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1、1(二十)开始2013.05.2212 提出提出关于总体的假设关于总体的假设. 根据样本对所提出的根据样本对所提出的 假设做出判断假设做出判断:是接受假设是接受假设,还是拒绝假设还是拒绝假设.第八章第八章 假设检验假设检验* *.假设检验问题假设检验问题具体作法步骤是具体作法步骤是: 1. 根据实际问题提出根据实际问题提出原假设原假设H0和和备择假设备择假设H1 , 一般是关于总体某些参数值的范围；一般是关于总体某些参数值的范围； 2. 确定确定检验统计量检验统计量(通常是相应参数点估计的函通常是相应参数点估计的函数数)以及以及拒绝域的形式拒绝域的形式； 3. 给定显著性水平的值给定显著性水平
2、的值 (0 1),以及样本容量以及样本容量n；23 4. 按按 求出求出拒绝域拒绝域,即找到拒即找到拒绝域的边界点也称绝域的边界点也称临界点临界点,这是为了使犯第一种这是为了使犯第一种“弃弃真真”错误的概率不超过错误的概率不超过 。5. 取样，根据样本观察值做出判断取样，根据样本观察值做出判断:是接受假设是接受假设H0 (即拒绝假设即拒绝假设H1 )，还是拒绝假设，还是拒绝假设H0 (即接受假即接受假 设设H1 ) 。这种只对犯第一类错误的概率加以控制这种只对犯第一类错误的概率加以控制,而不考虑而不考虑犯第二类错误的检验问题犯第二类错误的检验问题,称为称为显著性检验显著性检验问题问题. 34*
3、 8.2.一个一个正态总体正态总体 N ( , 2) 的假设检验的假设检验1. 2为已知为已知,关于关于均值均值 的检验的检验(u检验检验)前面已得到关于前面已得到关于 = 0的在显著性水平的在显著性水平 下，下，双边双边检验假设检验假设H0： = 0； H1： 0 。A. 双边双边采用统计量采用统计量作为检验统计量作为检验统计量,当当|z|过分大时就拒绝过分大时就拒绝H0,拒绝域的拒绝域的形式为形式为45 机器包装糖果机器包装糖果.所包袋装糖果重量近似地服从所包袋装糖果重量近似地服从正态分布正态分布.机器正常时机器正常时,均值为均值为0.5公斤公斤,标准差为标准差为 0.015 公斤公斤.某
4、日开工后检验包装机工作是否正常某日开工后检验包装机工作是否正常.现随机取现随机取9袋袋,称的重量如下称的重量如下:解释解释: 认为该日所包袋装糖果重量近似地服从正态分布认为该日所包袋装糖果重量近似地服从正态分布. 长期经验表明标准差比较稳定为长期经验表明标准差比较稳定为 0.015 公斤于是认公斤于是认为总体服从为总体服从 X N ( , 0.0152),这里这里 未知未知.问包装机工作是否正常问包装机工作是否正常?问题是问题是,根据样本值来判断根据样本值来判断: = 0.5, 还是还是 0.5。例例20-0120-01. .56(1)我们提出假设我们提出假设 H0： = 0 (= 0.5)；
5、 和和 H1： 0 。 这是两个对立的假设。我们要给出一个合理的法这是两个对立的假设。我们要给出一个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本做出判断则，根据这一法则，利用已知样本做出判断:是接受是接受假设假设H0(即拒绝假设即拒绝假设H1 )，还是拒绝假设，还是拒绝假设H0 (即接受即接受假设假设H1 ) 。 如果做出的判断是拒绝假设如果做出的判断是拒绝假设H0 (即接受假设即接受假设H1 ),则认为包装机工作是不正常的则认为包装机工作是不正常的;否则否则, 做出判断是做出判断是接受假设接受假设H0(即拒绝假设即拒绝假设H1 )，则认为包装机工作，则认为包装机工作是正常的。是正常的。67思路思路
6、: 所提出的假设涉及总体均值所提出的假设涉及总体均值 ,故想到用样本故想到用样本均值均值 来做出判断来做出判断. 由于样本均值由于样本均值 反映总体均值反映总体均值 的大小的大小. 因此当假设为真时因此当假设为真时, 与与 的偏差的偏差| - |不不应太大应太大.若其过分大若其过分大,我们就怀疑假设的正确性而我们就怀疑假设的正确性而拒绝拒绝 H0 .而当假设为真时而当假设为真时, 78 (3)于是我们适当选择一正数于是我们适当选择一正数k，当观测的样本，当观测的样本均值均值 满足满足就拒绝假设就拒绝假设H0 .否则否则, 就接受假设就接受假设H0衡量衡量 的大小可归结为衡量的大小可归结为衡量的
