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1、3.1 3.1 随机过程基本概念随机过程基本概念3.2 3.2 平稳随机过程平稳随机过程3.3 3.3 高斯随机过程高斯随机过程3.4 3.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3.5 3.5 窄带随机过程窄带随机过程3.6 3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声3.7 3.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声 第第3章章 随机过程随机过程13.1 随机过程基本概念随机过程基本概念一、随机过程一、随机过程 ( (t t) ) 的定义：的定义： 随时间变化的随机变量（随时间变化的随机变量（ ）样本函数样本函数 i (t)：随机过程的一次实现，：随机过程的一次实
2、现， 是确定的时间函数。是确定的时间函数。随机过程：随机过程： (t) = 1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部样本函数的集合。是全部样本函数的集合。n n台示波器同时观测并记录这台示波器同时观测并记录这台示波器同时观测并记录这台示波器同时观测并记录这n n台接收机的输出噪声波形台接收机的输出噪声波形台接收机的输出噪声波形台接收机的输出噪声波形 t1t223.1 随机过程基本概念随机过程基本概念角度角度角度角度2 2：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。l在任一给定时刻在任一给定时刻在任一给
3、定时刻在任一给定时刻t t1 1上，每一个样本函数上，每一个样本函数上，每一个样本函数上，每一个样本函数 i i ( (t t) ) 都是一个都是一个都是一个都是一个确定数值确定数值确定数值确定数值 i i ( (t t1 1) ) ，但是每个但是每个但是每个但是每个 i i ( (t t1 1) ) 都是不可预知的。都是不可预知的。都是不可预知的。都是不可预知的。l在一个固定时刻在一个固定时刻在一个固定时刻在一个固定时刻t t1 1上，不同样本的取值上，不同样本的取值上，不同样本的取值上，不同样本的取值 i i ( (t t1 1), ), i i = 1, 2, , = 1, 2, , n
4、 n 是一个随机变量，记为是一个随机变量，记为是一个随机变量，记为是一个随机变量，记为 ( (t t1 1) )。l换句话说，随机过程在任意时刻的值是一随机变量。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一随机变量。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一随机变量。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一随机变量。l因此，我们又可以把因此，我们又可以把因此，我们又可以把因此，我们又可以把随机过程随机过程随机过程随机过程看作看作看作看作是是是是在时间进程中处在时间进程中处在时间进程中处在时间进程中处于不同时刻的于不同时刻的于不同时刻的于不同时刻的随机变量的集合随机变量的集合随机变量的集合随机变量的集合。33.1
5、 随机过程基本概念随机过程基本概念设设设设 ( (t t) )表示一个随机过程，则它在任意时刻表示一个随机过程，则它在任意时刻表示一个随机过程，则它在任意时刻表示一个随机过程，则它在任意时刻 t t1 1的值的值的值的值 ( (t t1 1) ) 是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量是一个随机变量，随机变量的统计特性可以随机变量的统计特性可以随机变量的统计特性可以随机变量的统计特性可以用下面函数描述用下面函数描述用下面函数描述用下面函数描述:l随机过程随机过程 (t)的的一维分布函数一维分布函数：l随机过程随机过程 (t)的的一维概率密度函数一维概率密度函数：二、随机过程的分布函数二、随
6、机过程的分布函数二、随机过程的分布函数二、随机过程的分布函数偏导存在偏导存在偏导存在偏导存在43.1 随机过程基本概念随机过程基本概念l随机过程随机过程 (t)的的二维分布函数二维分布函数：l随机过程随机过程 (t)的的二维概率密度函数二维概率密度函数：一维统计特性不能描述一维统计特性不能描述一维统计特性不能描述一维统计特性不能描述多个时刻上多个时刻上多个时刻上多个时刻上随机变量的关系，随机变量的关系，随机变量的关系，随机变量的关系，即随机过程即随机过程即随机过程即随机过程随时间变化随时间变化随时间变化随时间变化的特点。的特点。的特点。的特点。偏偏偏偏导导导导存存存存在在在在53.1 随机过程
7、基本概念随机过程基本概念随机过程随机过程 (t)的任意的任意n维维分布函数：分布函数：随机过程随机过程 (t)的任意的任意n维维概率密度函数：概率密度函数：偏偏偏偏导导导导存存存存在在在在63.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、三、 随机过程的数字特征随机过程的数字特征1.均值（数学期望）：均值（数学期望）：均值（数学期望）：均值（数学期望）：在任意给定时刻在任意给定时刻在任意给定时刻在任意给定时刻 t t1 1 的取值的取值的取值的取值 ( (t t1 1) ) 是是是是随机变量随机变量随机变量随机变量，均值，均值，均值，均值 (t1)的概率密度函数的概率密度函数由于由于由于由于 t
