横截面上的最大正应力

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1、圆环：圆环：Dyzd复复习习第六章第六章ZbhZZdDd当中性轴是横截面的对称轴时：横截面上的最大正应力：横截面上的最大正应力：WzWz: : 抗弯截面模量抗弯截面模量y2y1y例例1：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当最大正应力为最小时的支座位置。求当最大正应力为最小时的支座位置。al laq解：作弯矩图支座位置支座位置a a直接影响支座截面和跨直接影响支座截面和跨中截面上的弯矩值。当中性轴为截中截面上的弯矩值。当中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相等面的对称轴，最大拉、压应力相等时，只有支座处截面与跨中截面之时，只有支座处截面与跨中截面之弯矩

2、的绝对值相等，才能使该梁的弯矩的绝对值相等，才能使该梁的最大弯矩的绝对值为最小，从而使最大弯矩的绝对值为最小，从而使其最大正应力为最小。其最大正应力为最小。取有效值取有效值例例2：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图均相等，但放置如图( (a) )、( (b b) )。按弯曲正应力。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比强度条件确定两者许可载荷之比 P1 1P2 2？P1PP2hzbbzh(b)(a)解：例例3： 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？解： 由公式可以看出：该梁

3、的承载能力将是原来的2倍。例例4：主主梁梁AB，跨度为，跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？为多少？ABPaCD主梁主梁ABAB副梁副梁CDCDMM解：主梁AB的最大弯矩副梁CD的最大弯矩由得例例5：图示梁的截面为图示梁的截面为T形，材料的许用拉应形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为力和许用压应力分别为+和和 -，则，则 y1 和和 y2 的最佳比值为多少的最佳比值为多少? (为截面形心为截面形心) 解：例例6：图示外伸梁，受均布载荷作用，

4、材图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力料的许用应力= =160 MPa，校核该梁的，校核该梁的强度。强度。 解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全Fs() kN kN 例例7：图示铸铁梁，许用拉应力图示铸铁梁，许用拉应力+ + =30MPa， 许用压应力许用压应力- - =60MPa, ,z= =7.6310-6m4， 试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。C截面：B截面：满足强度要求满足强度要求本题本题可不必计算可不必计算为什么？例例8：简支梁简支梁AB，在，在截面下边缘贴一应截面下边缘贴一应变片，测得其应变变片，测得其应变= 610-4，材料的弹性，材料的弹性模量模量 E=200GPa

5、，求载荷，求载荷P的大小。的大小。解：C C点的应力点的应力C C截面的弯矩截面的弯矩由得例例9：简支梁受均布荷载，在其简支梁受均布荷载，在其截面的下截面的下边缘贴一应变片，已知材料的边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试，试问该应变片所测得的应变值应为多大？问该应变片所测得的应变值应为多大？解：C截面下边缘的应力C截面的弯矩应变值=75例例10：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长图示木梁，已知下边缘纵向总伸长 为为 10 mm，E=10GPa，求载荷，求载荷 P 的大小。的大小。解：例例11：我国营造法中，对矩形截面梁给出的我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是尺寸比例是 h:b=3

6、:2。试用弯曲正应力强度证。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。接近最佳比值。（使Wz最大）解：由此得3:2例例12: :跨长跨长跨长跨长l l =2m=2m的铸铁梁受力如图示的铸铁梁受力如图示的铸铁梁受力如图示的铸铁梁受力如图示, , , ,已知材料许用拉、已知材料许用拉、已知材料许用拉、已知材料许用拉、压应力分别为压应力分别为压应力分别为压应力分别为和和试根据截面最为合理的要求，确定试根据截面最为合理的要求，确定T T形梁横截面的形梁横截面的一个参数一个参数 ，并校核此梁的强度。，并校核此梁的强度。B BA AP

7、=80kNP=80kN1m1m2m2m2202206060220220 解：设设z z轴过形心轴过形心最为合理时zBAP=80kN1m2m22060220z =24mm梁满足强度要求还需校核最大工作压应力吗？例例13: :图示悬臂梁在自由端受集中力作用图示悬臂梁在自由端受集中力作用图示悬臂梁在自由端受集中力作用图示悬臂梁在自由端受集中力作用, , , ,P P P P =20kN=20kN=20kN=20kN。试在下。试在下。试在下。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：列三种截面形状下，比较所耗材料：列三种截面形状下，比较所耗材料：列三种截面形状下，比较所耗材料：(1)(1)(1)(1)高宽

8、比高宽比高宽比高宽比h/bh/b=2=2的矩形；的矩形；的矩形；的矩形；(2)(2)(2)(2)圆形；圆形；圆形；圆形；(3)(3)(3)(3)工字钢。工字钢。工字钢。工字钢。P P=20kN=20kN解:作弯矩图由强度条件由强度条件(1)(1)矩形矩形b b=6cm =6cm h h=12cm=12cm(2)(2)圆形圆形d d11.3cm11.3cm(3)(3)工字形工字形查型钢表，取查型钢表，取1616号工字钢号工字钢例例14：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载已知已知b=2m ,b=2

