数学物理方程下

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1、数学物理方法数学物理方法理学院 冯国峰常用的数学物理方法求解方法常用的数学物理方法求解方法n1、分离变量法n2、行波法（平均核法）n3、积分变换法n4、格林函数法1、分离变量法、分离变量法 n分离变量法的基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的定解问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。 1、分离变量法、分离变量法n n问题1：研究一根长为l，两端（ ）固定的弦作微小振动的现象。给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意一点处的位移，即求解下列定解问题n n式中， 均为已知函数。1、分离变量法、分离变量法n n 这个定解

2、问题的特点是：泛定方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。如果能够找到泛定方程足够个数的特解，则可以利用它们的线性组合去求定解问题的解。1、分离变量法、分离变量法n n 从物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音在振动时形成的波形是正弦曲线，其振幅依赖于时间t，也就是说每个单音总可以表示成 的形式，这种形式的特点是：二元函数 是只含变量x的一元函数与只含变量t的一元函数的乘积，即它具有变量分离的形式。弦的振动也是波，它也应该具有上述的特点。 第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动1、分离变量法、分离变量法1、分离变量法、分离变量

3、法n n 若对于的某些 值，常微分方程定解问题的非平凡解存在，则称这种 的取值为该问题的固有值（或固有值（或特征值）特征值）；同时称相应的非平凡解为该问题的固有函数（或特征函数）固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做施图姆施图姆-刘刘维尔（维尔（Sturm-Liouville）问题（或）问题（或固有值问题）固有值问题）。1、分离变量法、分离变量法n n（1）当 时，方程没有非平凡解。n n（2）当 时，方程也没有非平凡解。n n（3）当 时，方程有如下形式的通解：1、分离变量法、分离变量法n n n n称为固有值问题n n的一系列固有值，相应的非零解n n为对应的固有函数。1、分离变量法、

4、分离变量法n n将固有值 代入方程n n中，有n n可得其通解为1、分离变量法、分离变量法n n这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的特解n n式中， 是任意常数。1、分离变量法、分离变量法n n 由于初始条件式中的 与 是任意给定的，一般情况下，任何一个特解都不会满足初始条件式。但由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原理，级数n n仍是泛定方程的解，并且同时满足边界条件。 1、分离变量法、分离变量法n n 为了选取 ，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令n n，由初始条件得1、分离变量法、分离变量法n n傅里叶级数（补充）：n n（1）设 是周期为 的周期函数

5、，则n n其中1、分离变量法、分离变量法n n傅里叶级数（补充）：n n（2）设 是周期为 的周期函数，则n n其中1、分离变量法、分离变量法n n（3）当 为奇函数时，n n 为奇函数， 为偶函数。n n正弦级数为1、分离变量法、分离变量法n n（4）当 为偶函数时，n n 为偶函数， 为奇函数。n n余弦级数为1、分离变量法、分离变量法n n 和 分别是函数 、 在区间 上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即 1、分离变量法、分离变量法n n取级数的一般项，并作如下变形：n n式中， 最大振幅n n 相位 频率1、分离变量法、分离变量法n 表示这样一个振动波，在所考察的弦上各点以同样的频率作简

6、谐振动，各点的初相相同，其振幅与点的位置有关，此振动波在任一时刻的波形都是一条正弦曲线。（初相与最大振幅由初始条件确定，频率与初值无关）。1、分离变量法、分离变量法n n 这种振动波还有一个特点，即在 范围内有 个点在整个过程中始终保持不动，即在 的那些点，这样的点在物理上称为 的节点节点。这说明n n 的振动是在 上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波称为驻波驻波。另外，驻波还在另外的一些点 处振幅达到最大值，这样的点叫做腹点腹点。 1、分离变量法、分离变量法n n 是一系列驻波，它们的频率、相位和振幅都随n而异。因此，可以说原定解问题的级数解是由一系列频率不同（成倍增加）、相位不同、振幅