8、t1 1 是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t t1 1 直接写为直接写为直接写为直接写为 t t ， x x1 1 改为改为改为改为 x x ，这样，这样，这样，这样 上式上式上式上式73.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、三、 随机过程的数字特征随机过程的数字特征1、均值、均值a a ( (t t ) ) ( (t t) ) 的均值的均值的均值的均值是时间的确定函数，常记作是时间的确定函数，常记作是时间的确定函数，常记作是时间的确定函数，常记作 a a ( ( t t ) )，它表示随机过程的它表示随机过程的它表示随机过程的它表示随机过
9、程的n n个样本函数曲线的摆动中心个样本函数曲线的摆动中心个样本函数曲线的摆动中心个样本函数曲线的摆动中心 : :83.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、三、 随机过程的数字特征随机过程的数字特征2、方差、方差均方值均方值均方值均方值均值平方均值平方均值平方均值平方方差常记为方差常记为方差常记为方差常记为 2 2( ( t t ) )。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻。这里也把任意时刻 t t1 1 直接写成了直接写成了直接写成了直接写成了t t 。所以，方差等于所以，方差等于所以，方差等于所以，方差等于均方值均方值均方值均方值与与与与均值平方均值平方均值平方均值平方
10、之差，表示随机过程在之差，表示随机过程在之差，表示随机过程在之差，表示随机过程在 t t 对于对于对于对于均值均值均值均值 a a ( ( t t ) ) 的偏离程度。的偏离程度。的偏离程度。的偏离程度。93.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、三、 随机过程的数字特征随机过程的数字特征3、相关函数、相关函数式中，式中， (t1) 和和 (t2) 分别是在分别是在 t1 和和 t2 时刻时刻观测得到的随机变量。可以看出，观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量是两个变量 t1 和和 t2 的确定函数的确定函数。103.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、三、 随机过程
11、的数字特征随机过程的数字特征4、协方差函数、协方差函数式中式中式中式中 a a ( (t t1 1) ) 、 a a ( (t t2 2) ) - - 在在在在t t1 1和和和和t t2 2时刻得到的时刻得到的时刻得到的时刻得到的 ( (t t) )的均值的均值的均值的均值 f f2 2 ( (x x1 1, , x x2 2; ; t t1 1, , t t2 2) ) - - ( (t t) )的二维概率密度函数的二维概率密度函数的二维概率密度函数的二维概率密度函数113.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、三、 随机过程的数字特征随机过程的数字特征相关函数与协方差函数关系为：相关函
12、数与协方差函数关系为： B(t1, t2)=R(t1, t2) - a(t1)a(t2)由于由于B(t1, t2)和和R(t1, t2) 是衡量同一过程的相关是衡量同一过程的相关程度的，程度的， 因此，它们又常分别称为因此，它们又常分别称为自协方差自协方差函数函数和和自相关函数自相关函数。123.2 平稳随机过程平稳随机过程一、定义、性质与特点：定义、性质与特点：若一个随机过程若一个随机过程 (t) 的任意有限维分布的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数意的正整数 n 和所有实数和所有实数 ，有，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随
13、机过程，则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称简称简称简称严平稳随机过程严平稳随机过程严平稳随机过程严平稳随机过程。133.2 平稳随机过程平稳随机过程性质：性质：该定义表明，平稳随机过程的该定义表明，平稳随机过程的统计特性统计特性不随时间的推移而改变，即它的不随时间的推移而改变，即它的一维一维分布函分布函数与时间数与时间 t 无关无关：而二维分布函数只与时间间隔而二维分布函数只与时间间隔 = t2 t1有关有关：143.2 平稳随机过程平稳随机过程数字特征：数字特征：特点：（特点：（1）其均值与
14、）其均值与 t 无关，为常数无关，为常数 a ； （2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。具有以上两个特点称为具有以上两个特点称为广义平稳随机过程广义平稳随机过程。153.2 平稳随机过程平稳随机过程l通信系统中通信系统中所遇到的所遇到的信号信号及及噪声噪声，大多数，大多数可视为可视为平稳的随机过程平稳的随机过程。以后讨论的随机。以后讨论的随机过程除特殊说明外，过程除特殊说明外，均假定均假定是是平稳平稳的，的， 且且均指均指广义平稳随机过程广义平稳随机过程， 简称简称平稳过程平稳过程。 163.2 平稳随机过程平稳随机过程二、各态历经性：二、各态历经性：l问题的提出问
