等腰三角形性质

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1、 玉成中学 等腰三角形性质等腰三角形性质 教学目标教学目标v知识目标：知识目标：了解等腰三角形的性质，会用等腰了解等腰三角形的性质，会用等腰三角形的性质，进行简单的推理、计算三角形的性质，进行简单的推理、计算v能力目标：能力目标：通过动手实验通过动手实验模型演示模型演示探究发探究发现等腰三角形的性质，提高学生的观察力、实验现等腰三角形的性质，提高学生的观察力、实验推理能力。推理能力。 v情感目标：情感目标：通过引导学生对图形的观察、发现，通过引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的

2、解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。自信心。 图中有些你熟悉的图形吗图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点它们有什么共同特点?北京五塔寺北京五塔寺西安半坡博物馆西安半坡博物馆斜拉桥梁斜拉桥梁体育观看台架体育观看台架埃及金字塔埃及金字塔创设情境创设情境 定义：定义： 有有两条边相等两条边相等的三角形叫做的三角形叫做等腰三角形等腰三角形. . 等腰三角形中，相等的两边都叫做等腰三角形中，相等的两边都叫做腰腰，另一边，另一边叫做叫做底边底边，两腰的夹角叫做，两腰的夹角叫做顶角顶角，腰和底边的夹，腰和底边的夹角叫做角叫做底角底角.ACB腰腰底边底边顶顶角角底角底角底角底角一一起起回回

3、忆忆 1 1、等腰三角形一腰为、等腰三角形一腰为3cm,3cm,底为底为4cm,4cm,则它的周长是则它的周长是 ； 2 2、等腰三角形的一边长为、等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边另一边长为长为4cm,4cm,则它的周长则它的周长是是 ； 3 3、等腰三角形的一边长为、等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边另一边长为长为8cm,8cm,则它的周长则它的周长是是 。 10 cm10 cm 或或 11 cm19 cm温故知新温故知新ACBABCABC有什么有什么特点特点? ?活动活动1 1：动手实验，合作探究 ABC把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形 ABC沿折痕对折，除两腰重合外

4、还沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ 探索等腰三角形的性质探索等腰三角形的性质活动活动2 2： ABC把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形 ABC沿折痕对折，除两腰重合外沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ 探索等腰三角形的性质探索等腰三角形的性质活动活动2 2： ABC把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形 ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？重合的部分？并指出重合的部分是什么

5、？ 探索等腰三角形的性质探索等腰三角形的性质活动活动2 2： ABC把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形 ABC沿折痕对折，除两腰重合外沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ 探索等腰三角形的性质探索等腰三角形的性质活动活动2 2： AC把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形 ABC沿折痕对折，除两腰重合沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ 腰腰腰腰底底角角探索等腰三角形的性质探索等腰三角形的性质活动活动2 2： 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三

6、角形ABC沿折痕对折，沿折痕对折，找出其中重合的线段和角找出其中重合的线段和角. 等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是等腰三角形是轴对称图形，轴对称图形，对称轴是对称轴是顶角顶角的的平分平分线线、（、（底边底边上的上的中线中线、底边底边上的上的高）高）所在的直线所在的直线。重合的线段重合的线段重合的角重合的角 AC B D ABACBDCD ADAD B C. BAD CAD ADB ADC 等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗? 大胆猜想大胆猜想分析：分析：1.1.如何证明两个角相等？如何证明两个角相等？ 2.2.如何构造两个全等的三角形？如何构造

7、两个全等的三角形？ （2 2）这命题的题设和结论是什么这命题的题设和结论是什么? ?用用数符号如何表示题设和结论数符号如何表示题设和结论? ?已知已知: :求证求证: :ABCABC中中,AB=AC,AB=ACB=CB=C证明证明: :ABC猜想与论证猜想与论证活动活动3 3： 提问提问：（：（1）你能用所学的知识验证等腰三你能用所学的知识验证等腰三角形的两底角相角形的两底角相 等吗？等吗？猜想：猜想： 性质性质1：等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等 如何构造两个全等的三角形如何构造两个全等的三角形?ABC则有则有12D1 2在在ABD和和ACD中中证明证明: 作顶角的平分线作顶角的平分