7、不同的驻波叠加而成的，每一个驻波的波形由固有函数和初值确定，频率则由固有值确定，与初值无关。因此，分离变量法也称为驻波驻波法法。1、分离变量法、分离变量法n n问题问题2 2：一个半径为：一个半径为 的薄圆盘，上下两面绝热，的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边界上的温度已知，求达到稳恒状态时圆盘圆周边界上的温度已知，求达到稳恒状态时圆盘的温度分布规律。的温度分布规律。n n 由于稳恒状态下温度满足拉普拉斯方程，并且由于稳恒状态下温度满足拉普拉斯方程，并且区域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯区域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程采用极坐标形式将是方便的，用方程采用极坐标形式将是方便的，用

8、 来表示来表示圆板内点圆板内点 的温度，则区域的边界是圆周的温度，则区域的边界是圆周 ，所以边界条件可以表示为，所以边界条件可以表示为n n式中式中 为圆周边界上的已知温为圆周边界上的已知温度，且度，且 。1、分离变量法、分离变量法n n令 ，则1、分离变量法、分离变量法1、分离变量法、分离变量法n n这样所述问题可以表示为下列定解问题：n n周期性边界条件：n n有界性条件：1、分离变量法、分离变量法n n设泛定方程的解为 1、分离变量法、分离变量法n n（1）当 时，方程的通解为n n式中A与B是任意常数。这样的函数不满足周期性条件。n n（2）当 时，n n的解为n n原定解问题的解为

9、1、分离变量法、分离变量法n n（3）当 时，方程的通解为n n固有值为n n相应的固有函数为 和 ，在这里，一个固有值对应多个线性无关的固有函数。欧拉（Euler）方程 n n它的通解为1、分离变量法、分离变量法n n补充：欧拉方程的解法：n n 令 ，有 ，则n n代入欧拉方程中，得到n n有通解1、分离变量法、分离变量法n n原定解问题的一些列特解n n式中2、行波法、行波法n n 行波法只能用于求解无界区域上的波动方程定解问题，虽然有很大的局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是数学物理方程的基本解法之一。 2、行波法、行波法n n无界弦振动的柯西问题 ：n n式中 均为已知函

10、数。 2、行波法、行波法n n引入新变量 2、行波法、行波法n n原柯西问题的通解为n n初始条件代入其中，有n n无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解达朗贝尔解 ）为：2、行波法、行波法n n函数 称为左传播波左传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向左传播的行波。n n函数 称为右传播波右传播波，由它描述的振动的波形是以常速度a向右传播的行波。 n n积分所代表的也是类似的沿着x轴的正负方向传播的波，不过是由初速度 引起的。 2、行波法、行波法n达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波的形式分别向x轴的正负两个方向传播出去，其传播速度恰恰是弦振动方程中出现的常数a。基于这种原因，达朗贝

11、尔解法又称为行波法行波法。2、行波法、行波法n n 称为点 的依赖区间依赖区间。它是过点 分别作斜率为 的直线与x轴相交所截得的区间。n n初始时刻 时，取x轴的一个区间 ， 作直线 与直线 ，它们和区间 一起构成一个三角形区域，称为决决定区域定区域。n n在平面上由不等式 所确定的区域称为区间 的影响区域影响区域。 2、行波法、行波法n n在 平面上，斜率为 的两族直线n n称为一维波动方程的特征线特征线。波动实际上是沿着特征线传播的，因此行波法又称为特征线法特征线法。 n n无累积效应无累积效应 ：n n有累积效应有累积效应：2、行波法、行波法n n三维波动方程初值问题：n n其中 和 均

12、为已知函数。 2、行波法、行波法n平均值法平均值法：不考虑函数 本身，而是研究 在以点 为球心，以r为半径的球面上的平均值 ，当暂时选定 后， 就是关于r，t的函数。当我们很方便地求出 后，令 则 ，问题就得到了解决。 2、行波法、行波法n n把达朗贝尔公式改写为：把达朗贝尔公式改写为：n n（1 1）积分）积分 是函数是函数 在区间在区间 上的算术平均值，记作上的算术平均值，记作 。n n（2 2）由叠加原理知，）由叠加原理知，n n都是一维波动方程都是一维波动方程 的解。的解。2、行波法、行波法n n三维波动方程的解（泊松公式泊松公式 ）为：n n其中曲面积分采用球坐标形式表示：2、行波法