15、题的提出：我们知道，随机过程的数字：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数所有样本函数的的统计平均统计平均，但在实际中常，但在实际中常常很难测得大量的样本常很难测得大量的样本l这样，我们自然会提出这样一个问题：这样，我们自然会提出这样一个问题： 能能否从一次试验而得到的一个样本函数否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来来决定平稳过程的数字特征呢决定平稳过程的数字特征呢?173.2 平稳随机过程平稳随机过程二、各态历经性：二、各态历经性：l回答是肯定的回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条。平稳过程在满足一定的条件下具有一个
16、件下具有一个有趣有趣而又非常有用的特性，而又非常有用的特性，称为称为“各态历经性各态历经性”（又称（又称“遍历性遍历性”）。）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）为统计平均）完全可由完全可由随机过程中的随机过程中的任一任一实现的时间平均值来代替实现的时间平均值来代替。 l下面，我们来讨论各态历经性的条件。下面，我们来讨论各态历经性的条件。183.2 平稳随机过程平稳随机过程二、各态历经性：二、各态历经性：设：设：设：设：x x( (t t) ) 是平稳过程是平稳过程是平稳过程是平稳过程 ( (t t) ) 的任意一次实现的任意一次实现的任意一次
17、实现的任意一次实现( (样本样本样本样本), ), 若若若若即：过程的数字特征（统计平均）完全可由随即：过程的数字特征（统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。机过程中的任一实现的时间平均值来代替。193.2 平稳随机过程平稳随机过程例例3-1 设一个设一个随机相位随机相位的正弦波为的正弦波为 其中，其中，A和和 c均为均为常数常数； 是在是在(0, 2(0, 2) )内均内均匀分布的随机变量。试讨论匀分布的随机变量。试讨论 ( (t t) )是否具有各是否具有各态历经性。态历经性。解：解：(1)(1)先求先求 ( (t t) )的统计平均值：的统计平均值：数学期望数学期望2
18、03.2 平稳随机过程平稳随机过程自相关函数自相关函数213.2 平稳随机过程平稳随机过程 可见，可见， ( (t t) )的数学期望为的数学期望为常数常数，而自相关函，而自相关函数与数与t t 无关，只与时间间隔无关，只与时间间隔 有关，有关， 所以所以 ( (t t) )是是 广义平稳过程广义平稳过程。223.2 平稳随机过程平稳随机过程(2) 求求 (t) 的时间平均值的时间平均值233.2 平稳随机过程平稳随机过程比较统计平均与时间平均，可见：比较统计平均与时间平均，可见：结论：随机相位余弦波是各态历经的。结论：随机相位余弦波是各态历经的。243.2 平稳随机过程平稳随机过程三、自相关
19、函数：自相关函数： R()=E(t)(t+) 平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：l (t)的平均功率的平均功率信号的总能量信号的总能量信号的总能量信号的总能量 信号的平均功率信号的平均功率信号的平均功率信号的平均功率 数学期望数学期望数学期望数学期望正是信号均值正是信号均值正是信号均值正是信号均值 253.2 平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下
20、特点：l 的偶函数的偶函数的偶函数的偶函数因为与时间的起点无关，关于因为与时间的起点无关，关于因为与时间的起点无关，关于因为与时间的起点无关，关于 y y 轴对称轴对称轴对称轴对称l R R( ( ) ) 的上界，即最大值。的上界，即最大值。的上界，即最大值。的上界，即最大值。证明： 因为263.2 平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：l ( (t t) ) 的的的的直流功率直流功率直流功率直流功率 证明： 273.2 平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程
21、的自相关函数具有以下特点：平稳随机过程的自相关函数具有以下特点：l (t) 的的交流功率交流功率证明：证明：证明：证明：283.2 平稳随机过程平稳随机过程四、功率谱密度：四、功率谱密度：四、功率谱密度：四、功率谱密度：l对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f f ( (t t) )，它的功率谱密度，它的功率谱密度，它的功率谱密度，它的功率谱密度定义为定义为定义为定义为 式中，式中，式中，式中，F FT T ( ( f f ) )是是是是f f ( (t t) )的截短函数的截短函数的截短函数的截短函数f fT T ( (t t) ) 所对应
22、的频谱函数所对应的频谱函数所对应的频谱函数所对应的频谱函数l对于平稳随机过程对于平稳随机过程对于平稳随机过程对于平稳随机过程 ( (t t) ) ，可以把，可以把，可以把，可以把f f ( (t t) )当作是当作是当作是当作是 ( (t t) )的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度程的功率谱密度程的功率谱密度程的功率谱密度293.2 平稳随机过程平稳随机过程四、功率谱密度：四、功率谱密度：定义：定义：303.2 平稳随机过程平稳随机过程l功率谱密度