7、大小。的大小。 89 (2)犯这种错误是无法排除的。只能希望犯这种犯这种错误是无法排除的。只能希望犯这种错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较错误的概率控制在一定限度之内，即给出一个较小的数小的数 (0 1),使犯这种错误的概率不超过使犯这种错误的概率不超过 ,即使得即使得 由于判断的依据是一个样本，因此当假设为由于判断的依据是一个样本，因此当假设为真时仍可能做出拒绝假设真时仍可能做出拒绝假设H0的判断。这是一种的判断。这是一种错误，犯这种错误的概率记为错误，犯这种错误的概率记为910这时就能确定这时就能确定k了了. 我们令我们令而当假设为真时而当假设为真时, 由正态分布分位点的定义得由正
8、态分布分位点的定义得, (4)于是若满足于是若满足则拒绝则拒绝H0,而若而若则接受则接受H0. 1011 (5)于是拒绝假设于是拒绝假设H0 (即接受假设即接受假设H1 ),认为包装认为包装 机工作是不正常的。机工作是不正常的。回到本例回到本例中中,取取 =0.05, n=9, =0.015 查表得查表得k=u0.975 =1.96 .再由样本算得再由样本算得 =0.511,既有既有1112 由一次试验得到的观察值，满足不等式几乎是不由一次试验得到的观察值，满足不等式几乎是不可能的。现在竟然出现了，则我们有理由怀疑原来可能的。现在竟然出现了，则我们有理由怀疑原来假设的正确性，因而拒绝假设假设的
9、正确性，因而拒绝假设H0 。否则，没有理。否则，没有理由怀疑原来假设的正确性，只得接受假设由怀疑原来假设的正确性，只得接受假设H0 。此此检验法符合实际推断原理检验法符合实际推断原理的。因为通常的。因为通常 取得较取得较小，一般为小，一般为 0.05, 0.01。而当假设而当假设H0为真时为真时, 即即 = 0 时时是一个小概率事件。是一个小概率事件。12132. 2为未知为未知,关于关于均值均值 的检验的检验(t检验检验)采用统计量采用统计量总体为总体为 N ( , 2),其中其中 , 2为未知为未知,我们来求检验问题我们来求检验问题:H0： = 0； H1： 0 。在显著性水平在显著性水平
10、 下的拒绝域下的拒绝域.作为检验统计量作为检验统计量,当当|t|过分大时就拒绝过分大时就拒绝H0,拒绝域的拒绝域的形式为形式为1314前面已知前面已知,当当H0为真时为真时,故由故由即得即得 从而检验问题的从而检验问题的拒绝域为拒绝域为由由t统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为 t 检验法检验法。1415 某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布，某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布， , 2为未知。为未知。其强度标准为其强度标准为52(kg/mm2)，今抽取，今抽取6个样个样品，测得其强度数据如下品，测得其强度数据如下(单位：单位：kg/mm2)：48.5 49.0 48.5 49.
11、0 53.5 49.5 56.0 52.553.5 49.5 56.0 52.5。判断这批产品的强度是否合判断这批产品的强度是否合格格( ( =0.05) )？t未落在拒绝域中未落在拒绝域中,故接受故接受H0,即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在样本提供的信息来看，产品是合格的。样本提供的信息来看，产品是合格的。 在在H0成立的条件下成立的条件下解解:现在现在, n=6,t0.975(5)=2.571。又得又得 例例20-0220-02. .15163. 单个正态总体方差的假设检验（单个正态总体方差的假设检验（ 检验）检验）设设总体为总体
12、为N ( , 2) , 、 2均为未知均为未知,要求要求 检验检验假设假设(显著性水平为显著性水平为 )： H0： 2 = 02 ； H1： 2 02 。由于由于s2 是是 2的无偏估计，当的无偏估计，当H0 为真时，为真时，比值在比值在 1 附近摆动，而不应过分大于附近摆动，而不应过分大于1，也不应过分小于也不应过分小于1。我们已知。我们已知1617我们取我们取其拒绝域的形式为：其拒绝域的形式为：作为检验统计量。作为检验统计量。此处此处k1、k2的值由下式确定：的值由下式确定：或或1718可得可得,拒绝域为拒绝域为为计算方便取为计算方便取或或1819提出待检假设和备择假设提出待检假设和备择假