13、、行波法n n二维波动方程初值问题n n式中 与 为已知函数。n n降维法降维法：由高维问题的解引出低维问题解的方法。2、行波法、行波法n n二维波动方程初值问题的解（泊松公式泊松公式 ）：3、积分变换法、积分变换法n n积分变换法不受方程类型的限制，一般应用于无界区域的定解问题，但对于有界区域的定解问题也能应用。3、积分变换法、积分变换法n n变换： 原问题 变换 较易解决的问题 直接求解较难 求解 原问题的解 逆变换 在变换域里的解例如：对数变换、解析几何的坐标变换、高等代数中的线性变换；在积分中的变量代换和积分运算化简；在微分方程中所作的自变量或未知函数的变换；复变函数的保角变换；积分变

14、换。 3-4 积分变换法积分变换法n n积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。n n n n积分域 ；积分变换的核 ；n n象原函数 ； 称为 的象函数。 3-4 积分变换法积分变换法n n当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。n n傅里叶（Fourier）变换：变换核为 ；积分域拉普拉斯（Laplace）变换：变换核为 ；积分域 Z变换、梅林（Mellin）变换、汉科尔（Hankel）变换，小波变换。 3-4 积分变换法积分变换法n n一般来说，当用积分变换去求解微分方程或其它方程时，在积分变换之下，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，直至变成常微分方程

15、；原来的常微分方程可以变成代数方程，从而使得在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，就得到原来要在函数类A中所求的解。（当然，上述求变换与求逆变换是可以依赖于积分变换表来完成的）。 3-4 积分变换法积分变换法n n用积分变换法求解定解问题的步骤大致为：用积分变换法求解定解问题的步骤大致为：n n（1 1）根据自变量的变化范围及定解条件的具体情）根据自变量的变化范围及定解条件的具体情况，选取适当的积分变换。然后对方程两端取变况，选取适当的积分变换。然后对方程两端取变换，把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一换，把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程。个参量的

16、常微分方程。n n（2 2）对定解条件取相应的变换，导出新方程的定）对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件。解条件。n n（3 3）求解所得的常微分方程，求出的解即是原定）求解所得的常微分方程，求出的解即是原定解问题的解的像函数。解问题的解的像函数。n n（4 4）对求得的像函数取逆变换，得到原定解问题）对求得的像函数取逆变换，得到原定解问题的解。的解。傅立叶积分公式n n傅里叶积分公式傅立叶积分公式n n傅傅里里叶叶积积分分定定理理若 在任何有限区间上满足狄利克雷条件，并且在无限区间 上绝对可积（即积分 收敛），则有n n 傅立叶积分公式n n傅里叶积分公式的三角形式：傅立叶积分公式n

17、 n傅里叶正弦积分公式n n傅里叶余弦积分公式 傅立叶变换傅立叶变换n n傅里叶积分公式：n n傅里叶变换：n n傅立叶逆变换：傅立叶变换傅立叶变换n n傅里叶正弦积分公式：n n傅里叶正弦变换式（正弦变换）：n n傅里叶正弦逆变换式： 傅立叶变换傅立叶变换n n傅里叶余弦积分公式：n n傅里叶余弦变换式（余弦变换）：n n傅里叶余弦逆变换式 ： 傅立叶变换的性质n n1、线性性质、线性性质n n2、对称性质、对称性质n n3、相似性质、相似性质n n4、位移性质、位移性质n n5、微分性质、微分性质n n6、积分性质、积分性质n n7、卷积与卷积定理、卷积与卷积定理傅立叶变换的性质n n1、

18、线性性质：、线性性质：傅立叶变换的性质n n2、对称性质：、对称性质：傅立叶变换的性质n n3、相似性质、相似性质：n n翻转公式翻转公式：n n 傅立叶变换的性质n n4、位移性质：、位移性质：n n时移性：时移性：n n频移性频移性：傅立叶变换的性质n n5、微分性质、微分性质：如果 在连续或只有有限个可去间断点，且当 时， ，则 傅立叶变换的性质n n6、积分性质、积分性质：设n n（1）若n n则n n（2）傅立叶变换的性质n n7、卷积与卷积定理、卷积与卷积定理n n卷积：卷积：n n卷积的性质卷积的性质：n n（1）交换律：n n（2）结合律：n n（3）对加法的分配律：n n 傅

