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1、2.12.1平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念第二章第二章 平面向量平面向量2.1.1 2.1.1 向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念2.1.2 2.1.2 向量的几何表示向量的几何表示2.1.3 2.1.3 相等向量与共线向量相等向量与共线向量 2021/7/221问题问题1:一千吨的大米和一千吨的铁谁更重一千吨的大米和一千吨的铁谁更重?问题提出问题提出速度是既有大小又有方向的量速度是既有大小又有方向的量.问题问题2:老鼠由老鼠由A向向东北方向东北方向以每秒以每秒6米的速度逃窜米的速度逃窜,而猫由而猫由A向向东南方向东南方向每秒每秒10米的速度追米的速度追. 问猫
2、能否问猫能否抓到老鼠抓到老鼠?质量是只有大小没有方向的量质量是只有大小没有方向的量.2021/7/222O OB BA A湖面上有三个景点湖面上有三个景点O,A,B,O,A,B,一游艇将一游艇将游客从景点游客从景点O O送至景点送至景点A,A,半小时后半小时后, ,游艇再将游客送至景点游艇再将游客送至景点B.B.1.1.在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？1.向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念2.2.物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力, , 被拉长或被拉长或压缩的弹簧的弹力压缩的弹簧的弹力力是常
3、见的物理量，也是既有大小又力是常见的物理量，也是既有大小又有方向的量有方向的量. .G GFF2021/7/223（1）向量与数量）向量与数量 既有大小，又有方向的量叫做既有大小，又有方向的量叫做向量向量(物理学中称为矢量物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做只有大小，没有方向的量叫做数量数量(物理学中称为标量物理学中称为标量).注意：注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量向量不不能比较大小能
4、比较大小. . 练习练习 下列物理量不是向量的是（下列物理量不是向量的是（ ） 质量质量 速度速度 位移位移 力力 加速度加速度 路程路程 密度密度 功功辨析：温度含零上和零下温度，所以温度是向量辨析：温度含零上和零下温度，所以温度是向量. .（ ） 直角坐标平面内的直角坐标平面内的x轴，轴，y轴是向量轴是向量. . （ ）2021/7/224一个实数，可用数轴上的点表示；一个实数，可用数轴上的点表示；一个二次函数，可用一条抛物线表示；一个二次函数，可用一条抛物线表示；一个角的正弦、余弦和正切，可用三角函数线一个角的正弦、余弦和正切，可用三角函数线( (有向线段有向线段) )表示表示数学中有许
5、多量都可以用几何方式表示数学中有许多量都可以用几何方式表示. .2.向量的几何表示向量的几何表示由于实数与数轴上的点一一对应，所以由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量数量常常用常常用数轴上的一个点数轴上的一个点表示，如表示，如3，2，-10123-1（1）数量的表示）数量的表示而且不同的点表示不同的数量而且不同的点表示不同的数量.2021/7/225有向线段定义有向线段定义在线段在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假的两个端点中，规定一个顺序，假设设A为起点，为起点，B为终点，就说线段为终点，就说线段AB具有方具有方向，具有方向的线段叫做有向线段向，具有方向的线段叫做有向线段.A（起点）（
6、起点）B（终点）（终点）如图，以如图，以A A为起点、为起点、B B为终点的为终点的有向线段有向线段记作记作 . .线段线段AB的长度也叫做有向线段的长度也叫做有向线段 的长度，记作的长度，记作 .思考：思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？一条有向线段由哪几个基本要素所确定？箭头所指的方向表示有向线段的方向箭头所指的方向表示有向线段的方向.有向线段的三个要素：有向线段的三个要素：起点、方向、长度起点、方向、长度.有向线段使向量的有向线段使向量的“方向方向”得到了表示，而线段的长度可得到了表示，而线段的长度可表示向量的大小，这样我们就可用有向线段表示向量表示向量的大小，这样我们就可用有向线
7、段表示向量.2021/7/226（2）向量的几何表示）向量的几何表示（3）向量的表示方法：）向量的表示方法：AB一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母字母a，b，c，（书写时用注意用（书写时用注意用 表示），如上图表示），如上图. .用有向线段表示用有向线段表示.画图时，我们常用画图时，我们常用有向线段有向线段来表示来表示向量向量 ，线段按一定比例（标度），线段按一定比例（标度）画出画出.其中有向线段的长度表示向量
