《2022年第七讲-多元函数积分学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第七讲-多元函数积分学（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载第七讲多元函数积分学（一）知识点分析：一、二重积分1、二重积分的概念：设二元函数( ,)f x y定义在有界闭区域D上，则二重积分01( ,)lim(,)niiiiDfx y df精确定义求极限问题：11( , )lim(,)nnnijDbadcba dcfx y df ai cjnnnn先提出1 1n n，在凑出,ijn n，可以看出ni是 0 到 1 上的x，jn是 0 到 1 上的y，n1是 0 到 1上的,dx dy注：二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域D由一条或几条逐段光滑闭曲线围成，当( , )f x y在D上连续时， 或者( ,)f x y在
2、D上有界， 且在D除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则( , )fx y在D上可积。极限存在与D的分割方式无关。ddx dy几何意义曲顶柱体的体积( , )DVf x y d；物理意义D的质量( , )Dmx y d。2、二重积分的性质（1）区域面积DdA，其中A为区域D的面积。（2）可积函数必有界：当( , )f x y在闭区域D上可积时，则( , )f x y在D上必有界（3） 线性性质：1212( , )( , ) d( , )d( , )dDDDk f x yk g x ykf x ykg x y12,k k为常数。（4）可加性：1212,DDDDD，12( ,)d( ,)d(
3、 ,)dDDDf x yf x yfx y。（5）保号性：若在D上( , )( , )f x yg x y，则( , )( , )DDf x y dg x y d；特殊的有|( , )d|( , ) dDDf x yf x y。（6）估值定理：设max( , ),min( , )DDMf x ymf x y，D的面积为,则有( , )Dmf x y dM（7）二重积分中值定理：设函数( , )f x y在闭区域D上连续，D的面积为，则至少存在一点( , )D使得( , )( , )Df x y df。3、二重积分的计算（1）直角坐标系计算法X型：12( , )( )( ),Dx yxyx ax
4、b，12( ),( )xx在,a b上连续，则21( )( )( , )( , )bxaxDfx y ddxfx y dyY型：12( , )( )( ),Dx yyxycyd，12( ),( )yy在,c d上连续，则21()( )( ,)( , )dycyDf x y ddyfx y d x（2）极坐标系计算法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载12( , )( )( ),Drr其中12( ),( )在,上连续，则21()()( , )( cos , sin)d( cos , sin)DDf x y
5、 df rrrdrdf rrrdr注意：X型，Y型和极坐标的相互转化有时可方便解题cossinxryr4、二重积分的对称性( , )Df x y d，记1D为其对称区域的一半（1）若D关于x轴对称，有10,( ,)=( , )( ,)2( , )( ,)= ( , )DDf xyf x yf x y df x y df xyf x y，（2）若D关于y轴对称，有10,(, )=( , )( ,)2( , )(, )= ( , )DDfx yf x yf x y df x y dfx yf x y，（3）若D关于原点对称，有10,(,)=( , )( , )2( , )(,)= ( , )DDf
6、xyf x yf x y df x y dfxyf x y，（4） （轮换对称性）若D关于yx对称，有( , )( , )DDf x y df y x d若yx将D分成12,DD两部分，有12( , )( , )DDf x y df y x d二、三重积分1、三重积分的概念设三元函数( , , )fx y z定义在三维有界空间区域上，则三重积分01( , )dlim(,)nkkkiif x y zvfv111( , , )lim(,)nnnnijkbadcfeba dcfef x y z dvf ai cj eknnnnnn方法： 先提出1 1 1n n n，在凑出,ijkn n n，可以看出