19、立叶变换的性质n n7、卷积与卷积定理卷积与卷积定理n n卷积定理卷积定理 n n频谱卷积定理频谱卷积定理 利用傅里叶变换求解数学物理方程利用傅里叶变换求解数学物理方程n n例试用傅里叶变换求解下列定解问题 n n解利用傅里叶变换求解数学物理方程利用傅里叶变换求解数学物理方程从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换n n傅里叶变换的条件：n n1、Dirichlet条件n n2、在 内绝对可积 拉普拉斯变换拉普拉斯变换n n拉普拉斯变换n n复反演积分公式：若t为 的连续点n n若t为 的间断点拉普拉斯变换拉普拉斯变换n n例 求单位阶跃函数 、符号函数n n及 的Laplace变

20、换。n n解拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的存在定理n n定义对实变量的复值函数 ，如果存在两个常数 及 ，使得对于一切n n ，都成立n n即 的增长速度不超过某一指数函数，则称 为指数级函数指数级函数，称它的增大是不超过指数级的，c为它的增长指数增长指数。拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的存在定理n n例 ，此处 n n ，此处n n ，此处n n ，此处 。n n它们都是指数级函数。但是对于函数 ，不论选M及c多么大，总有 ，所以它不是指数级函数。拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的存在定理n nLaplace变换存在定理若函数 满足下列条件：n n（1）当 时， ；n n（2）

21、在 的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点。n n（3） 是指数级函数。n n则 的Laplace变换在半平面n n上一定存在，并且为解析函数。拉普拉斯变换拉普拉斯变换n n例求幂函数 （m为整数）的Laplace变换。n n解周期函数的周期函数的Laplace变换变换 n n设 在 内是以T为周期的函数，即n n且 在一个周期内分段连续，则有Laplace变换的基本性质变换的基本性质 n n1、线性性质、线性性质 n n2、相似性质、相似性质 n n3、延迟性质、延迟性质n n4、位移性质、位移性质n n5、微分性质、微分性质n n6、积分性质、积分性质n n7、

22、卷积与卷积定理、卷积与卷积定理 Laplace变换的基本性质变换的基本性质n n1、线性性质、线性性质 Laplace变换的基本性质变换的基本性质n n2、相似性质Laplace变换的基本性质变换的基本性质n n3、延迟性质Laplace变换的基本性质变换的基本性质n n4、位移性质Laplace变换的基本性质变换的基本性质n n5、微分性质Laplace变换的基本性质变换的基本性质n n6、积分性质n n若积分 存在，Laplace变换的基本性质变换的基本性质n n7、卷积与卷积定理卷积与卷积定理 Laplace变换的基本性质变换的基本性质n n7、卷积与卷积定理卷积与卷积定理n n卷积定理

23、卷积定理 象原函数的求法象原函数的求法 n n（推广的）若当引理设以 为中心，R为半径的左半圆弧 复变量s的一个函数 满足：n n（1）它在左半平面 上除有限个奇点外是解析的。n n（2）对于 的s，当 时 趋于零。n n则对充分大的 ，函数 沿半圆周的积分存在，且对任意 ，有。象原函数的求法象原函数的求法n n展开定理如果 在整个复平面s上除了有限个奇点 外都解析，并且所有的奇点都在半平面 内。并且当 时， 。则在 的连续点t处，有n n其中 为复变函数 在奇点 n n 处的留数。象原函数的求法象原函数的求法n n留数的计算：n n（1）单极点：n n（2）复极点：象原函数的求法象原函数的求法n n例4求 的逆变换。n n解这里， 是单零点， 为二级零点。由展开定理可得：使用Laplace变换求解数学物理方程定解问题n n 例例 解混合问题解混合问题n n 解解 显然，要对显然，要对t t作拉普拉斯变换，记作拉普拉斯变换，记n n 6、解数学物理方程定解问题n n原问题可化为，n n此问题的解为n n取拉普拉斯逆变换，则原问题的解为nThank you!nGoodbye !