13、设称此检验法为称此检验法为 检验，其一般步骤如下检验，其一般步骤如下 或或 则否定则否定H0 ，选用统计量选用统计量 ， 在在H0成立的条件下，成立的条件下，由给定的检验水平由给定的检验水平 ，查，查 分布表，得临界值分布表，得临界值 确定否定域为确定否定域为 由样本值计算由样本值计算 ，并与临界值比较；，并与临界值比较；结论：若结论：若 若若 则不能否定。则不能否定。由由 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为 检验法检验法。1920 某炼铁厂的铁水含碳量某炼铁厂的铁水含碳量 X 服从正态分布。现服从正态分布。现对操作工艺进行了某种改进，从中抽取对操作工艺进行了某种改进，从中抽取5炉铁
14、水，测得炉铁水，测得含碳量数据如下：含碳量数据如下：4.421 4.052 4.353 4.287 4.683。取取 =0.05，是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为仍为 ？否定否定H0 ，即不能认为方差是，即不能认为方差是(0.108)(0.108)2 2。 在在H0成立的条件下成立的条件下解解:现在现在, n=5, =0.05，得临界值得临界值又得又得 例例20-0320-03. .2021(一一)两个两个总体均值总体均值 或均值或均值差差的检验的检验关于两个总体均值差关于两个总体均值差 1 - 2 的的检验问题为检验问题为 设设X1,X2,
15、Xn1为来自总体为来自总体 N ( 1, 12)的的样本样本. Y1,Y2,Yn2为来自总体为来自总体 N ( 2, 22)的的样本样本。 这这两个样本相互独立两个样本相互独立,且且 12 、 22已知。已知。H0: 1 = 2 ; H1: 1 2 。* 8.3:两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验在成立的条件下，在成立的条件下，4.已知已知总体总体方差方差 12 、 22 的检验的检验(U检验检验)2122若若 ，则否定，则否定H0 ； 由样本值计算由样本值计算 ，并与，并与 比较比较 ： 取显著性水平为取显著性水平为 。查标准正态分布表，得临界查标准正态分布表，得临界 值，值， 使
16、使 ，即，即 是小是小概率事件，概率事件， 若若 ，则不能否定，则不能否定 H0 。2223前例前例 、 为考察工艺改革前后所纺线纱的断裂强为考察工艺改革前后所纺线纱的断裂强度的变化大小，分别从改革前后所纺线纱中抽取容量度的变化大小，分别从改革前后所纺线纱中抽取容量为为80和和70的样本进行测试，的样本进行测试， 算得算得 。假定改革前后线纱断裂强度分别服从正态分布，其。假定改革前后线纱断裂强度分别服从正态分布，其方差分别为方差分别为2.182.182 2和和1.761.762 2，试求改革前后线纱平均断，试求改革前后线纱平均断裂强度是否有变化？取裂强度是否有变化？取 = = 5。 这里这里
17、=0.05, /2=0.025, n1=80, n2=70, u0.975=1.96, 12 = = 2.182.182 2 、 22 = 1.76= 1.762 2 解解: 可认为两总体均值差的检验。可认为两总体均值差的检验。例例20-0420-04. .2324算出得算出得 故故 | |u0|=|-1.3667|= 1.3667 |=|-1.3667|= 1.3667 1.96 =u0.975 。 未未落落入入拒拒绝绝域域，所所以以不不能能否否定定，即即认认为为均均值值无无显显著著差异。差异。24255. 总体总体方差相等方差相等 12 = 22 = 2 但未知但未知的检验的检验. 关于两
18、个总体均值差关于两个总体均值差 1 - 2 的的检验问题为检验问题为是它们的样本均值和样本方差是它们的样本均值和样本方差.并设并设X1,X2,Xn1为来自总体为来自总体 N ( 1, 2)的的样本样本. Y1,Y2,Yn2为来自总体为来自总体 N ( 2, 2)的的样本样本. 这这两个样本相互独立两个样本相互独立.H0: 1 - 2= ; H1: 1 - 2 。取显著性水平为取显著性水平为 .2526取取 t 统计量作为检验统计量统计量作为检验统计量其中其中前面已知前面已知,当当H0为真时为真时,其拒绝域的形式为其拒绝域的形式为2627可得可得,拒绝域为拒绝域为由由2728(二二)方差方差(或
