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1、 条件条件8.4 波动方程波动方程一、一、 机械机械波的产生波的产生 二二、横波和纵波横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。如柔绳上传播的波。介质质点的介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。如空气中传播的声波。波源：作机械振动的物体波源：作机械振动的物体横波：横波：纵波：纵波：机械波机械波: :机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。传播出去，就形成机械波。弹性介质：承担传播振动的物质弹性介质：
2、承担传播振动的物质1优学课堂波的传播方向波的传播方向特点：具有波峰和波谷特点：具有波峰和波谷横波横波质点的振动方向质点的振动方向纵波纵波波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向特点：具有疏密相间的区域特点：具有疏密相间的区域下面以横波为例观察波的形成过程下面以横波为例观察波的形成过程2优学课堂静止静止 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13振动状态振动状态传至传至4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13振动状态振动状态传至传至7 7振动状态振动状态传至传至10 10 1 2 3 4
3、 5 6 7 8 9 10 11 12 133优学课堂振动状态振动状态 传至传至1313 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13结论结论(1) (1) 波动中各质点并不随波前进；波动中各质点并不随波前进；(2) (2) 各个质点的相位依次落后各个质点的相位依次落后, ,波动是相位的传播；波动是相位的传播；(3) (3) 波动曲线与振动曲线不同。波动曲线与振动曲线不同。波面和波线波面和波线在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。点联结成的面。波面波面: :4优学课堂沿波的传播方向作的沿波的传播方向作的有方向的线。有
4、方向的线。柱面波柱面波在各向同性均匀介质中，波线在各向同性均匀介质中，波线波面。波面。波线波线: :波前波前: : 在某一时刻，波传播在某一时刻，波传播到的最前面的波面。到的最前面的波面。注意注意xyz波面波面波线波线球面波球面波波面波面波线波线波面波面波线波线平面波平面波5优学课堂同一波线上相邻两个相位差为同一波线上相邻两个相位差为 2 2 的质点的质点之间之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。波长反映了波的波长反映了波的空间周期性空间周期性。三、波长三、波长 周期周期 频率和波速频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波前进一
5、个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为与周期的关系为振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为期和频率的关系为6优学课堂(1) 波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同波源振动的周期和频率相同 。纵波的波速为：纵波的波速为：(2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度； 其大小其大小主要决定于介
6、质的性质，与波源及波的频率无关。主要决定于介质的性质，与波源及波的频率无关。说明说明 固体棒的杨氏模量固体棒的杨氏模量 固体棒的密度固体棒的密度固体既可以传播纵波也可以传播横波固体既可以传播纵波也可以传播横波7优学课堂液体和气体只能传播液体和气体只能传播纵波纵波，其，其波速波速由下式给出由下式给出固体媒质中传播的固体媒质中传播的横波速率横波速率由下式给出：由下式给出： 固体的切变弹性模量固体的切变弹性模量 固体密度固体密度 流体的容变弹性模量流体的容变弹性模量 流体的密度流体的密度稀薄大气中的稀薄大气中的纵波波速纵波波速为为 气体摩尔热容比气体摩尔热容比 气体摩尔质量气体摩尔质量 气体摩尔常数
7、气体摩尔常数8优学课堂三、简谐波的波动方程三、简谐波的波动方程波面为平面的简谐波波面为平面的简谐波介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。点作同频率的谐振动。本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。平面简谐波平面简谐波平面简谐波平面简谐波说明说明简谐波是一种最简单、最基本简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。是研究更复杂
8、波的基础。简谐波简谐波:9优学课堂yxxP PO O简谐振动简谐振动从时间看从时间看, , P 点点 t 时刻的位移是时刻的位移是O 点点简谐振动简谐振动平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数时刻的位移时刻的位移; ;从相位看，从相位看，P 点处质点振动相位较点处质点振动相位较O 点处质点相位落后点处质点相位落后 若若P P 为任意点为任意点10优学课堂其它形式其它形式由波函数可知波的传播过程中任意两质点由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和和 x2 振动的相振动的相位差为位差为 x2x1, 0，说明，说明 x2 处质点振动的相位总落后于处质点振动的相位总落后于x1 处质点的处质点的振动
9、；振动；讨论讨论11优学课堂u 实际上是振动相位的传播速度。实际上是振动相位的传播速度。t1 时刻时刻x1 处的振动状态经处的振动状态经t 时间传播到时间传播到x1+x 处，则处，则可得到可得到若波沿轴负向传播时，同样可得到波动方程若波沿轴负向传播时，同样可得到波动方程: :其其 它它 形形 式式12优学课堂如图，如图，在下列情况下试求波动方程：在下列情况下试求波动方程：(3) 若若 u 沿沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？轴负向，以上两种情况又如何？例例 (1) 以以 A 为原点；为原点；(2) 以以 B 为原点；为原点；BA已知已知A 点的振动方程为：点的振动方程为： (1)在在 x 轴
10、上任取一点轴上任取一点P ，A点点 振动方程为：振动方程为：波函数为：波函数为：解解P BA 13优学课堂(2) B 点振动方程为：点振动方程为：(3) 以以 A 为原点：为原点：以以 B 为原点：为原点：波动方程波动方程:14优学课堂表示在表示在t1 时刻的波形时刻的波形ytot 与与 x 都发生变化都发生变化yxo表示表示x1处质点的振动方程处质点的振动方程波动方程的物理意义波动方程的物理意义x=x1（常数）（常数）t=t1（常数）（常数）表示介质中任何质点在任意时刻的位移表示介质中任何质点在任意时刻的位移15优学课堂已知已知t1时刻的波形图（紫色），要确定时刻的波形图（紫色），要确定t=
11、t1+t时刻的波形图，时刻的波形图，只须将其沿波的传播方向平移只须将其沿波的传播方向平移ut的距离即可（红色）的距离即可（红色）oytt=t1时时t=t1+t时时y16优学课堂可以证明三维的波动方程为：可以证明三维的波动方程为：其中其中为质点的位移为质点的位移从上两式可得波动方程：从上两式可得波动方程：波动方程的一般形式波动方程的一般形式17优学课堂y(m)ox(m)波速波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。写出波动方程。时刻的波形如图所示。写出波动方程。4p2设波动方程为设波动方程为t = 0 s时刻时刻yo=2m，vo0，所以，所以O点处的质点的位移及速度点处的质点
12、的位移及速度例例解解18优学课堂同理，对于同理，对于P点有点有t = 0 s时刻时刻yP=0，vP0，所以，所以波动方程为波动方程为y(m)ox(m)4p219优学课堂沿沿x轴负向传播的平面简谐波在轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波速时的波形曲线如图，设波速u=0.5m/s求原点求原点0的振动表达式。的振动表达式。x0y0.5-112t=2st=0由图知由图知t=0原点原点0:例例解解20优学课堂一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为轴正方向传播，已知其波函数为(1) a. 比较法比较法(与标准形式比较）与标准形式比较）标准形式标准形式波函数为波函数为比较可得比较可得例例解解求求 (1) 波的振幅、波长、周期及波速；波的振幅、波长、周期及波速； (2) 质点振动的最大速度。质点振动的最大速度。21优学课堂振幅振幅波长波长周期周期波速波速(2)b.b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）分析法（由各量物理意义，分析相位关系）22优学课堂