7、ni是 0 到 1 上的x，jn是 0 到 1 上的y，kn是 0 到 1 上的z，n1是 0 到 1 上的,dx dy dz。2、三重积分的性质（1）区域面积dvV，其中V为区域的面积。（2）可积函数必有界：当( , , )f x y z在闭区域上可积时，则( , , )f x y z在上必有界（ 3）线性性质：1212( , , )( , , )( , , )( , , )k f x y zk g x y zdvkf x y z dvkg x y z dv，12,k k为常数。（4）可加性：1212,，12( , , )( , )( , )fx y z dvfx y z dvf x y z
8、 dv。（5）保号性：若在上( , , )( , , )f x y zg x y z，则( , , )( , , )f x y z dvg x y z dv；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载特殊的有|( , , )|( , , )f x y z dvf x y z dv。（6）估值定理：设max( , , ),min( , , )Mf x y zmf x y z，的体积为V, 则有( , , )mVf x y z dvMV（7）三重积分中值定理：设函数( , )f x y在闭区域上连续，的体积为V，
9、则至少存在一点( , ,)使得( , , )( , ,)f x y z dvfV。3、三重积分的计算（1）坐标平面投影法（二套一）12( , , )( ,)( , ),( , )xyx y z z x yzzx yx yD2211( , )( , )( , )( , )( , , )d( , , )dd dd d( , , )dzx yzx yzx yzx yDDf x y zvf x y zzxyx yfx y zz（2）坐标轴投影法（一套二）( , , ) ( , ),zx y zx yDazb( , , )d( , , )dd( , , )ddzzbbaaDDf x y zvf x y
10、zxydzdzfx y zxy（3）柱面坐标法“直角坐标系+极坐标系”cosx，siny，zz，其中0,02 ,z( , , )d(cos ,sin ,) dddf x y zvfzz（4）球坐标计算法sincosxrsinsinyrcoszr其中0,02 ,0r2( , , )d( sincos , sinsin , cos )sind ddf x y zvf rrrrr4、三重积分的对称性（1）若关于xoy平面对称，则10,( , ,)( , , )( , , )d,2( , , )d,( , ,)( , , )f x yzf x y zf x y zvf x y zvf x yzf x
11、y z1为对称区域的一半。同理与关于yoz平面对称和xoz平面对称（2）轮换对称性：若关于, ,x y z具有轮换对称性（即若, ,x y z，将, ,x y z意互换后的点也属于） ，则被积函数中的自变量可以任意轮换而不改变积分值( , , )( , , )( , , )f x y z dvf y x z dvf y z x dv当：( )( )( )f x dvfy dvf z dv， 有 ( )( )( ) 3( )f xf yf z d vf xd v三、重积分的应用1、曲面的面积设曲面由方程( ,)zf x y组成，则曲面的面积221xyDAzzdxdy若光滑曲面方程为( , , )
12、0F x y z，且0zF，则,( , )yxx yzzFFzzx yDxFyF222xyzzDFFFAdxdyF2、质心精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载（1）薄片的质心：( , )DMx y d，1( ,)Dxxx y dM，1( , )Dyyx y dM若薄片是均匀的，密度为常数，则质心即形心1DxxdA，1DyydA（2）空间立体质心：( , , )Mx y z dv，则：1( , , )xxx y z dvM，1( , , )yyx y z dvM，1( , , )zzx y z dvM3、
13、转动惯量（1）平面薄片D的转动惯量，若面密度为( , ), ( , )x yx yD2( , )d dxDIyx yx y，2( , )d dyDIxx yx y（2）空间立体的转动惯量 , 若密度为( , , )x y z,( , , )x y z22()( , , )dxIyzx y zv,22()( , , )dyIxzx y zv,22()( , , )dzIxzx y zv4、引力（1）对xOy面上的平面薄片D对原点处的单位质量质点的引力分量为3( ,)dxDx y xFG；3( ,)dyDx y yFG，22()xy（2）空间立体的对空间任意一点处的单位质量质点的引力分量为03(