23、的计算功率谱密度的计算： 维纳维纳-辛钦关系辛钦关系 自相关函数自相关函数与其与其功率谱密度功率谱密度 是一对是一对傅里叶变换傅里叶变换。 记为记为313.2 平稳随机过程平稳随机过程l自相关函数自相关函数与其与其功率谱密度功率谱密度 关系关系 证明证明：323.2 平稳随机过程平稳随机过程作变量替换，令作变量替换，令作变量替换，令作变量替换，令 u u v v = = ， u u + + v v = = t t ，上式的二重积，上式的二重积，上式的二重积，上式的二重积分变换到下面的区域上：分变换到下面的区域上：分变换到下面的区域上：分变换到下面的区域上：333.2 平稳随机过程平稳随机过程l
24、坐标变换，坐标变换，坐标变换，坐标变换，du , dv du , dv 变换成变换成变换成变换成 u u = ( = (t t + + ) ) ，v v = ( = ( - -t t) ) 原积分可以写成原积分可以写成原积分可以写成原积分可以写成343.2 平稳随机过程平稳随机过程令令令令 T T 取极限取极限取极限取极限维纳维纳维纳维纳- - - -辛钦定理辛钦定理辛钦定理辛钦定理353.2 平稳随机过程平稳随机过程l对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：总功率：推论：推论：各态历经过程的各态历经过程的各态历经过程的各态历经过程的任一样本函数任一样本
25、函数任一样本函数任一样本函数的功率谱密度等的功率谱密度等的功率谱密度等的功率谱密度等于过程的功率谱密度。于过程的功率谱密度。于过程的功率谱密度。于过程的功率谱密度。 功率谱密度功率谱密度功率谱密度功率谱密度P P ( ( f f ) )具有具有具有具有非负性非负性非负性非负性和和和和实偶性实偶性实偶性实偶性，即有，即有，即有，即有363.2 平稳随机过程平稳随机过程例例3-2求随机相位余弦波求随机相位余弦波 (t) = Acos( ct + )的自相关函数和功率谱密度。的自相关函数和功率谱密度。由维纳由维纳由维纳由维纳- -辛钦关系，以及辛钦关系，以及辛钦关系，以及辛钦关系，以及得到得到得到得
26、到解：在例解：在例解：在例解：在例3-13-1中，已经求出中，已经求出中，已经求出中，已经求出 ( (t t) )的的的的相关函数为相关函数为相关函数为相关函数为373.2 平稳随机过程平稳随机过程l 本课常见信号变换对本课常见信号变换对 门函数门函数门函数门函数 指数函数指数函数指数函数指数函数正弦函数正弦函数正弦函数正弦函数383.2 平稳随机过程平稳随机过程时移时移时移时移 频移频移频移频移 尺度尺度尺度尺度 卷积定理卷积定理卷积定理卷积定理 393.2 平稳随机过程平稳随机过程 满足满足满足满足 平稳平稳平稳平稳 性质性质性质性质各态经历：时间平均各态经历：时间平均各态经历：时间平均各
27、态经历：时间平均 统计平均统计平均统计平均统计平均 时域时域时域时域 频频频频 域域域域（条件条件条件条件1 1）：（）：（）：（）：（1 1）其均值与）其均值与）其均值与）其均值与 t t 无关，为常数无关，为常数无关，为常数无关，为常数 a a ； （2 2）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔）自相关函数只与时间间隔 有关。有关。有关。有关。（条件（条件（条件（条件2 2）：）：）：）：小结：小结：403.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程一一、定义定义若任意若任意n维概率密度函数可表示为维概率密度函数可表示为则称该随机过程为高斯（正态）随机过
28、程。式中则称该随机过程为高斯（正态）随机过程。式中413.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程B为归一化协方差矩阵的为归一化协方差矩阵的行列式行列式，即，即 其中其中423.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程二、重要性质二、重要性质1、 n维概率密度函数由数字特征确定；维概率密度函数由数字特征确定；高斯过程的高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量维分布只依赖各个随机变量的的均值均值、方差方差和和归一化协方差归一化协方差。2 2、广义平稳的高斯过程也是严平稳的；、广义平稳的高斯过程也是严平稳的；若过程平稳若过程平稳 - 其均值为常数其均值为常数 ，协方差，协方差函数只与函数只与有
29、关，而与时间起点无关，则有关，而与时间起点无关，则它的它的n维分布也与时间起点无关维分布也与时间起点无关 433.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程二、重要性质二、重要性质3、若不同时刻的取值是不相关的，则它们也、若不同时刻的取值是不相关的，则它们也是统计独立的；是统计独立的；uu 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有即对所有即对所有即对所有j j k k，有，有，有，有b bjkjk =0 =0，则其概率密度可以简化为，则其概率密度可以简化为，则其概率
