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1、一、归纳法一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。理方法，叫归纳法。一、归纳法一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。理方法，叫归纳法。归纳法归纳法完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法一、归纳法一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方
2、法，叫归纳法。理方法，叫归纳法。归纳法归纳法完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法由特殊由特殊 一般一般 特点特点:一、归纳法一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事例对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。理方法，叫归纳法。归纳法归纳法完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法由特殊由特殊 一般一般 特点特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d自学教材自学教材P92-P93二、数学归纳法的概念二、数学归纳法的概念二、数学归纳法的概念二、数学归纳法的概念证明某些与自然数
3、有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方可用下列方法来证明它们的正确性法来证明它们的正确性:(1)验证当验证当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n0=1)时命题成立时命题成立,(2)假设当假设当n=k(k N* ，k n0 )时命题成立时命题成立, 证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立二、数学归纳法的概念二、数学归纳法的概念证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方可用下列方法来证明它们的正确性法来证明它们的正确性:(1)验证当验证当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n0=1)时命题成立时命题成立,(2)假设当假设当n=k(k N* ，k n
4、0 )时命题成立时命题成立, 证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所开始的所有正整数有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。二、数学归纳法的概念二、数学归纳法的概念证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方可用下列方法来证明它们的正确性法来证明它们的正确性:(1)验证当验证当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n0=1)时命题成立时命题成立,(2)假设当假设当n=k(k N* ，k n0 )时命题成立时命题成立, 证明当证明当n=k+1时命
5、题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所开始的所有正整数有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证验证n=n0时时命题成立命题成立二、数学归纳法的概念二、数学归纳法的概念证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方可用下列方法来证明它们的正确性法来证明它们的正确性:(1)验证当验证当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n0=1)时命题成立时命题成立,(2)假设当假设当n=k(k N* ，k n0 )时命题成立时命题成立, 证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立
6、完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所开始的所有正整数有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证验证n=n0时时命题成立命题成立若当若当n=k(k n0 )时命题成立时命题成立, 证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立二、数学归纳法的概念二、数学归纳法的概念证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方可用下列方法来证明它们的正确性法来证明它们的正确性:(1)验证当验证当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n0=1)时命题成立时命题成立,(2)假设当假设当n=k(k N* ，k
7、n0 )时命题成立时命题成立, 证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所开始的所有正整数有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证验证n=n0时时命题成立命题成立若当若当n=k(k n0 )时命题成立时命题成立, 证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n0开始的所开始的所有正整数有正整数n都成立。都成立。多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理这个猜想的证明方法这个猜想的证明方法例例1已知数列已知数列多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理这
8、个猜想的证明方法这个猜想的证明方法(1)第一块骨牌倒下。第一块骨牌倒下。(2)若第若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块块也倒下。也倒下。根据根据(1)和和(2)，可知，可知不论有多少块骨牌，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。例例1已知数列已知数列多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理这个猜想的证明方法这个猜想的证明方法(1)第一块骨牌倒下。第一块骨牌倒下。(2)若第若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块块也倒下。也倒下。根据根据(1)和和(2)，可知，可知不论有多少块骨牌，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。(1)当当n=1时猜想成立。
9、时猜想成立。例例1已知数列已知数列多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理这个猜想的证明方法这个猜想的证明方法(1)第一块骨牌倒下。第一块骨牌倒下。(2)若第若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块块也倒下。也倒下。根据根据(1)和和(2)，可知，可知不论有多少块骨牌，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。(1)当当n=1时猜想成立。时猜想成立。(2)若当若当n=k时猜想成立，即时猜想成立，即 ，则当，则当n=k+1时猜想时猜想也成立，即也成立，即例例1已知数列已知数列多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理这个猜想的证明方法这个猜想的证明方法(1)第一块骨牌倒下。第一块