19、方差比或方差比)的检验的检验 6.设设 1 、 2 、 12 、 22均为未知均为未知,要求要求 检验假设检验假设H0： 12 = 22 ； H1： 12 22 。并设并设X1,X2,Xn1为来自总体为来自总体 N ( 1, 12)的的样本样本. Y1,Y2,Yn2为来自总体为来自总体 N ( 2, 22)的的样本样本. 这这两个样本相互独立两个样本相互独立.样本方差为样本方差为由于由于当当H0: 12 = 22为真时，为真时，2829满足满足拒绝域为拒绝域为我们称为我们称为F检验法检验法.我们取我们取由检验水平由检验水平 ，查，查F分布表，得临界值分布表，得临界值 作为检验统计量。作为检验统
20、计量。由样本值计算由样本值计算 F0，并与临界值进行比较：并与临界值进行比较： 若若 ，或，或 ，则否定则否定H0 。否否则，不能否定则，不能否定H0 ： 2930 甲、乙两台机床，生产同一型号的滚珠，甲、乙两台机床，生产同一型号的滚珠，由以往经验可知，两台机床生产的滚珠直径都服从正由以往经验可知，两台机床生产的滚珠直径都服从正态分布，现从这两台机床生产的滚珠中分别抽出态分布，现从这两台机床生产的滚珠中分别抽出5个个和和4个，测得其直径如下个，测得其直径如下(单位：单位：mm)：甲机床：甲机床：24.3 20.8 23.7 21.3 17.41乙机床：乙机床：18.2 16.9 20.2 16
21、.7问问( (1 1) )：甲甲、乙乙两两台台机机床床生生产产的的滚滚珠珠直直径径的的方方差差有有无无显著差异显著差异(取取 =0.05 )？解解 在成立的条件下，在成立的条件下，例例20-0520-05. .3031由检验水平，查由检验水平，查F分布表，得临界值分布表，得临界值和和由样本值计算由样本值计算 ，因为因为所以不能否定，即认为方差无显著差异。所以不能否定，即认为方差无显著差异。3132 问问( (2 2) )：甲、乙两台机床生产的滚珠直径有无显著：甲、乙两台机床生产的滚珠直径有无显著差异差异(取取 =0.05 )？解解 :从从（1）知知甲甲、乙乙两两台台机机床床生生产产的的滚滚珠珠
22、直直径径的的方方差差无无显显著著差差异异，即即可可认认为为相相等等。在在此此下下，进进一一步步检检验均值是否相等？于是有验均值是否相等？于是有 未未落落入入拒拒绝绝域域，所所以以不不能能否否定定，即即认认为为均均值值无无显显著著差异。差异。 现在现在, n1+n2-2=7, t0.975(7)=2.3646.又得又得t0= 1.863397 t0.975(29)=2.0452。落入拒绝域。落入拒绝域 3536假设检验的判断依据是一个样本。这种由部分推断整假设检验的判断依据是一个样本。这种由部分推断整体的做法难免产生错误。假设检验产生的错误有两种：体的做法难免产生错误。假设检验产生的错误有两种：
23、 8.4: 假设检验中的两类错误假设检验中的两类错误 第第一一类类错错误误指指， H0是是正正确确的的，而而检检验验结结果果却却否否定定了了H0 ，称此类错误为，称此类错误为弃真错误弃真错误，其概率为，其概率为 ，即，即第二类错误指，第二类错误指， H0是不正确的，而检验结果却未否是不正确的，而检验结果却未否定，称此类错误为定，称此类错误为存伪错误存伪错误，其概率为，其概率为 ，即。，即。因因此此，假假设设检检验验中中预预先先给给定定的的检检验验水水平平 ，是是检检验验 可能犯弃真错误的概率。可能犯弃真错误的概率。3637 为了直观理解两类错误的概率，我们仅就一个正为了直观理解两类错误的概率，
24、我们仅就一个正态总体，已知方差态总体，已知方差 检验检验 在在( )( )的情况作图如下：图中网络部分表示的情况作图如下：图中网络部分表示 的大小（图）的大小（图）3738 犯这种错误是无法排除的。我们希望犯这两种犯这种错误是无法排除的。我们希望犯这两种错误的概率都很小错误的概率都很小. 一般来说一般来说,当样本容量固定时当样本容量固定时,若减少犯一类错误若减少犯一类错误的概率的概率,则犯另一类错误的概率往往增大则犯另一类错误的概率往往增大.若要使犯若要使犯两种错误的概率都减小两种错误的概率都减小,除非增加样本容量除非增加样本容量.于是于是,在给定样本容量的情况下在给定样本容量的情况下,一般来