8、的大小，箭头所指的方向表示其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量的方向.在建立了坐标系后，还可以用坐标表示向量（以后将学到）在建立了坐标系后，还可以用坐标表示向量（以后将学到）.2021/7/227向量向量 的大小，就是向量的大小，就是向量 的长度（或模）的长度（或模）, ,记作记作 ，或者记作或者记作 . .（4）向量的模）向量的模思考：向量的模可以为思考：向量的模可以为0 0吗？可以为吗？可以为1 1吗？可以为负数吗？吗？可以为负数吗？零向量：零向量：长度为长度为0的向量，记作的向量，记作 .单位向量：单位向量：长度等于长度等于1个单位的向量个单位的向量.说明：
9、零向量、单位向量的定义都是只限制大小，说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向不确定方向. 故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.注意：注意：向量是不能比较大小的向量是不能比较大小的,但但向量的模（是正数或零）向量的模（是正数或零）是可以是可以进行大小比较的进行大小比较的.有意义有意义没有意义没有意义2021/7/228比例 1：800000解：解：AB表示A地至B地的位移；AC表示A地至C地的位移.例例1 如图，试根据图中比例尺以及三地的位置，在图中分如图，试根据图中比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示别用向量表示
10、A地至地至B、C两地的位移，并求出实际距离两地的位移，并求出实际距离（精确到（精确到1km）.例题分析例题分析2021/7/229例例2 某人从某人从A点出发向西走了点出发向西走了200m到达到达B点，然后改变点，然后改变方向向西偏北方向向西偏北60走了走了450m到达到达C点点,最后又改变方向最后又改变方向,向东走了向东走了200m到达到达D点点.(1)作出向作出向AB、BC、CD (1 cm表示表示200 m).(2)求求DA的模的模. 2021/7/2210练习练习 已知飞机从已知飞机从A A地按北偏东地按北偏东3030方向飞行方向飞行20002000km到达到达B B地，再从地，再从B
11、 B地按南偏东地按南偏东3030方向飞行方向飞行20002000km到达到达C C地，再从地，再从C C地按西南方向飞行地按西南方向飞行1000 1000 km到达到达D D地地. .(1)(1)画图表示向量画图表示向量 ；(2)(2)求飞机从求飞机从A A地到达地到达D D地的位移所对应的向量的模和方向地的位移所对应的向量的模和方向. .B BA A东东北北C CD D2021/7/2211模相等，方向相同；模相等，方向相同； 模相等，方向不相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；模不相等，方向不相同；思考思考1 1：向量由其模和方向所确定向
12、量由其模和方向所确定. .对于两个向量对于两个向量 ，就，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 3.相等向量与共线向量相等向量与共线向量 2021/7/2212（1）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量向量 与与 相等，记作相等，记作 . （1 1）两个向量不能比较大小，只有）两个向量不能比较大小，只有“相等相等”与与“不相等不相等”的区别的区别. .A AB BC CD DA AB BC CD D注意：注意：（2 2）零向量与零向量相等；零向量与零向量相等；（3
13、 3）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动）对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的的. .因此任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并因此任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点的选取无关；且与有向线段的起点的选取无关；2021/7/2213向量与有向线段的区别：向量与有向线段的区别：向量与有向线段的区别：向量与有向线段的区别：（1 1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；只要大小和方向相
14、同，则这两个向量就是相同的向量；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2 2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. . ABCD即向量和有向线段是两个不同的概念即向量和有向线段是两个不
15、同的概念.由于有向线段具有由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，二者只是一种对应关系不能说向量就是有向线段，二者只是一种对应关系. .2021/7/2214D DC CB BA AB BA A思考思考2 2：如果非零向量如果非零向量 与与 是相反向量，通过平移使是相反向量，通过平移使起点起点A A与与C C重合，那么终点重合，那么终点B B与与D D的位置关系如何？的位置关系如何？ （2 2）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. .向
