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1、类比推理类比推理1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿, ,发发明了锯明了锯2.2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, ,发明了潜水艇发明了潜水艇. .3.3.科学家对火星进行研究科学家对火星进行研究, ,发现火星与地球有许发现火星与地球有许多类似的特征多类似的特征; ; 1)1)火星也绕太阳运行、绕轴自转的行星火星也绕太阳运行、绕轴自转的行星; ; 2)2)有大气层有大气层, ,在一年中也有季节变更在一年中也有季节变更; ; 3)3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物
2、的生存知生物的生存, ,等等等等. . . .利用平面向量的本定理类比利用平面向量的本定理类比得到得到空间向量的空间向量的基本定理基本定理. .科学家猜想科学家猜想; ;火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在. .在两类不同事物之间进行对比在两类不同事物之间进行对比, ,找出若干相同或找出若干相同或相似点之后相似点之后, ,推测在其他方面也可以存在相同或推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式相似之处的一种推理模式, , 称为称为类比推理类比推理.(.(简简称称; ;类比类比) )类比推理的几个特点类比推理的几个特点; ;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们
3、已经掌握了的事物的属性, ,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性, ,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础, ,类比类比出新的结果出新的结果. .2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性. . 在立体几何的学习中在立体几何的学习中, ,我们可以通过与平面几何我们可以通过与平面几何的相关内容的类比的相关内容的类比, ,得到一些立体几何的概念和性质得到一些立体几何的概念和性质: :1.1.在平面几何中在平面几何中, ,三角形是边数最少的封闭图形三角形是边数最少的封闭图形. . 在空间中在空间中, ,四面体是面数最少
4、的封闭多面体四面体是面数最少的封闭多面体. .2.2.在学习四面体时在学习四面体时, ,就可以通过类比三角形的性质得就可以通过类比三角形的性质得到四面体的一些性质到四面体的一些性质; ;3.3.还可以用平面中的圆类比空间中的球还可以用平面中的圆类比空间中的球; ;4.4.在平面中在平面中, ,学习了直线与圆的位置关系学习了直线与圆的位置关系, ,通过类比通过类比, ,可以得到空间中平面与球的位置关系可以得到空间中平面与球的位置关系. .例例1.1.已知已知“正三角形内一点到三边距离之和是定值正三角形内一点到三边距离之和是定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以，将空间与平面进行类比
5、，空间中什么样的图形可以对应正三角形？在对应图形中有上述定理相应的结论对应正三角形？在对应图形中有上述定理相应的结论吗？吗？解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面体，三角形的边对应四面体的面得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是定值得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是定值为了证明这个猜测可以分析原结果的证明方法，例为了证明这个猜测可以分析原结果的证明方法，例如如面积法面积法，那么类比地考虑猜测的证明可以用，那么类比地考虑猜测的证明可以用体积体积法法例例2 2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给：类比平面内直角三角
6、形的勾股定理，试给出空间中相应的结论出空间中相应的结论a ab bc co oA AB BC Cs s1s2s s3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2ABC ABC =S=S2AOB+SAOB+S2AOC+SAOC+S2BOCBOC猜想猜想: :但是，利用类比推理得出的结论不一定是正确的但是，利用类比推理得出的结论不一定是正确的例如，在平面几何中，对于任意的例如，在平面几何中，对于任意的n n（n3n3）, ,都存在正都存在正n n边形类比到空间：边形类比到空间：对于任意的对于任意的n(n4),n(n4),都有正都有正n n面体面体这个结论是错误的事实上在空间中，只有正四面这个结
7、论是错误的事实上在空间中，只有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体，除此之外，其他的正体，除此之外，其他的正n n面体是不存在的面体是不存在的类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题质，得出一个明确的命题(或猜想或猜想)一般情况下，如果类比的两类事物的相似性一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，越多，相似的性质与推测的性质之间越相关
8、，那么类比得出的结论就越可靠类比推理的那么类比得出的结论就越可靠类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值值常常见类比的知比的知识点点(1)平面几何与立体几何：能平面几何与立体几何：能进行行类比的基本元素有比的基本元素有：(2)实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质(3)实数的运算律与向量的运算律数的运算律与向量的运算律(4)等差数列与等比数列的定等差数列与等比数列的定义及性及性质(5)三种三种圆锥曲曲线的定的定义与性与性质练习练习
9、1 1答案C解析结合实数的运算律知C是正确的 归纳推理和类比推理是最常见的归纳推理和类比推理是最常见的合情推理合情推理. .合合情推理是根据实验和实践的结果情推理是根据实验和实践的结果, ,个人的经验和直个人的经验和直觉觉, ,已有的事实和正确的结论已有的事实和正确的结论( (定义定义, ,公理公理, ,定理定理),),推测出某些结果的推理方式推测出某些结果的推理方式. . 合情推理的特点合情推理的特点(1)合情推理是指合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理，数学研究中，的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向推理常常能为我们提供证明的思路和方向(2)一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠种猜想，未必可靠演绎推理演绎推理
