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1、上页下页铃结束返回首页 8-3 格林公式格林公式 . 平面第二型曲线积分平面第二型曲线积分 与路径无关的条件与路径无关的条件单连通与多连通区域单连通与多连通区域 设设D为平面区域，如果为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于内任一闭曲线所围的部分都属于 D，则称，则称D为平面为平面单连通区域单连通区域，否则称为，否则称为复连通区域复连通区域.通俗通俗 地说，地说，平面平面单连通区域是不含有单连通区域是不含有“洞洞”（包括点（包括点“洞洞”）的的区区 域域,复连通区域复连通区域是含有是含有“洞洞”（包括点（包括点“洞洞”）的）的区域区域. 例如，平面上的圆形区域例如，平面上的圆形区域 ,
2、上半平面上半平面 都都 是单连通域是单连通域.上页下页铃结束返回首页环形区域都是复连通区域. 定义定义 规定平面区域规定平面区域D的边界曲线的边界曲线L的正向如下：当的正向如下：当观测者沿观测者沿L的这个方向行走时，的这个方向行走时，D内在他近处的那一部内在他近处的那一部分总在他的左边分总在他的左边.如图如图D L上页下页铃结束返回首页定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,1. 格林公式证证 先证根据区域D 的不同，我们分三种情况进行证明：上页下页铃结束返回首页（1）根据曲线积分的性质及计算法，有另一方面，根据二
3、重积分的计算法，有比较上面两式，即得所要的公式（8.4）上页下页铃结束返回首页(2) 若D是单连通区域,但D的边界线L与平行于y轴的直线之交点多于两个. 则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图证毕上页下页铃结束返回首页(3) D 是多连通区域这时仍然可以通过作辅助线的方法将D 分作若干小区域.如图所示.对于每个小区域使用上述公式(8.4),然后相加，即得出对于整个区域D 上公式 (8.4) 成立.上页下页铃结束返回首页类似地可证将前面已证明的关于 及 的公式相加，即得到格林公式.上页下页铃结束返回首页例例1 求求其中L为正方形ABCD 的边界，A(1,0),B(0,1),C(
4、-1,0),D(0,-1).A(1,0 )B(0,1 )D(-1,0 )C(0,-1 )xyo解解 利用格林公式，上页下页铃结束返回首页例例2 求求椭圆椭圆 的面积的面积D.解解 椭圆的边界方程为D 的面积上页下页铃结束返回首页例例3 求曲线积分求曲线积分解解为利用格林公式，故需分两种情况讨论.(1) 当L所围成的区域D内不包含原点时,P(x,y),Q(x,y)在D 内有连续的一阶偏导数，这时可用格林公式.易算出上页下页铃结束返回首页 (2) 当L所围的区域D 包含原点作为其内点时，由于P(x,y) ,Q(x,y) 在D内一点（即原点）处无定义，也就不满足 格林公式成立的条件，故不能在区域D
5、上用格林公式.为了能用格林公式，需要把原点“挖掉”.为此以原点为圆心，充分小的 r(0)为半径作一小圆C，使C整个包含在D 内.在挖掉小圆域C 之后的多连通区域 上，可利用格林公式.设C的边界曲线为 ，则有上页下页铃结束返回首页此式说明，沿任意一条将原点包围在其内部的光滑正向闭曲线L 的积分，都等于沿以原点为圆心的正向圆周 的积分.上页下页铃结束返回首页 例例 4 设函数设函数u(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上有连续的二阶偏上有连续的二阶偏导数，导数，L 为为D 的边界且逐段光滑的边界且逐段光滑.证明：证明：其中其中 表示函数表示函数u(x,y)沿沿L的外法线方向的方向导数，的外法线方向