8、线AD，ABAC 12 ADAD （公共边）（公共边） ABD ACD （SAS） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） ABC则有则有 BDCDD在在ABD和和ACD中中证明证明: 作作ABC 的中线的中线ADABAC BDCDADAD （公共边）（公共边） ABD ACD （SSS） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等） ABC则有则有 ADBADC 90D在在Rt ABD和和Rt ACD中中证明证明: 作作ABC 的高线的高线ADABAC ADAD （公共边）（公共边） RtABDRtACD （HL） BC （全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相

9、等） ABCD12作作ABC 的中线的中线AD 作顶角的平分线作顶角的平分线AD证：证：ABD ACD （SAS） 证：证：ABD ACD （SAS） 作作ABC 的高线的高线AD 证证RtABD RtACD （HL） 方法方法1 1：方法方法2 2：方法方法3 3：活动活动3 3：等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角的的平分线平分线、底边底边上上的的中线中线、底边底边上的上的高高互相重合互相重合。性质2(等腰三角形等腰三角形三线三线合一合一)是真是假ABCDAB=AC，BD=CD（已知）BAD=CAD， ADBC（三线合一）AB=AC，BAD=CAD （已知） BD=CD ，ADBC（三线合一）

10、AB=AC， ADBC （已知） BD=CD ，BAD=CAD （三线合一）ABCD 论证等腰三角形的性质论证等腰三角形的性质2 求证：求证：AD平分平分BAC ，ADBC已知：已知：在在ABC中，中，AB=AC，AD是底边是底边BC上的中线上的中线猜想与论证性质猜想与论证性质活动活动3 3：等腰三角形的性质：等腰三角形的性质： ABCD（1 1）等腰三角形的两个）等腰三角形的两个底角底角相等相等 （简写成（简写成“等边对等角等边对等角”）。）。 （2 2）等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角的的平分线平分线、底边底边 上的上的中线中线、底边底边上的上的高高互相重合互相重合。 (等腰三角形等腰三角

11、形三线三线合一合一) 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线（底边上的高线，顶角平分线）所在的直线。（底边上的高线，顶角平分线）所在的直线。归纳等腰三角形的性质归纳等腰三角形的性质活动活动3 3：D作作ABC的中线的中线AD，交底边，交底边BC于于D。 D作作ABC的高的高AD，垂直底边垂直底边BC于于D。D1 2作顶角的平分线作顶角的平分线AD.ABCABCABC等腰三角形常见辅助线等腰三角形常见辅助线问题：问题：如图在如图在ABC中中,AB=AC,点点D在在AC上且上且BD=BC=AD, (1)(1)图中共有几个等腰三角形？图中共有几个等腰

12、三角形？DBAC(2)(2)设设A为x你能分别表示出你能分别表示出图中其它各角吗？图中其它各角吗？ 体验新知，学以致用体验新知，学以致用 (3)(3)你能求出你能求出ABCABC各角的度数吗各角的度数吗? ?课本例课本例1、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求ABC各角的度数。ABCD解：解：AB=ACAB=AC，BD=BC=ADBD=BC=AD，ABC=ABC= C= BDC，A= ABD （等边对等角（等边对等角)设设A=x ,则则BDC= A+ ABD=2x ,ABC= C= BDC=2x ,在在ABC中，有中，有A+ ABC+ C=x+2x+2x=18

13、0，x=36，在在ABC中，中， A=36，ABC= C=72x2x2x2x答：答：A=36 ABC= C=72补充例题：补充例题：如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC，D为为BC的的中点，则点中点，则点D到到AB，AC的距离相等。请说明理由。的距离相等。请说明理由。AEFB D C解：相等，解：相等，理由如下：理由如下：连接连接AD在在ABC中，中，AB=AC，D为为C中点中点AD平分平分BAC DE AB，DF AC DE=DF体验新知，学以致用体验新知，学以致用反馈练习、巩固提高反馈练习、巩固提高 3 3、等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为108,它的另外两个角

