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1、一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法三、小结三、小结1青苗辅导一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义2青苗辅导例例1 1例例例例(3)(2)(1)3青苗辅导2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证4青苗辅导5青苗辅导仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点. .驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注
2、意：注意：6青苗辅导7青苗辅导8青苗辅导例例4 求函数求函数的极值。的极值。解解求解方程组：求解方程组：得驻点得驻点因此，驻点因此，驻点9青苗辅导因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点10青苗辅导与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数不存在。不存在。11青苗辅导求最值的一般求最值的一般方法方法： 将函数在将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大
3、者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值12青苗辅导解解令令13青苗辅导无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件并无其他条件. .14青苗辅导实例实例：小王有：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x 张磁盘，张磁盘， y 盒录音
4、磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁设每张磁 盘盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法15青苗辅导条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值16青苗辅导求解方程组求解方程组解出解出 x, y, z, t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.17青苗辅导解解则则例例6 求表面积为求表面积为 a2 而
5、体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为体积为 V .则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.令令下，下，18青苗辅导则则令令即即由由(2), (1)及及(3), (2)得得19青苗辅导由由(2), (1)及及(3), (2)得得于是，于是，代入条件，得代入条件，得解得解得这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以， 最大值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，20青苗辅导解解则则由由 (1)，(2) 得得由由 (1)，(3) 得得21青苗辅导将将 (5)，(6) 代入代入 (4)： 于是，得于是，得这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值22青苗辅导多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结作业：作业：70页页 1 6，923青苗辅导
