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1、虹桥学校 高静 第十九章 勾股定理 数学界的盛会国际数学家大会 2002年在北京举行 这是本届大会的会徽！这是本届大会的会徽！请观察这个会徽是由什么基请观察这个会徽是由什么基本图形构成的？本图形构成的？ABCA、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方问题问题1 1：等腰直角三角形三边关系：等腰直角三角形三边关系：a2+b2=c2ac一、探索发现地砖的奥妙AB图图1图图2问题问题2 2：任意直角三角形三边关系：任意直角三角形三边关系：CABC方法一：SC=72-4 43
2、=25方法二：SC=4 43+1 = 25SA+SB=SC32+42=52网格的玄机网格的玄机提出猜想：提出猜想：是否在直角三角形中两直角边长分别是否在直角三角形中两直角边长分别两直角边的平方和等于斜边的平方？两直角边的平方和等于斜边的平方？1.伽菲尔德证法伽菲尔德证法: s s梯形梯形= (a+b)(a+b)= (a= (a+b)(a+b)= (a2 2+2ab+b+2ab+b2 2) ) = a = a2 2+ab+ b+ab+ b2 2 s s梯形梯形=2=2 ab+ c ab+ c2 2=ab+ c=ab+ c2 2ss梯形梯形=s=s梯形梯形 a a2 2+ab+ b+ab+ b2
3、2=ab+ c=ab+ c2 2 aa2 2+b+b2 2=c=c2 2aabbcc美国第二十任总统伽菲尔德的证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话在数学史上被传为佳话 二、大胆猜想 通过拼图后的证明，我们可以得出这个正确的结论勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为a a、b b，斜边长为斜边长为c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2。 在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦 根据我国古算书根据我国古算书周髀
4、算经周髀算经记载，在约公记载，在约公元前元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗？四，那么弦是五，你知道是为什么吗？abc勾股弦三、勾股定理的证明2、这就是著名的“赵爽弦图”，是我国汉代的数学家赵爽在证明勾股定理时用到的。证明证明: S S = c= c2 2 S S=4=4ab+(b-a)ab+(b-a)2 2 =2ab+b=2ab+b2 2-2ab+b-2ab+b2 2 =a =a2 2+b+b2 2 S S= =S S c c2 2=a=a2 2+b+b2 2 abc 刚才我们利用拼图，并通过面积的方法证明得出了勾股
5、定理，你是否还有其它的拼图方式吗？聪明的你能给出证明吗？拼一拼、证一证3.3.毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法: :abcaabbc大正方形大正方形=4=4 ab+a ab+a2 2+b+b2 2 =2ab+a=2ab+a2 2+b+b2 2大正方形大正方形=4=4 ab+c ab+c2 2 =2ab+c =2ab+c2 2大正方形大正方形= =大正方形大正方形2ab+a2ab+a2 2+b+b2 2=2ab+c=2ab+c2 2aa2 2+b+b2 2=c=c2 2abcabcbacabc用用两种方法表示大正方形的面积两种方法表示大正方形的面积:abcbcbcbcaaa对比两种表示方法对比两种表
6、示方法,你能得到勾股定理吗你能得到勾股定理吗?试试一一试试4.我们用下面方法来说明勾股定理是正确的我们用下面方法来说明勾股定理是正确的v练一练：求出下列直角三角形中未知边的长度：10681522303、本节课我们经历了怎样的过程？、本节课我们经历了怎样的过程？经历了从生活情境引入数学问题然后发现定理，再到探经历了从生活情境引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股
7、定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。验证数学结论的数形结合思想。、学了本节课后我们有什么感想？、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。辉煌历史的教育。v总结：作业：作业：、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景。、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景。、通过查阅资料，了解勾股定理的证明方法。、通过查阅资料，了解勾股定理的证明方法。