16、量向量 相反的向量记作相反的向量记作 . .零向量的相反向量仍是零向量零向量的相反向量仍是零向量. .规定规定: :2021/7/2215辨析：辨析：1)1)如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量是平行向量如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量是平行向量. .规定：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行（3 3）平行向量：）平行向量：方向方向相同或相反相同或相反的的非零非零向量向量. . 向量向量 与与 平行，记作平行，记作 2)2)平行向量所在的直线一定互相平行平行向量所在的直线一定互相平行. . （平行或者重合）（平行或者重合）2021/7/2216A AB BC
17、CO Olabc思考思考3 3：将向量平移，不会改变其长度和方向将向量平移，不会改变其长度和方向. .如图，设如图，设 是一组平行向量，任作一条与向量是一组平行向量，任作一条与向量 所在直线平行所在直线平行的直线的直线l，在，在l上任取一点上任取一点O O，分别作，分别作 ，那么点那么点A A、B B、C C的位置关系如何？的位置关系如何？任一组平行向量都可以移动到同一直线上，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，因此，平行向量平行向量也叫做也叫做共线向量共线向量.（即二者是同一个概念！）（即二者是同一个概念！）2021/7/2217不是不是. . 向量的平行、共线与平面几何中线段的平行
18、、共线向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线可以平行也可以共线. .思考思考4 4：如果非零向量如果非零向量 与与 是共线向量，那么点是共线向量，那么点A A、B B、C C、D D是否一定共线？是否一定共线？平行（共线）向量与平行线段、共线线段的区别：平行（共线）向量与平行线段、共线线段的区别：平行向量可以在同一直线上，但两平行线肯定不在同一直线上；平行向量可以在同一直线上，但两平行线肯定不在同一直线上；共线向量可以相互平行，在同一直线上的线段肯定不相互平行共线向量可以
19、相互平行，在同一直线上的线段肯定不相互平行.2021/7/2218思考思考5 5：若向量若向量 与与 平行（或共线），则向量平行（或共线），则向量 与与 相相等或相反吗？等或相反吗？反之，若向量反之，若向量 与与 相等或相反，则向量相等或相反，则向量 与与 平行（或平行（或共线）吗？共线）吗？向量相等或相反向量相等或相反 向量向量平行平行注意：注意：相等向量与相反向量是并列概念，相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念. .2021/7/2219结论：平行向量不具有
20、传递性，但结论：平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向非零平行向量和相等向量都具有传递性量都具有传递性. .思考思考7 7：对于向量对于向量 ，若，若 ， ，那么，那么 吗？吗？思考思考6 6：对于向量对于向量 ，若，若 ， ，那么，那么 吗？吗？ 注意：规定零向量与任一向量平行（共线），故在向量问题中，注意：规定零向量与任一向量平行（共线），故在向量问题中， 注意考虑零向量的特殊性！注意考虑零向量的特殊性！小结小结2021/7/2220练习练习：1、口答题：、口答题：(1) 平行向量是否一定方向相同？（平行向量是否一定方向相同？（ ）(2) 不相等的向量是否一定不平行？（不相等的向量是
21、否一定不平行？（ ）(3) 与零向量相等的向量必定是什么向量？（与零向量相等的向量必定是什么向量？（ ）(4) 与任意向量都平行的向量是什么向量？（与任意向量都平行的向量是什么向量？（ ）(5) 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（么向量？（ ）(6) 两个非零向量相等的充分必要条件是什么？（两个非零向量相等的充分必要条件是什么？（ ）(7) 共线向量一定在同一直线上吗？（共线向量一定在同一直线上吗？（ ）不一定不一定不一定不一定不一定不一定零向量零向量零向量零向量平行向量平行向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同2021/7/2
22、221例例3 3 如图，设如图，设O O为正六边形为正六边形ABCDEFABCDEF的中心，分别写出与的中心，分别写出与 相等的向量相等的向量. .11个个变式一：与向量变式一：与向量 长度相等的向量有多少个？长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量变式二：是否存在与向量 长度相等，方向相反的向量？长度相等，方向相反的向量？O变式三：与向量变式三：与向量 共线的向量有哪些？共线的向量有哪些？例题分析例题分析2021/7/2222练习练习 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，BCEBCE为等腰直角三角为等腰直角三角形形. .以图中各点为起点和终点以图中各点为起点和终