10、骨牌倒下。(2)若第若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块块也倒下。也倒下。根据根据(1)和和(2)，可知，可知不论有多少块骨牌，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。(1)当当n=1时猜想成立。时猜想成立。(2)若当若当n=k时猜想成立，即时猜想成立，即 ，则当，则当n=k+1时猜想时猜想也成立，即也成立，即根据根据(1)和和(2)，可知对任意，可知对任意的正整数的正整数n，猜想，猜想 都成立。都成立。例例1已知数列已知数列注意注意1.用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时,要分两个步要分两个步骤骤,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可.2. (1)(归纳奠基归纳奠
11、基)是递推的基础是递推的基础.找准找准n0(2)(归纳递推归纳递推)是递推的依据是递推的依据nk时命时命题成立作为必用的条件运用，而题成立作为必用的条件运用，而nk+1时情况则有待利用假设及已知的定时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明义、公式、定理等加以证明20102010年下学期年下学期湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校制作制作 06例例2：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= 所以等式也成立。所以等式也成立。综合综合(1)(2)等式对一切正整数等式对一切正整数n均成立均成立当当n=k+1时时, 代入得代入得证明证明:(1) 当当n=1左
12、边左边 = 1，右边，右边 = 12= 1 ，等式成立，等式成立例例2：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= (2)假设当假设当n=k时成立，即：时成立，即：1+3+5+（2k-1)+(2k+1)当当n=k+1时时, 代入得代入得证明证明:(1) 当当n=1左边左边 = 1，右边，右边 = 12= 1 ，等式成立，等式成立例例2：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= (2)假设当假设当n=k时成立，即：时成立，即：所以等式也成立。所以等式也成立。综合综合(1)(2)等式对一切正整数等式对一切正整数n均成立均成立1+3+5+（2k-1)
13、+(2k+1)当当n=k+1时时, 代入得代入得证明证明:(1) 当当n=1左边左边 = 1，右边，右边 = 12= 1 ，等式成立，等式成立例例2：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= (2)假设当假设当n=k时成立，即：时成立，即：所以等式也成立。所以等式也成立。综合综合(1)(2)等式对一切正整数等式对一切正整数n均成立均成立=k2+(2k+1)1+3+5+（2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1) =(k+1)2当当n=k+1时时, 代入得代入得证明证明:(1) 当当n=1左边左边 = 1，右边，右边 = 12= 1 ，等式成立，等式成立例例2：用数学
14、归纳法证明：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)= (2)假设当假设当n=k时成立，即：时成立，即：所以等式也成立。所以等式也成立。综合综合(1)(2)等式对一切正整数等式对一切正整数n均成立均成立例例4:已知数列已知数列 计算计算S1,S2,S3,S4,根据计算的结果根据计算的结果,猜想猜想Sn 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.例例4:已知数列已知数列 计算计算S1,S2,S3,S4,根据计算的结果根据计算的结果,猜想猜想Sn 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.例例4:已知数列已知数列 计算计算S1,S2,S3,S4,根
15、据计算的结果根据计算的结果,猜想猜想Sn 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.问题情境一问题情境一练习：练习：1.某个命题当某个命题当n=k (kN )时成立，可证时成立，可证得当得当n=k+1时也成立。现在已知当时也成立。现在已知当n=5时该命时该命题不成立，那么可推得题不成立，那么可推得( )A. n=6时该命题不成立时该命题不成立B. n=6时该命题成立时该命题成立C. n=4时该命题不成立时该命题不成立D. n=4时该命题成立时该命题成立问题情境一问题情境一练习：练习：1.某个命题当某个命题当n=k (kN )时成立，可证时成立，可证得当得当n=k+1时也成
16、立。现在已知当时也成立。现在已知当n=5时该命时该命题不成立，那么可推得题不成立，那么可推得( )A. n=6时该命题不成立时该命题不成立B. n=6时该命题成立时该命题成立C. n=4时该命题不成立时该命题不成立D. n=4时该命题成立时该命题成立CC1.数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题？课堂小结课堂小结1.数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题课堂小结课堂小结1.数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学
17、命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？数学归纳法证明命题的步骤是什么？课堂小结课堂小结1.数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可两个步骤和一个结论，缺一不可课堂小结课堂小结1.数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么
18、？数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可两个步骤和一个结论，缺一不可3.数学归纳法证明命题的关键在哪里？数学归纳法证明命题的关键在哪里？课堂小结课堂小结1.数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可两个步骤和一个结论，缺一不可3.数学归纳法证明命题的关键在哪里？数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标
19、要明确课堂小结课堂小结1.数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可两个步骤和一个结论，缺一不可3.数学归纳法证明命题的关键在哪里？数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4.数学归纳法体现的核心思想是什么？数学归纳法体现的核心思想是什么？课堂小结课堂小结1.数学归纳法能够解决哪一类问题？数学归纳法能够解决哪一类问题
20、？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2.数学归纳法证明命题的步骤是什么？数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可两个步骤和一个结论，缺一不可3.数学归纳法证明命题的关键在哪里？数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4.数学归纳法体现的核心思想是什么？数学归纳法体现的核心思想是什么？递推思想，递推思想，运用运用“有限有限”的手段，来解决的手段，来解决“无限无限”的的问题。问题。注意类比思想的运用注意类比思想的运用课堂小结课堂小结*作业布置作业布置*考一本考一本第第22课时课时
