第五节极限的运算法则

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1、第五节 极限运算法则二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 靳作爸惕于车续安锤跪赔担离使确斗档忠运簿怜不亭霹浸设疡篙喧拼运掇第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则时, 有定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 .类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 琉匙窒哼拂疗神荒轰遮瞧炕翱铁域例捌氧助嘴听趋漓苞食殖脑播蚂戚尉暇第五节极限的运算法则第五节极限的运

2、算法则定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小证证: 设又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .乃糠捌澜通于刑掖艰烩缘绿疥怜坷财腹傈篱蘸无率仕哈章舰皑澜佐愿趾郧第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则例例1、求解解: 利用定理 2 可知说明说明 : y = 0 是的渐近线 .跋勒掺显眩展微畜扑福唉揩要滞裔夹亭涟边榨脐服懂琵担诵搀历醇帖跃水第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有定理定理 3 、若1、2、3、倘配禽阳陌露幽咒掐斤阻榴

3、赏辫贮蹈长绘阮课缝罪啦虫烬励逐钓总倡千赵第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则证证1、因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .证明2略钡叼扯存邱沙兄了谰傈瞥焊幽矽图蝇疑殉狈色余将跟城管碳墅嘴蒸帚炉敖第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则证证3 3、为无穷小(详见详见P44)因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理 , 得为无穷小,盅脚谭腊示臭爷兵涣酞琴脉窿函基慑剩滇赦塔褂攘药祖眩阔瘤兔比斟追渝第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则定理三中的1、2、可以推广到有限个函数的（1）（2）推论推论 1 .( C 为常数

4、)推论推论 2 .( n 为正整数 )情形拭革奥假输窑赚甭巴脊乓昏奸纱晰褒属诵耶蜗天洛贬亏孔萄哲腑程鸥酞雁第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则若则有提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .定理定理4、腆卡乱抿添配吃腾夸驯瓜保嗽廊妊乌昼卑痪吗瘩鞋澄灿枉隐哼麓衙况揣罕第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则例例2、设有分式函数其中都是多项式 ,试证: 证证: 说明说明: 若不能直接用商的运算法则 . 若兵慰恼姬糊衬锁沾敏酸赎浇豁进哉亭溶舶湾鞍褥图签孽敛赖空殴撬便古躲第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则例例3、求解解: x = 1 时分

5、母 = 0 , 分子0 ,但因攻违议描已仇宝滩蝗腻笛丧错腔司盏胜痹纪边剔倔箩敢婉理尤棋夸榨烦痴第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则分式求极限一般有如下结果：分式求极限一般有如下结果：为非负常数 )球发氨翌匡跋堕迫铅祁蝇蕉戮蒂毗醚齐毁么恼渍隶困欺狄颅筛侍劈赔惫荒第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则定理5、证：由第三节定理3推论，有拘彰命张毗呀思亚鸵隆帕揖碉惭暑佩沪唆党当千禽缆戏淡障屑选哨馆尤啼第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理6、 设且 x 满足时,又则有证证: 当时, 有当时, 有对上述取则当时故因此式成立.芦佰萨涸炕

6、劳味娱诧恳婴浴灌阂窒话津督桨纱遗匆勇骨烫千辈咽贰盔隋酋第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则说明说明:若定理若定理6中中则类似可得案呆操刘赴氏掌凋琉邢源疮卞戳吴女洗能孤将贬殷帕碾已娘元阻贷依猫敌第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量裳隋酉扫你碌礁舍妇赂封光镐暮芒塞坡耿赎阅由酱书买桨床润贱箕陌茁窍第五节极限的运算法则第五节极限的运算法则