23、点, ,写出：写出：A AB BC CD DE E与向量与向量 模相等的向量：模相等的向量：与向量与向量 共线的向量：共线的向量：与向量与向量 相等的向量：相等的向量：与向量与向量 相等的向量：相等的向量：2021/7/2223相等的有相等的有7个个长度相等长度相等的有的有15个个练习练习 在在4545排列方格中有一个向量排列方格中有一个向量 以图中的格点为以图中的格点为起点和终点，其中与起点和终点，其中与 相等的向量有多少个？与相等的向量有多少个？与 长长度相等的共线向量有多少个？度相等的共线向量有多少个？2021/7/2224练习练习 如图，在如图，在ABCABC中，中，D D、E E、F
24、 F分别是分别是ABAB、BCBC、CACA边上边上的点，已知的点，已知 求证：求证： . . A AB BCD DE EF F2021/7/2225例例4 4 判断下列结论是否正确判断下列结论是否正确. . （5 5）任一向量与它的相反向量不相等任一向量与它的相反向量不相等 （2 2）不相等的向量一定不平行）不相等的向量一定不平行 （1 1）单位向量都相等）单位向量都相等 （3 3）若非零向量）若非零向量 , ,则则 （4 4）四边形）四边形ABCDABCD中中 , ,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 2021/7/2226下面几个命题：下面几个命题： （2）若）若|a|
25、=0，则，则a = 0（5）若）若a = b，b = c，则则a = c. A0B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是其中正确的个数是( )B（1 1）两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；（4 4）若）若 , ,则四边形则四边形ABCDABCD是平行四边形；是平行四边形； （6）若）若a / b，b / c，则则a / c.（3）若）若|a|=|b|，则，则a = b 或或a = - -b ；2021/7/2227例例5 5 对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？图形？(2)(2
26、)把所有单位向量的起点平行移动到同一点把所有单位向量的起点平行移动到同一点P P；(1)(1)把平行于直线把平行于直线L L的所有单位向量的起点平移到的所有单位向量的起点平移到L L上的点上的点P;P;解解: : (1)(1)是直线是直线L L上与点上与点P P的距离为的距离为1 1的两个点；的两个点；(2)(2)是以是以P P点为圆心，以点为圆心，以1 1个单位长为半径的圆；个单位长为半径的圆；(3)(3)把平行于直线把平行于直线L L的一切向量的起点平移到的一切向量的起点平移到L L上的点上的点P.P.(3)(3)直线直线L L(4)(4)把所有相等向量平移到同一个起点上把所有相等向量平移
27、到同一个起点上. .(4)(4)一个点一个点2021/7/22281. 向量的定义及表示向量的定义及表示2. 向量的模向量的模3. 向量向量小结小结: :定义定义表示表示几何表示几何表示字母表示字母表示大小大小方向方向大小大小方向方向零向量、单位向量零向量、单位向量平行向量平行向量(共线向量共线向量)相等向量、相反向量相等向量、相反向量作业：作业：P77P7778 78 练习练习+ +习题习题back2021/7/2229课堂小测验：课堂小测验：1.下列各量中下列各量中不是向量不是向量的是（的是（ ）A.浮力浮力 B.风速风速 C.位移位移 D.密度密度2.下列说法中下列说法中错误错误的是（的
28、是（ ） A.零向量是没有方向的零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些那么这些向量的终点所构成的图形是（向量的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段一条线段 B.一段圆弧一段圆弧 C.圆上一群孤立点圆上一群孤立点 D.一个单位圆一个单位圆2021/7/22304.已知非零向量已知非零向量a b,若非零向量若非零向量c a,则则c与与b必定必定 .5.已知已知a、b是两非零向量是两非零向量,且且a与与b不共线不共线,若非零向量若非零向量c与与a共线共线,则则c与与b_.6.在四边形在四边形ABCD中，中， AB=DC，且，且|AB|=|AD|，则四边形则四边形ABCD是是 .7.设在平面上给定了一个四边形设在平面上给定了一个四边形ABCD,点点K、L、M、N分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点的中点, 求证：求证： KL =NM. 1.D 2.A 3.D 4.1.D 2.A 3.D 4.平行平行5 5不平行不平行. 6. 6.菱形菱形back2021/7/2231个人观点供参考，欢迎讨论
