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1、3-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质第三章第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 晶格振动的研究晶格振动的研究 晶体的热学性质晶体的热学性质 固体热容量固体热容量 热运动是晶体宏观性质的表现热运动是晶体宏观性质的表现 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律 一摩尔固体有一摩尔固体有N个原子，有个原子，有3N个振动自由度，按能个振动自由度，按能 量均分定律，每个自由度平均热能为量均分定律，每个自由度平均热能为kT摩尔热容量摩尔热容量总的内能总的内能1 13-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶
2、体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质晶格振动晶格振动 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础研究固体宏观性质和微观过程的重要基础晶格振动晶格振动 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 导电性、磁性、结构相变有密切关系导电性、磁性、结构相变有密切关系 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降摩尔热容量摩尔热容量 与温度无关与温度无关 杜隆珀替经验规律杜隆珀替经验规律2 23-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质原子的振动原子的振动 晶格振动在晶体
3、中形成了各种模式的波晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密 顿量之和顿量之和 这些谐振子的能量量子，称为声子这些谐振子的能量量子，称为声子 晶格振动的总体可看作是声子的系综晶格振动的总体可看作是声子的系综 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的 振振 动模式动模式 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的3 33-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体
4、的热学性质3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 简谐近似简谐近似 只考虑最近邻原子之间的相互作用只考虑最近邻原子之间的相互作用研究对象研究对象 由由N个质量为个质量为m的原子组成的晶体的原子组成的晶体偏离平衡位置的位移矢量偏离平衡位置的位移矢量原子的位置原子的位置第第n个原子的平衡位置个原子的平衡位置3个方向上的分量个方向上的分量原子位移宗量原子位移宗量一、晶格振动和谐振子一、晶格振动和谐振子4 43-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质N个原子的位移矢量个原子的位移矢量 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开体系的势能函数
5、在平衡位置按泰勒级数展开取取平衡位置平衡位置 不计高阶项不计高阶项系统的势能函数系统的势能函数5 53-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质系统的哈密顿量系统的哈密顿量系统的势能函数系统的势能函数系统的动能函数系统的动能函数 含有坐标的交叉项含有坐标的交叉项6 63-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质引入简正坐标引入简正坐标 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来假设存在线性变换假设存在线性变换系统的哈密顿量系统的哈密顿量拉格朗
6、日函数拉格朗日函数正则动量正则动量(坐标变换坐标变换)7 73-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质系统的哈密顿量系统的哈密顿量正则方程正则方程 3N个独立无关的方程个独立无关的方程简正坐标方程解简正坐标方程解简正振动简正振动 所有原子参与的振动，振动频率相同所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模振动模 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动正则动量正则动量8 83-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质只考察某一个振动模只考察某一个
7、振动模系统能量本征值计算系统能量本征值计算正则动量算符正则动量算符系统薛定谔方程系统薛定谔方程9 93-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质任意一个简正坐标任意一个简正坐标 谐振子方程谐振子方程能量本征值能量本征值本征态函数本征态函数 厄密多项式厄密多项式10103-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质系统能量本征值系统能量本征值系统本征态函数系统本征态函数N个原子组成的晶体个原子组成的晶体系统薛定谔方程系统薛定谔方程1111把上述经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示。
8、量子力学告诉我们，频率为的谐振子，其能量为 n=0,1,2 （357） （量子力学修正）（量子力学修正）（量子力学修正）（量子力学修正）二二 、能量量子和声子、能量量子和声子12123-1 3-1 简谐近似和简正坐标简谐近似和简正坐标 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质这表明谐振子处于不连续的能量状态。当n0时，它处于基态，E0 ,称为零点能。相相邻邻状状态态的的能能量量差差为为 , ,它它是是谐谐振振子子的的能能量量量量子子，称称它它为为声声子子，正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样。3NS3NS个格波与个格波与3NS3NS个量子谐振子一一对应个量子谐振子一一对应，因此式（
9、357）也是一个频率为的格波的能量。频率为i(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的能量为i (q)的声子数n的多少来表征。13131.声子是玻色子声子是玻色子 一个模式可以被多个相同的声子占据，和q相同的声子不可区分，自旋为零。满足玻色统计。 除碰撞外，不考虑它们之间的相互作用，则可视为近独立子系，则玻色统计与玻尔兹曼统计一致。讨论讨论玻色子（玻色子（boson)boson)，得名于印度物理学家玻色，得名于印度物理学家玻色. .。玻色。玻色子是指自旋为整数的粒子。不遵守泡利不相容原理。子是指自旋为整数的粒子。不遵守泡利不相容原理。在低温时可以发生玻色在低温时可以发生玻色- -爱因斯坦凝聚。
10、符合玻色爱因斯坦凝聚。符合玻色爱因斯坦统计爱因斯坦统计. . 14142.2.声子是一种准粒子声子是一种准粒子粒子数不守恒粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量守恒满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的准动量准动量。15153.准动量选择定则准动量选择定则准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢Gh(q)= (q+ Gh)Ex: 二声子作用q1q2q3Gh 简写成： q1q2q3Gh 1616 各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，一个格波的平均声子数有多少呢？ 由于声子间相互作用很弱，除了碰撞外，可不考虑它们之间的相互作用，故可把声子视为近独立子系，这时玻色爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。三.平均声子数1717 意义： 频率为的格波温度为T时的平均声子数。 当 KBT时， 0.6,定性地讲，此格波已激发，以此为界，温度为T时，只有KBT的格波才能被激发。（359)1818
