特性：相频特性：七、二阶微分环节七、二阶微分环节七、二阶微分环节七、二阶微分环节二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振荡环节的相应特性关于横二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振荡环节的相应特性关于横轴对称。轴对
28、称。其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为+40dB/dec,+40dB/dec,而相频由而相频由0 0(=0)(=0)，经，经9090(= (= n n）, ,最后趋于最后趋于180180(）传递函数互为传递函数互为倒数倒数倒数倒数的环节，其对数幅频曲线关于的环节，其对数幅频曲线关于0dB0dB0dB0dB线线线线对称，其对数相频曲线关于对称，其对数相频曲线关于0 0 0 0 线线线线对称对称40db0.111040db二阶微分环节二阶微分环节20db1000db-20db-40db180 -180 -90 0二阶微分环节二阶微分环节90 1 2八、一阶不稳定环
29、节八、一阶不稳定环节八、一阶不稳定环节八、一阶不稳定环节 传递函数传递函数: :频率特性频率特性: : 1. 1. 幅相频率特性幅相频率特性 一阶不稳定系统的幅相频率特性是一阶不稳定系统的幅相频率特性是一个为（一个为（-1-1，j0j0）为圆心，为圆心，0.50.5为为半径的半圆。半径的半圆。2. 2. 幅频特性幅频特性 及相频特性及相频特性 在在s s右半平面有极点或零点的系统称为非最小相位系统右半平面有极点或零点的系统称为非最小相位系统 0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20-40转折频率：转折频率：2 2实例实例( (续续2 2）一阶微分：一
30、阶微分：惯性环节：惯性环节：转折频率：转折频率：3030-20-400.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20-40-20-40低频段：转折频率：0.5 2 30斜率： -40 -20 -40二二. . 开环对数频率特性的绘制开环对数频率特性的绘制A A(1) (1) 绘制步骤绘制步骤1.1.标准化，确定各转折频率标准化，确定各转折频率; ;2.2.在在=1=1处处, ,量出量出20lgK(A20lgK(A点）点）; ;3.3.通过通过A A点作一条点作一条-20-20N NdB/dB/十倍频程的直线十倍频程的直线, ,直到第一个转直到第一个转 折频率
31、折频率1，如果如果1wn=1; sigma=0:0.1:1,2,3,5; hold on for i=1:1:size(sigma,2) % length(sigma) Gc=tf(wn2,1,2* sigma(i)*wn, wn2); bode(Gc) end hold off sigma =0.707; wn=0:0.1:1; hold on for i=1:1:size(wn,2) Gc=tf(wn(i)2,1,2* sigma*wn(i), wn(i)2); bode(Gc) end grid hold off 对传递函数为对传递函数为 G(s)=200/(s2+8s+100) 系统，应用系统，应用 bode 函数求得函数求得0.11000不同频率下系统不同频率下系统 幅频特性，并计算系统的频域特征量幅频特性，并计算系统的频域特征量(零频幅值零频幅值/截止截止频频 率率/谐振峰值谐振峰值Mr/谐振频率谐振频率wr) (零频幅值零频幅值 - 频率接近于频率接近于0时的幅值时的幅值 谐振峰值谐振峰值 - 最大幅值最大幅值 谐振频率谐振频率 - 幅频特性最大幅值所对应频率幅频特性最大幅值所对应频率 截止频率截止频率 - 即为即为-3dB点处频率点处频率 logspace(a,b,n) -介于介于10a和和10b之间的之间的n个频率点个频率点)