25、说一般来说,我们总我们总是控制犯第一类错误的概率是控制犯第一类错误的概率,使它小于或等于使它小于或等于 .即即 使犯第一类错误的概率不超过使犯第一类错误的概率不超过 .这种只对犯第一类错误的概率加以控制这种只对犯第一类错误的概率加以控制,而不考虑而不考虑犯第二类错误的检验问题犯第二类错误的检验问题,称为称为显著性检验显著性检验问题问题. 3839 在实际工作中，两类错误造成的影响常常是不一样在实际工作中，两类错误造成的影响常常是不一样的。例如，在降落伞的产品质量检验时，人们希望宁的。例如，在降落伞的产品质量检验时，人们希望宁可把合格的降落伞错判为不合格，而不愿把不合格的可把合格的降落伞错判为不
26、合格，而不愿把不合格的降落伞判为合格，以致造成人身伤亡，为此，尽量减降落伞判为合格，以致造成人身伤亡，为此，尽量减小小 ；而对价格高昂的产品，生产者希望检验时把合；而对价格高昂的产品，生产者希望检验时把合格品当作不合格品的可能性尽量小，即要尽量小格品当作不合格品的可能性尽量小，即要尽量小 。人人们们希希望望检检验验时时犯犯两两类类错错误误的的概概率率越越小小越越好好，但但在在样样本本容容量量确确定定时时，犯犯这这两两类类错错误误的的概概率率难难于于同同时时被被控控制制。即即当当 减减小小时时， 反反而而增增大大；而而 减减小小时时， 反反而而增增大大。通通常常的的做做法法是是固固定定 ( (或
27、或 ) )，而而使使另另一一个个 ( (或或 ) )尽量减小。尽量减小。演示演示34！39401.原假设原假设H0: 表表8.3.1 正态总体均值、方差的假设检验法正态总体均值、方差的假设检验法 (显著性水平为显著性水平为 ) = 0 ( 2为已知为已知)2.检验统计量检验统计量3.当当H0 为真时为真时检验统计量的分布检验统计量的分布4.备择假设备择假设H15.拒绝域拒绝域(1)N (0, 1)40411.原假设原假设H0: = 0 ( 2为未知为未知)2.检验统计量检验统计量3.当当H0 为真时为真时检验统计量的分布检验统计量的分布4.备择假设备择假设H15.拒绝域拒绝域(2)41421.
28、原假设原假设H0: 2 = 02 , ( 为未知为未知)2.检验统计量检验统计量3.当当H0 为真时为真时检验统计量的分布检验统计量的分布4.备择假设备择假设H15.拒绝域拒绝域(3)或或42431.原假设原假设H0: d = 0,(成对数据成对数据)2.检验统计量检验统计量3.当当H0 为真时为真时检验统计量的分布检验统计量的分布4.备择假设备择假设H15.拒绝域拒绝域*(2)43441.原假设原假设H0: 1 - 2= , ( 12、 22 为已知为已知)2.检验统计量检验统计量3.当当H0 为真时为真时检验统计量的分布检验统计量的分布4.备择假设备择假设H15.拒绝域拒绝域(4)N (0
29、, 1)44451.原假设原假设H0 ：2.检验统计量检验统计量3.当当H0 为真时为真时检验统计量的分布检验统计量的分布4.备择假设备择假设H15.拒绝域拒绝域(5) 1 - 2= , ( 12= 22 = 2 为未知为未知)45461.原假设原假设H0: 12 = 22 , ( 1 、 2为未知为未知)2.检验统计量检验统计量3.当当H0 为真时为真时检验统计量的分布检验统计量的分布4.备择假设备择假设H15.拒绝域拒绝域(6)或或4647 某电子元件的寿命服从正态分布，某电子元件的寿命服从正态分布， , 2为未知，为未知，现随机测取现随机测取16只元件的寿命如下只元件的寿命如下:这里取这里取 =0.05, 由表由表8.1知此检验问题的拒绝域为知此检验问题的拒绝域为t未落在拒绝域中未落在拒绝域中,故接受故接受H0,即元件的平均寿命即元件的平均寿命仍为仍为225小时小时.问是否有理由认为问是否有理由认为元件的平均寿命已元件的平均寿命已不是不是225（小时）（小时）.解解:按题意需检验按题意需检验 H0: = 0=225;H1: 225 。现在现在, n=16,t0.975(15)=2.1315.又得又得 例例20-0720-07. .4748(20)结束作业: 习题八的习题八的 9, 12, 13 ,144849949501250511351521452