30、密度可以简化为，则其概率密度可以简化为443.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程二、重要性质二、重要性质4、高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是、高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。高斯过程。 可以说，若线性系统的输入为高斯过程，可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。则系统输出也是高斯过程。453.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程三、高斯随机变量三、高斯随机变量高斯过程在高斯过程在任一时刻上任一时刻上是一个是一个高斯随机变量高斯随机变量，其一维概率密度函数为其一维概率密度函数为463.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程性质：性质：
31、l f (x)对称于直线对称于直线 x = al a表示表示分布中心分布中心， 称为称为标准偏差标准偏差，表，表示集中程度，图形将随着示集中程度，图形将随着 的减小而变高的减小而变高和变窄。当和变窄。当a = 0和和 = 1时，称为标准化的时，称为标准化的正态分布。正态分布。473.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程计算：正态分布函数计算：正态分布函数 令令 得得483.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程l误差函数误差函数 和和 互补误差函数互补误差函数 误差函数的定义式为：误差函数的定义式为：它是自变量的递增函数它是自变量的递增函数erf(0) = 0，erf() = 1
32、，且，且 erf(-x) = - erf(x)。493.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程用互补误差函数用互补误差函数 erfc(x) 表示正态分布函数：表示正态分布函数：当当x 2时，时，503.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程用用Q函数函数表示正态分布函数：表示正态分布函数： Q函数函数定义定义：Q函数函数 是一种经常用于表示是一种经常用于表示 高斯尾部曲线下高斯尾部曲线下的面积的面积的函数的函数513.3 高斯（正态）随机过程高斯（正态）随机过程Q函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系：或或或或Q函数和分布函数函数和分布函数 F(x) 的关系：的关系：523.4
33、 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 若输入过程是平稳的，输出过程是否平稳？若输入过程是平稳的，输出过程是否平稳？输入信号与输出信号的统计关系如何？输入信号与输出信号的统计关系如何？如何求输入过程的均值与自相关函数？如何求输入过程的均值与自相关函数？533.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统l随机信号通过线性系统：随机信号通过线性系统：uu 假设假设假设假设 i i( (t t) ) 是平稳的输入随机过程，是平稳的输入随机过程，是平稳的输入随机过程，是平稳的输入随机过程， a a 均值，均值，均值，均值， R Ri i( ( ) ) 自相关函数，自相关函数，自相
34、关函数，自相关函数， P Pi i( ( ) ) 功率谱密度功率谱密度功率谱密度功率谱密度求输出过程求输出过程求输出过程求输出过程 o o( (t t) ) 的统计特性，即它的的统计特性，即它的的统计特性，即它的的统计特性，即它的均值均值均值均值、自自自自相关函数相关函数相关函数相关函数、功率谱功率谱功率谱功率谱以及以及以及以及概率分布概率分布概率分布概率分布。543.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 对下式两边取统计平均：对下式两边取统计平均：对下式两边取统计平均：对下式两边取统计平均：得到得到得到得到1. 输出过程输出过程 o(t) 的均值的均值:553.4 平稳随机过
35、程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统由于设输入过程是平稳的由于设输入过程是平稳的 ，则有，则有H(0)是线性系统在是线性系统在 f = 0处的处的频率响应频率响应，可见输出过程的可见输出过程的均值是常数均值是常数。563.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统2、输出过程、输出过程 o(t) 的自相关函数：的自相关函数： 根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义573.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统根据输入过程的平稳性，有根据输入过程的平稳性，有于是于是输出过程的自相关函数仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅是时间间隔
36、输出过程的自相关函数仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。的函数。的函数。的函数。通过对输出过程的数学期望和自相关函数证明，通过对输出过程的数学期望和自相关函数证明，通过对输出过程的数学期望和自相关函数证明，通过对输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的若线性系统的若线性系统的若线性系统的输入输入输入输入是是是是平稳平稳平稳平稳的，则的，则的，则的，则输出输出输出输出也是也是也是也是平稳平稳平稳平稳的的的的583.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统3、输出过程、输出过程 o(t) 的的功率谱密度功率谱密度令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得
