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1、偏微分方程的matlab解法1优学课堂 1、设置PDE的定解问题即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式；和系数 2、用有限元法（FEM）求解PDE即网格的生成、方程的离散以及求出数值解； 3、解的可视化主要讲述如何用主要讲述如何用MATLABMATLAB实现对偏微分方程的仿实现对偏微分方程的仿真求解真求解MATLABMATLAB的偏微分方程工具箱（的偏微分方程工具箱（PDE PDE ToolboxToolbox）的出现，为偏微分方程的求解以及定）的出现，为偏微分方程的求解以及定性研究提供了捷径主要步骤为：性研究提供了捷径主要步骤为：2优学课堂PDEToolbox注意事项只能解决二维模型，一
2、维的扩成二维，三只能解决二维模型，一维的扩成二维，三维的缩成二维，时间维不计算在内维的缩成二维，时间维不计算在内公式类型公式类型，只能解决部分偏微分方程，由，只能解决部分偏微分方程，由公式类型决定公式类型决定边界条件两种，边界条件两种，DirichletDirichlet和和NeumannNeumann初始条件初始条件3优学课堂先确定方程大类4优学课堂Draw Mode画图模式，先将处理的区域画出来，画图模式，先将处理的区域画出来，二二维维，方形，圆形，支持多边形，可以手，方形，圆形，支持多边形，可以手动更改坐标，旋转动更改坐标，旋转rotaterotate例如，对于细杆导热，虽然是一维问题，
3、例如，对于细杆导热，虽然是一维问题，可以将宽度可以将宽度y y虚拟出来，对应于虚拟出来，对应于y y的边界的边界条件和初始条件按照题意制定条件和初始条件按照题意制定5优学课堂Boundary Mode6优学课堂PDE ModePDE Specification，确定偏微分方程类型共有四种：7优学课堂椭圆形Elliptic8优学课堂抛物型Parabolic9优学课堂双曲型Hyperbolic10优学课堂Mesh Mode网格划分，细化网格划分，细化11优学课堂Solve，Plot如果有初始条件（与如果有初始条件（与t t有关），则在有关），则在SolveSolve的的ParametersPara
4、meters里有其设定，如果没里有其设定，如果没有初始条件（与有初始条件（与t t无关），则不必设定无关），则不必设定PlotPlot只是确定画图的参数，包括是否动只是确定画图的参数，包括是否动画，是否画，是否3D3D，是否画出等温线，是否有，是否画出等温线，是否有箭头。箭头。12优学课堂Save As保存成保存成M-fileM-file，自动生成，自动生成13优学课堂 例： 解热传导方程 边界条件是齐次类型，定解区域自定。 【解解】第一步：启动MATLAB，键入命令pdetool并回车，就进入GUI在Options菜单下选择Gid命令，打开栅格，栅格使用户容易确定所绘图形的大小第二步：选定定
5、解区域本题为自定区域：自拟定解区域如图22 1所示：E1-E2+R1-E3具体用快捷工具分别画椭圆E1、圆E2、矩形R1、圆E3然后在Set formula栏中进行编辑并用算术运算符将图形对象名称连接起来(或删去默认的表达式，直接键入E1-E2+R1-E3)14优学课堂15优学课堂第三步：选取边界第三步：选取边界 首先选择Boundary菜单中Boundary Mode命令，进入边界模式然后单击Boundary菜单中Remove All Subdomain Borders选项。从而去掉子域边界，如图22 2单击Boundary菜单中Specify Boundary Conditions选项，打
6、开Boundary Conditions对话框，输入边界件本例取默认条件，即将全部边界设为齐次Dirichlet条件，边界显示为红色如果想将几何与边界信息存储，可选Boundary菜单中的Export Decomposed GeometrvBoundary Conds命令，将它们分别存储在g、b变量中，并通过MATLAB形成M文件16优学课堂17优学课堂第四步：设置方程类型第四步：设置方程类型选择PDE菜单中PDE Mode命令，进入PDE模式，再单击PDE菜单中PDE Secification选项，打开PDE Secification对话框，设置方程类型本例取抛物型方程故参数c,a,f,d,
7、分别是l，0，10，1第五步：第五步：选择Mesh菜单中Initialize Mesh命令，进行网格剖分，选择Mesh菜单中Refine Mesh命令，使网格密集化，如图22.318优学课堂19优学课堂第六步：第六步： 解偏微分方程并显示图形解解偏微分方程并显示图形解选择Solve菜单中Solve PDE命令，解偏微分方程并显示图形解，如图 2.4 所示20优学课堂21优学课堂 第七步：第七步：单击Plot菜单中Parameter选项，打开Plot Selection对话框，选中Color,Height(3D plot)和Show mesh三项.再单击Polt按钮，显示三维图形解，如图22.5
8、所示.22优学课堂第八步第八步：若要画等值线图和矢量场图，单击plot菜单中parameter 选项，在plot selection对话框中选中contour 和arrow两选项。然后单击plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图，如图2.6所示。图 2.6 解的等值线图和矢量场图 23优学课堂求解椭圆型方程的例子24优学课堂求解抛物型方程的例子考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。板的左边保持在100 C，板的右边热量从板向环境空气定常流动，其他边及内孔边界保持绝缘。初始 是板的温度为0 C ，于是概括为如下定解问题;区域的边界顶点坐标为(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (0.5,0.8)。内边界顶点坐标(-0.05,-0.4), (-0.05,0.4) ,(0.05,-0.4), (0.05,0.4)。25优学课堂求解双曲型方程的例子26优学课堂