6、的方向导数，上页下页铃结束返回首页应满足 证证 设 为 的单位切向量，其方向余弦为 .而 为L 的外法线方向的单位向量.设 与其中 为z轴正方向的单位向量.由于上页下页铃结束返回首页 说明 的方向余弦为 .于是由方向导数的定义 ，有 上页下页铃结束返回首页 例例 5 设区域设区域D的边界为闭曲线的边界为闭曲线L. 某稳定流体某稳定流体(即流体即流体的流速与时间无关，只与点的位置有关的流速与时间无关，只与点的位置有关)在在 上每上每一点一点(x,y)处的速度为处的速度为其中其中P(x,y),Q(x,y) 在在 上有一阶连续偏导数上有一阶连续偏导数.该流体通过该流体通过闭曲线闭曲线L的流量的流量
7、定义为定义为其中其中 为为L的外法线方向的单位向量的外法线方向的单位向量.试证明试证明上页下页铃结束返回首页 证证 设 的切向量的方向余弦为 由例4知 =由格林公式（格林公式的另一种形式）称函数称函数 为平面向量场为平面向量场 的散度散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等稳定流体通过某一闭曲线的流量，等于其散度在该于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值闭曲线所的区域上的二重积分之值.提示 格林公式 设区域设区域D的边界曲线为的边界曲线为L 则则在格林公式中在格林公式中 令令Py Q x 则有则有 用格林公式计算区域的面积2. 平面第二型曲线积分与路径无关的条件平面第二型曲线积分与
8、路径无关的条件 设设G是是一一个个开开区区域域 P(x y)、Q(x y)在在区区域域G内内具具有有一一阶阶连续偏导数连续偏导数 与路径无关与路径无关 否则说否则说与路径有关与路径有关 如如果果对对于于G内内任任意意指指定定的的两两个个点点A、B以以及及G内内从从点点A到到点点B的任意两条曲线的任意两条曲线L1、L2 等式等式 这是因为这是因为 设设L1和和L2是是D内任意两条从点内任意两条从点A到点到点B的曲线的曲线 则则L1 (L2 )是是D内一条任意内一条任意的闭曲线的闭曲线 而且而且有有在D意一条简单逐段光滑意一条简单逐段光滑闭曲线闭曲线的曲线积分的曲线积分曲线积分曲线积分内与路径无关
9、内与路径无关 沿沿D内任内任QdyPdx=0=0 定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) .)(闭曲线的曲线积分为零闭曲线的曲线积分为零则曲线积分则曲线积分LQdyPdx在D内与路径无关内与路径无关 或沿或沿 D 内任意内任意( )数数设设函数函数P x y 及Q(x y)在在单连通域单连通域D内具有一阶连续偏导内具有一阶连续偏导在在D内处处成立内处处成立证证充分性已知上述等式在D内处处成立.在D内任取一简单闭曲线C，记C所围之区域为 .由于D是单连通区域，因而 被包含在D内，于是在区域 上用格林公式得，DC积分与路径无关上页下页铃结束返回首页 必要性 我们假定上述积分与路径无关，要证明等式
10、 在D内处处成立. 用反证法.设在D内一点 处上述等式不成立，不妨设由假设可知函数 在D内连续.因而在D内存在以 为圆心以充分小的正数r为半径的小圆域 ，使在整 上，有 设 的边界线为 ，在 上用格林公式，有上页下页铃结束返回首页 但 是D 内的简单闭曲线，由证明假设及前面命题，应 有 于是发生矛盾.证毕, . 应用定理2应注意的问题 (1)区域区域D是单连通区域是单连通区域 (2)(2)函数函数P(x y)及及Q(x y)在在D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数 如如果果这这两两个个条条件件之之一一不不能能满满足足 那那么么定定理理的的结结论论不不能能保保证成立证成立 讨论 设设L为为
11、一一条条无无重重点点、分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点的的连连续续闭闭曲曲线线 L的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向 问问 是否一定成立？是否一定成立？ 提示在例在例4中已看到中已看到,当当L所围成的区域含有原点时所围成的区域含有原点时,上面的上面的闭路积分不等于闭路积分不等于0,其原因在于区域内含有破坏函数其原因在于区域内含有破坏函数P,Q,及及连续性条件的点连续性条件的点O.上页下页铃结束返回首页 例 6 求曲线积分解解因为又它们在全平面上连续，所以积分与路径无关.取下列直线段 为积分路径：oxyA上页下页铃结束返回首页 当曲线积分 与路径无关时，它只是起点A 与点的函数，可记作