37、到593.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以功率谱密度乘以系统频率响应模值系统频率响应模值的的平方平方。应用：由应用：由Po( f ) 的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求 Ro() 603.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统4. 输出过程输出过程Po(t)的概率分布的概率分布如果线性系统的如果线性系统的如果线性系统的如果线性系统的输入输入输入输入过程是过程是过程是过程是高斯型高斯型高斯型高斯型的，的，的，的， 则系统的则系统的则系统的则系统的输出输出输出输出过程也是过程也
38、是过程也是过程也是高斯型高斯型高斯型高斯型的。的。的。的。 因为从积分原理看，因为从积分原理看，因为从积分原理看，因为从积分原理看， 可以表示为：可以表示为：可以表示为：可以表示为： 613.4 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统l由于已假设由于已假设 i (t) 是高斯型的，则是高斯型的，则 输出过程输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。高斯随机变量之和。l 注意，与输入高斯过程相比，输出过程的注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数数字特征字特征已经改变了。已经改变了。623.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和
39、带限白噪声1、白噪声：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪白噪声：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪白噪声：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪白噪声：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即声，即声，即声，即 双边功率谱密度双边功率谱密度双边功率谱密度双边功率谱密度或或或或 单边功率谱密度单边功率谱密度单边功率谱密度单边功率谱密度式中式中式中式中 n n0 0 正常数正常数正常数正常数l白噪声的自相关函数：对白噪声的自相关函数：对白噪声的自相关函数：对白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度双边功率谱密度双边功率谱密度双边功率谱密度取傅里叶取傅里叶取傅里叶取傅里叶反变换，得到相关函数反变换，得到相关
40、函数反变换，得到相关函数反变换，得到相关函数633.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声l白噪声和其自相关函白噪声和其自相关函白噪声和其自相关函白噪声和其自相关函数的曲线数的曲线数的曲线数的曲线f00643.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声l白噪声的功率白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大 真正真正真正真正“ “白白白白” ”噪声是不存在的，只是构造一种理想化噪声形式。噪声是不存在的，只是构造一种理想化噪声形式。噪声是不存在的，只是
41、构造一种理想化噪声形式。噪声是不存在的，只是构造一种理想化噪声形式。 实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。 白噪声取值的概率分布服从高斯分布，称之为高斯白噪声。白噪声取值的概率分布服从高斯分布，称之为高斯白噪声。白噪声取值的概率分布服从高斯分布，称之为
42、高斯白噪声。白噪声取值的概率分布服从高斯分布，称之为高斯白噪声。 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。不相关的，而且还是统计独立的。不相关的，而且还是统计独立的。不相关的，而且还是统计独立的。653.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声2、低通白噪声：如果白噪声通过、低通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的理想矩形的低通滤波器低通滤波器或或理想低通信道理想低通信道，则输出的噪，则
43、输出的噪声称为声称为低通白噪声低通白噪声。 l功率谱密度功率谱密度由于功率谱频带受限亦由于功率谱频带受限亦称为称为带限白噪声带限白噪声。自相关函数自相关函数663.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声l 功率谱密度功率谱密度 和和 自相关函数曲线自相关函数曲线由曲线看出，这种带限白噪声只有在由曲线看出，这种带限白噪声只有在由曲线看出，这种带限白噪声只有在由曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。 673.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声3、带通白噪声：如果白噪声通过理想矩形