14、它的另外两个角_.36, 36等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为3636, ,它的顶角为它的顶角为_._. 等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为36,它的另外两个角它的另外两个角_.10836, 108或或36,724、课本、课本77页第页第2题和第题和第3题题1（2010江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A 8 B 7 C 4 D 3 中考链接中考链接1 12 (2010宁波) 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 AB你的细心

15、加你的耐心等于成功！ 如图：如图：ABC中，中，AB=AC,AD和和BE是高，它们相是高，它们相交于点交于点H，且，且AE=BE。 求证：求证：AH=2BDABCDEH证明：证明：AB=AC,AD是高是高(已知已知) BC=2BD（三线合一）（三线合一）12又又BE是高（已知）是高（已知）ADC= BEC= AEH=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在AEH和和BEC中中AEHBEC(ASA)1+ C= 2+ C=90 1= 2（同角的余角相等）（同角的余角相等） AEH= BECAE=BE 1= 2 AH=BC（全等三角形的性质）（全等三角形的性质） AH=2BD（等量代换）（等量代换） 当

16、堂测试当堂测试1.判断下列语句是否正确。判断下列语句是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（合。（ ）（2）有一个角是）有一个角是60的等腰三角形，其它两个的等腰三角形，其它两个 内角也为内角也为60. （ ）（3）等腰三角形的底角都是锐角）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）（4）钝角三角形不可能是等腰三角形）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为7575, ,它的另外两个它的另外两个 角为角为_ _； 等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为7070, ,它的另外两个角它的另外两个角 为为_； 等腰

17、三角形一个角为等腰三角形一个角为110110, ,它的另外两个它的另外两个角角为为_ _ _。75, 3070,40或或55,5535,35填空 当堂测试当堂测试3、 变式训练：若已知变式训练：若已知如上图如上图 AB=ACBAC=100 ,你你能否求出顶架上能否求出顶架上B、C、BAD、CAD的度数的度数.ABDC 2、现在工人师傅要加固屋顶（、现在工人师傅要加固屋顶（ AB=AC），），他们通过测他们通过测量找到了横梁量找到了横梁 BC的中点的中点D，然后在，然后在AD两点之间钉上一根两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的木桩，他们认为木桩是垂直横梁的.你认为他们的说法对你认为他们

18、的说法对吗？请说明理由吗？请说明理由.谈谈你的收获！谈谈你的收获！ 轴对称图形轴对称图形两个底角相等，简称两个底角相等，简称“等边对等角等边对等角”顶角顶角的的平分线平分线、底边底边上的上的中线中线、底边底边上的上的高高互相重合互相重合。(等腰三角形等腰三角形三线三线合一合一)（常用来证明两角相等，求等腰三角形常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数各角的度数）（研究等腰三角形的有关问题时研究等腰三角形的有关问题时“三三线线”是常用的辅助线是常用的辅助线）对称轴是对称轴是对称轴是对称轴是顶角顶角的的平分线平分线、（、（底边底边上的上的中线中线、底边底边上的上的高）高）所在的直线所在的直线所在

19、的直线所在的直线。（2）利用类似的方法，还可以得）利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中那些线段相等？到等腰三角形中那些线段相等？（1）等腰三角形底边中点到两腰）等腰三角形底边中点到两腰 的距离相等吗？的距离相等吗？ABCDEF课后思考课后思考:（3）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60，则这个等腰三角形的顶角为（，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A30 B150 C30或或150 D1201、必做题：课本第、必做题：课本第51页第页第1、2题题2、选做题：课本第、选做题：课本第58页第页第12题题5. 注重个性，布置作业注重个性，布置作业3、预习下节新课、预习下节新课