12、 下面我们给出第二型曲线积分与路径无关的另一个充分条件.定理定理3 设函数设函数P(x y)及及Q(x y)在单连通域在单连通域D内具内具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数 则等式则等式在在D内恒成立内恒成立的充分必要条件是的充分必要条件是 恰是恰是某个函数某个函数u(x,y)的的全微分全微分，即有，即有P(x y)dx Q(x y)dydu(x,y)=P(x y)dx Q(x y)dy上页下页铃结束返回首页证证 充分性 已知存在函数u(x,y), 使 du=Pdx Qdy.于是于是由此可得必要性 已知等式 在D内处处成立，由定理2，曲线积分与路径无关.上页下页铃结束返回首页 现在我们固定起点
13、而 点B(x,y)可在D 移动，则上述曲线积分就是 点(x,y)的函数，用u(x,y)表示这个函数，即令 现在，我们来证明有上式所确定的函数u(x,y)满足关系 式： 在D内任意取定点B(x,y),再任取 且使 也在D内.由于积分与路径无关，因此oxy上页下页铃结束返回首页=积分中理值定理积分中理值定理 其中 介于 x与 之间. 另一方面，P(x,y),Q(x,y) 的连续性意味着 的连续性，从而推出函数u(x,y)在D 可微且上页下页铃结束返回首页 推论推论 设函数设函数P(x y)及及Q(x y)在单连通域在单连通域D内具有内具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数 对任意两点对任意两点 曲线积分
14、曲线积分与与路径无关的充要条件是：路径无关的充要条件是：P(x y)dxQ(x y)dy恰是某恰是某一函数一函数u(x y)的全微分，此外，当的全微分，此外，当PdxQdy是是u(x y)的全微分时，有的全微分时，有(8.7) 其中其中u(A) 表示函数表示函数u(x,y)在在A点处的函数值，点处的函数值，u(B) 的含意的含意 类似类似.证证 现证公式(8.7). 过A，B两点在D 内任意作一曲线 ,设 的参数方程为上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页 如如果果函函数数u(x y)满满足足du(x y)=P(x y)dx Q(x y)dy 则则函函数数u(x y)称称为为P(x y)
15、dx Q(x y)dy的的原原函数函数. 例例7 求曲线积分A(2,1)B(1,2)xyo解解又P(x,y),Q(x,y) 在任一包含点A，B且不与y轴相交的单连通区域D内有连续的一阶偏导数，所以曲线积分在D内与路径无关.于是上页下页铃结束返回首页求求 的原函的原函求原函数的方法求原函数的方法若若在单连通域在单连通域中有连续的偏导数中有连续的偏导数,且满足且满足原函数的方法如下原函数的方法如下:ABC方法一ABC 方法二方法二(1) 先固定先固定 , 将将 看作是看作是 的函数的函数为了求为了求 的原函数的原函数 ,显然显然令令对对 积分可求出积分可求出对对 积分积分 方法三方法三: 凑全微分
16、法凑全微分法上页下页铃结束返回首页 分无关；(1)对平面上任意两点A，B，证明 与积 例 8 (2) 求 的原函数u(x,y);(3) 求曲线积分解解 (1) 由于P(x,y),Q(x,y)在全平面上有一阶连续偏导数,且 所以曲线积分与路径无关.上页下页铃结束返回首页 (2) 方法一方法一 用曲线积分法.选坐标原点为曲线积分的起 点，对平面上任意一点B(x,y),取积分路径为折线OCB，其 中C(x,0).oC(x,0)B(x,y)xy 方法二方法二 固定y,关于 对x求不定积分，得其一原函数上页下页铃结束返回首页这样， 的原函数 u(x,y) 可表成其中 是一待定函数.再由得 求原函数得 其中C为任意常数.代入上述u的表示式得 方法三方法三上页下页铃结束返回首页所以