44、的带通白噪声：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为噪声称为带通白噪声带通白噪声。l理想带通滤波器的传输特性为：理想带通滤波器的传输特性为：功率谱密度功率谱密度683.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声l自相关函数l平均功率693.7 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声l带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线1/B1/B703.5 窄带随机过程窄带随机过程 定义：若随机过程定义：若随机过程 (t)的谱密度集中在中心的谱密度集中在中心频率频率fc附近相对窄的频带范围附近相对窄的
45、频带范围 f 内，即满足内，即满足 f fc的条件，且的条件，且 fc 远离零频率，则称该远离零频率，则称该 (t)为窄带随机过程。功率谱密度图为窄带随机过程。功率谱密度图 713.5 窄带随机过程窄带随机过程波形波形波形波形：723.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带随机过程的表示：窄带随机过程的表示：a a ( (t t) ) 随机包络，随机包络，随机包络，随机包络， ( (t t) ) 随机相位随机相位随机相位随机相位 c c 中心角频率中心角频率中心角频率中心角频率a a ( (t t) ) 和和和和 ( (t t) ) 的变化相对于载波的变化相对于载波的变化相对于载波的变化相对于载波c
46、oscos c ct t 的变化要缓慢得多的变化要缓慢得多的变化要缓慢得多的变化要缓慢得多733.5 窄带随机过程窄带随机过程式中式中式中式中 ( (t t) )的的的的同相分量同相分量同相分量同相分量 ( (t t) )的的的的正交分量正交分量正交分量正交分量 ( (t t) ) 的统计特性由的统计特性由的统计特性由的统计特性由a a ( (t t) )和和和和 ( (t t) ) 或或或或 c c( (t t) ) 和和和和 s s( (t t) )的的的的统计特性确定。若统计特性确定。若统计特性确定。若统计特性确定。若 ( (t t) )的统计特性已知，则的统计特性已知，则的统计特性已知
47、，则的统计特性已知，则a a ( (t t) )和和和和 ( (t t) ) 或或或或 c c( (t t) )和和和和 s s( (t t) )的统计特性也随之确定。的统计特性也随之确定。的统计特性也随之确定。的统计特性也随之确定。 743.5 窄带随机过程窄带随机过程 c(t)和和 s(t)的统计特性的统计特性l数学期望：对数学期望：对 ( (t t) )求数学期望得到求数学期望得到 因为因为 (t) 平稳且均值为零，平稳且均值为零， 故对于任意故对于任意的时间的时间t t，都有，都有 E (t) = 0 ，所以，所以753.5 窄带随机过程窄带随机过程l (t)的自相关函数：的自相关函数
48、： 因为因为 (t) 是平稳的，故有是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间这就要求上式的右端与时间 t 无关，而仅与无关，而仅与 有关。因此，若令有关。因此，若令 t = 0，上式仍应成立，上式仍应成立，763.5 窄带随机过程窄带随机过程它变为它变为所以，上式变为所以，上式变为因与时间因与时间 t 无关，以下二式自然成立无关，以下二式自然成立773.5 窄带随机过程窄带随机过程再令再令 t = /2 c，同理可以求得，同理可以求得由以上分析可知，若窄带过程由以上分析可知，若窄带过程 (t)是平稳的，是平稳的，则则 c(t)和和 s(t)也必然是平稳的。也必然是平稳的。l进一步分析，下两式应同
49、时成立，进一步分析，下两式应同时成立，比比较较783.5 窄带随机过程窄带随机过程故有故有同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自具有相同的自相关函数。相关函数。根据互相关函数的性质，应有根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到代入上式，得到 ， 表明表明Rsc( )是是 的奇函数的奇函数，所以，所以 。同一时刻的同相和正交分量是互相正交的。同一时刻的同相和正交分量是互相正交的。793.5 窄带随机过程窄带随机过程将将 代入代入 结论：结论： (t) 、 c(t) 和和 s(t) 具有具有 相同的相同的 平均功率平均功率 或或 方差。方差。 即即得得803.5 窄
50、带随机过程窄带随机过程l根据平稳性，过程的特性与变量根据平稳性，过程的特性与变量 t 无关，故无关，故由式由式 因为因为 (t)是是高斯过程高斯过程，所以，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随机变量，从而一定是高斯随机变量，从而 c(t) 、 s(t)也也是是高斯过程。高斯过程。得到得到813.5 窄带随机过程窄带随机过程l根据根据 可知，可知， c(t) 与与 s(t)在在 = 0处处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此互不相关，又由于它们是高斯型的，因此 c(t) 与与 s(t)也是也是统计独立的。统计独立的。l结论：结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程一个均值为零的窄带平稳高斯过