9、m ,F FC CB BD DA Ab bb bb b1201204040180180y y20202020解:求出中性轴位置求出中性轴位置 作弯矩图z8686134134FbFb/2/2FbFb/4/4分析可知，不论截面分析可知，不论截面B B或截面或截面C C，梁的强度，梁的强度均由最大拉应力控制均由最大拉应力控制腹板翼缘在腹板上：2、工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力最大剪应力：3、圆截面梁的剪应力、圆截面梁的剪应力例例15：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 许用应力许用应力=160MPa，=100MPa， 试求最小直径试求最小直径 dmin。解

10、:跨中截面弯矩最大，支座附近截面剪力最大由正应力强度条件：由剪应力强度条件：例例16：两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。若材料许用应力为所示。若材料许用应力为，其许可载荷，其许可载荷P为多少？如将两为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为用剪应力为，求螺栓的最小直径？，求螺栓的最小直径？bPl解:一、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲两梁都有自己的中性层每梁的最大正应力：其中：PlMPFSb二、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个：P由正应力

11、强度条件：可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。三、求螺栓最小直径：螺栓主要是受剪zz设梁达到了许用载荷P中性轴处：全梁中性层上的剪力：由螺栓剪切强度条件：可得：讨论： 与何力平衡？例例17：简易起重设备，起重量简易起重设备，起重量P=30kN，跨长，跨长l=5m，吊，吊车大梁车大梁AB由由20a号工字钢制成，试校核梁的强度。号工字钢制成，试校核梁的强度。ABP解:査表当荷载移至跨中时：当荷载移至支座附件时：梁的强度符合要求例例18：上例吊车大梁，起重量增至上例吊车大梁，起重量增至P=50kN，跨，跨长长l=5m，梁，梁AB中段用横截面为中段用横截面为120120mmmm 10 10mmmm

12、而长而长度为度为2.2m的钢板加强。校核梁的强度。的钢板加强。校核梁的强度。ABP1.4m1.4m2.2m12020022010z解:査表:20a工字钢ABP1.4m1.4m2.2m12020022010z组合截面惯性矩：当荷载移至跨中时：剪应力请自行校核！ABP1.4m1.4m2.2m12020022010z还需校核变截面处 ! ! !当荷载移至变截面处时，对变截面最不利为什么？梁的强度不符合要求怎么办？加强板加长！ 加长多少？例例19：矩形截面木梁跨长矩形截面木梁跨长l=3.6m, ,截面尺寸截面尺寸h/b=3/2, ,分布荷载集度分布荷载集度q=0.96kN/m, ,试设计该梁的截试设计

13、该梁的截面尺寸。许用应力面尺寸。许用应力q qh hb bq qzy y解: 跨中为危险截面跨中为危险截面h/bh/b=3=3/ /2 2b b=0.0876m,=0.0876m,h h=0.131m=0.131m可选可选b b=90=90mmmm, , h h=135=135mmmm请注意计算单位！您知道危险点您知道危险点在何处吗？在何处吗？0.31h h例例例例2020、矩形截面梁，跨中矩形截面梁，跨中矩形截面梁，跨中矩形截面梁，跨中C C处处处处受集中力受集中力受集中力受集中力P, P,设截面设截面设截面设截面 高高高高h h为常数，宽度为常数，宽度为常数，宽度为常数，宽度b b可变化，

14、可变化，可变化，可变化，b=bb=b( (x x), ),求求求求b b( (x x) )。l lP PA AB B解：由对称性，研究一半梁由对称性，研究一半梁ACACC Cx x由等强度条件：由等强度条件：b b( (x x) )考虑到剪切强度条件：考虑到剪切强度条件：对于矩形截面：对于矩形截面：b b( (x x) )minmin即:同理：若b为常量，高度h=h(x)l lP PA AB BC Cx x按抛物线变化按抛物线变化考虑到剪切强度条件：PNN鱼腹梁例例1：图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A输入功率输入功率PA=50 马马力，从动轮力，从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别

15、为 PB=PC=15马马力力 ，PD=20马力，轴的转速为马力，轴的转速为n =300转转/ /分钟。分钟。作轴的扭矩图。作轴的扭矩图。mB BmC CmAmD D第五章第五章解：DmCmBmBmBmDmT1T2T3Cm四轮有无更好的排列方式？DmCmBm例例2：内外径分别为内外径分别为20mm和和40mm的空心圆的空心圆截面轴，受扭矩截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。TA15mm解：TA15mm例例3 3：在强度相同的条件下，用在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取的空心圆

16、轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少? ?解：设实心轴的直径为 d1 ，由得：0.80.81.1920.80.512越薄越好吗？例例4 4：一空心圆轴，内外径之为一空心圆轴，内外径之为 , 两两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为,若若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。？（按强度计算）。解： 设空心圆轴的内、外径原分别为设空心圆轴的内、外径原分别为 d d、D D，面，面 积增大一倍后内、外径