51、程 (t) ，它的同相分量，它的同相分量 c(t)和正交分量和正交分量 s(t)同同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的也相同。此外，在同一时刻上得到的 c 和和 s 是是互不相关的互不相关的或或统计独立的统计独立的。823.5 窄带随机过程窄带随机过程3.5.2 包络包络a (t)和相位和相位 (t)的统计特性的统计特性l联合概率密度函数联合概率密度函数联合概率密度函数联合概率密度函数 f f ( (a a , , ) )根据概率论知识有根据概率论知识有根据概率论知识有根据概率论知识有由由由由可以求得可以求得可以求得可以求得
52、833.5 窄带随机过程窄带随机过程于是有于是有式中式中 a 0, (0 2)843.5 窄带随机过程窄带随机过程l包络包络包络包络a a 的一维概率密度函数的一维概率密度函数的一维概率密度函数的一维概率密度函数 再利用概率论中边际分布知识将再利用概率论中边际分布知识将再利用概率论中边际分布知识将再利用概率论中边际分布知识将f f( (a a , , ) )对对对对 积分积分积分积分可见，可见，可见，可见， a a 服从瑞利服从瑞利服从瑞利服从瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)分布。分布。分布。分布。853.5 窄带随机过程窄带随机过程l相位相位 的一维概率密度函数的一维概率密度函数
53、可见，可见， 服从均匀分布。服从均匀分布。863.5 窄带随机过程窄带随机过程l结论结论一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 2的窄带平稳高斯的窄带平稳高斯过程过程 (t)，其包络，其包络a (t)的一维分布是的一维分布是瑞利分瑞利分布布，相位，相位 (t)的一维分布是的一维分布是均匀分布均匀分布，并，并且就一维分布而言，且就一维分布而言， a (t)与与 (t)是是统计独统计独立的立的 ，即有，即有 873.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l正弦波加窄带高斯噪声的表示式正弦波加窄带高斯噪声的表示式式中式中883.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l正弦波加窄带高斯噪
54、声的包络和相位表示式正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式包络：包络：相位：相位：l包络的概率密度函数包络的概率密度函数 f (z)由由由由上一节的结果，如果上一节的结果，如果上一节的结果，如果上一节的结果，如果 值已给定，则值已给定，则值已给定，则值已给定，则z zc c、z zs s 是是是是相互独立的高斯随机变相互独立的高斯随机变相互独立的高斯随机变相互独立的高斯随机变量，且有量，且有量，且有量，且有893.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 根据根据zc，zs与与z， 之间的随机变量关系，求之间的随机变量关系，求得在给定相位得在给定相位 的条件下的的条件下的z与与 的联合概率
55、的联合概率密度函数密度函数903.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声然后求给定条件下的边际分布，然后求给定条件下的边际分布， 即即有有故有故有式中式中I0(x) 第一类零阶修正贝塞尔函数第一类零阶修正贝塞尔函数913.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声因此因此由上式可见，由上式可见，f ( , z)与与 无关，故无关，故称为称为广义瑞利分布广义瑞利分布，又称，又称莱斯莱斯（Rice）分布。）分布。923.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l讨论讨论l当信号很小时，即当信号很小时，即A 0时，上式中时，上式中(Az/ n2)很小，很小，I0 (Az/ n2) 1，上
56、式的莱，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。斯分布退化为瑞利分布。l当当(Az/ n2)很大时，有很大时，有这时上式近似为高斯分布，即这时上式近似为高斯分布，即933.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l包络概率密度函数 f (z)曲线943.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声l正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性F()95第第3章总结章总结96延迟延迟1/Tx(t)x( t -)R()97l平稳过程自相关函数的性质l (t)的平均功率l 的偶函数l R()的上界 即自相关函数R()在 = 0有最大值。l (t)的直流功率l 表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0) = 2 。 98