17、分别变为积增大一倍后内、外径分别变为 d d1 1 、 D D1 1 ， 最大许可扭矩为最大许可扭矩为1 1例例5：一空心轴一空心轴 =d/D=0.8，转速，转速n=250rpm, 功功率率 P=60kW，=40MPa，求轴的外直径，求轴的外直径D和内和内直径直径d。解：例例6 6：汽车传递轴用汽车传递轴用汽车传递轴用汽车传递轴用4545号无缝钢管制成，外径号无缝钢管制成，外径号无缝钢管制成，外径号无缝钢管制成，外径D D=90=90mmmm, , , ,壁厚壁厚壁厚壁厚 t t =2.5=2.5mmmm，工作时最大扭矩，工作时最大扭矩，工作时最大扭矩，工作时最大扭矩T=1.5T=1.5kNm

18、kNm, , , ,材料的许用剪应力材料的许用剪应力材料的许用剪应力材料的许用剪应力1 1、校核轴的强度；、校核轴的强度；2 2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径；3 3、比较实心轴和空心轴的重量。、比较实心轴和空心轴的重量。解：1 1、校核轴的强度、校核轴的强度轴的强度符合要求例例7：已知一直径已知一直径d=50mm的钢制圆轴在的钢制圆轴在扭转角为扭转角为 6时，轴内最大剪应力等于时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。求该轴长度。解：例例8：圆截面橡胶棒的直径圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后受扭后,原原

19、来表面上的圆周线和纵向线间夹角由来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90变为变为 88。如杆长。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的相对，试求两端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变模量扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩m。md dl l解：由l l例例9：有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，它们的长度、横截面面积和承受的外力偶矩均相它们的长度、横截面面积和承受的外力偶矩均相同。外力偶矩同。外力偶矩m=10kNm, ,轴长轴长l=1m, ,剪切模量剪切模量G=80GP

20、a，实心轴直径为，实心轴直径为104mm，空心轴外径为，空心轴外径为120mm，内径为，内径为60mm。试比较它们的最大扭转角。试比较它们的最大扭转角 。解：实心轴空心轴例例10：图示钢制实心圆截面轴，图示钢制实心圆截面轴，d=70=70mm， G=80GPa ， ，试求截面C相对截面B的扭转角。A AC CB B解：假设A截面不动A AC CB B方向同第一种解法第一种解法第二种解法第二种解法 叠加叠加法法A AC CB B在线弹性范围和小变形条件下，可采用在线弹性范围和小变形条件下，可采用叠加法。叠加法。假设B截面不动。分别求出在单独作用下，C截面相对B截面的扭转角，然后叠加。A AC C

21、B B转向与相反负号表明与相同例11：传动轴传递外力偶矩5kNm,材料的=30MPa, G=80GPa, 试选择轴的直径。解：可选d=95mm三、扭转超静定问题解法三、扭转超静定问题解法例例12：两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面在截面C受外力偶矩受外力偶矩m作用，试求杆两作用，试求杆两端的支座反力偶矩。端的支座反力偶矩。mC CB BA Aab解：静力平衡方程为：变形协调条件为：即：mC CB BA AbmmmmB BmmA A例例1313：横截面为横截面为h=100mm、b=45mm的矩形截面杆，的矩形截面杆，受扭矩受扭矩T=3kNm作用，试求横截面上长边中点处和短作

22、用，试求横截面上长边中点处和短边中点处的扭转剪应力。如采用横截面面积相等的圆边中点处的扭转剪应力。如采用横截面面积相等的圆截面杆，试比较两者的最大剪应力。截面杆，试比较两者的最大剪应力。解：(1)(1)矩形截面：矩形截面：h/b=2.0h/b=2.0时，时， =0.246, =0.246, =0.796 =0.796h/b=2.5h/b=2.5时，时， =0.258, =0.258, =0.767 =0.767线性插入法h h/ /b b=2.0=2.0 =0.246=0.2462.52.50.2580.2582.222.22 =? =?h h/ /b b=2.22=2.22时时长边中点处的剪应力为横截面上的最大剪应力长边中点处的剪应力为横截面上的最大剪应力短边中点处的剪应力为该边上各点处剪应力的最大值短边中点处的剪应力为该边上各点处剪应力的最大值(2) (2) 圆形截面：圆形截面：圆形截面面积圆形截面面积A=A=矩形截面面积矩形截面面积A=10045=4500A=10045=4500d d=75.7mm=75.7mm在面积相等的情况下，矩形截面的最大剪应力比圆形截面在面积相等的情况下，矩形截面的最大剪应力比圆形截面的最大剪应力大。矩形截面愈狭长，其结果愈显悬殊。的最大剪应力大。矩形截面愈狭长，其结果愈显悬殊。