14、, , )()xx y zxxFGdvr03( , , )()yx y zyyFGdvr03( , , )()zx y zzzFGdvr注：匀质球对球外的一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点的引力；匀质球对球内的某一质点的引力等于球心到该质点为半径的球对该点的引力。练习题：1、求极限2211lim()()nnnijnninj2、交换下列积分次序（1）22212( , )x xxdxf x y dy； （2）ln10( ,)exdxf x y dy； （3）sin0sin2( , )xxdxf x y dy（4）22113920010( , )( , )xxIdxf x y dydxf x
15、 y dy3、计算下列二重积分（1）xyDed，( ,)1Dx yxy； （2）21200yxIdxedy； （3）0sindyxdyxx4、将在下列区域表示为极坐标形式（函数为( , )f x y）（1）22( ,)2 Dx y xyx； （2）( , ) 01,01 Dx yyxx（3）1100( , )dxf x y dy； （4）2100( , )xdxf x y dy5、用极坐标计算积分（1）2222200()aax xdxxydy； （2）2112220()xxdxxydy； （3）20dxIex；（4）22ln(1)Dxyd，其中D是221xy在第一象限区域；精选学习资料 - -
16、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载（5）222211Dxydxy，其中D是221xy在第一象限区域；6、 （ 1）求曲面222zxy与2262zxy围成立体体积。（2）计算xoy面上22xyax围成的闭区域为底，以曲面22zxy为曲顶柱体体积。7、设函数( , )f x y连续， 且( , )( , )Df x yxyf u v dudv，其中D是由1,1,2yxyx围成，求( , )f x y。8、设函数( ,)f x y在闭区域22( , ),0Dx y xyy x上连续，且228( , )1( ,)Df x yxy
17、f x y dxdy，求( , )f x y。9、设平面闭区域( , ),Dx yaxa xya，1( , ) 0,Dx yxa xya，则(cos sin )Dxyxy d（）（A）12cossinDxyd（B）12Dxyd（ C）14(cos sin)Dxyxy d（D）0 10、计算2ln(1)d dDIxyyx y其中D由24,3 ,1yxyx x围成11、计算Ddxdyyxyfx)(122，其中D由3xy，1y，1x围成。12、已知( , )1Dx yxy，计算下列二重积分（1）( )( )( )( )Daf xbfyIdf xf y，( )f t是定义在(,)连续正值函数， 常数0
18、,0ab。（2）()xyDIeed，常数0。13、设2( ,)( ,)f x yF x yx y在 , ,Da bc d上连续，求( , )DIF x y d14、 已知函数( , )f x y具有二阶连续偏导数，且(1, )0fy( ,1)0f x，Dadxdyyxf),(，其中 10 , 10),(yxyxD，计算二重积分( ,)xyDIxyfx y dxdy。15、设( )f x为连续函数，1( )( )ttyF tdyf x dx，则(2)F_. 16、设( )f x连续，2200( )()xtF xdtuf utdu，求( )Fx。17、设( )f x为连续函数，0( )()xxtF
19、 xdtf ut du，求证(0)(0)Ff。18、设函数( )fx在区间0,1上具有连续的导数，(0)1f，且满足()tDfxy d( )tDf t d，其中( , ) 0,0,01tDx yytxxtt，求( )f x表达式。19*、求极限223001limarctancos(35)ttxtdxxydyt20*、计算()ln(1)1yxDxyIdxdyxy，其中(, )1,0,0tDx y xyxy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载21、求极限221118lim()()nnnnijkkninjn
20、22、计算3(1)dxdydzxyz，其中为平面0,0,0,1xyzxyz所围成闭区域。23、 （1）计算Izdv，其中是由锥面22hzxyR与平面zh所围成闭区域。（2）22(),Ixydv是yOz平面zy2绕z旋转所得与2z，8z所围区域。24、计算xyzdxdydz，其中为球面2221xyz在第一卦限的闭区域。25、计算2x dxdydz，其中为球面2221xyz的闭区域。26、计算zdv，其中是不等式2222222(),xyzaaxyz所围成闭区域。27、 计算22()xydv， 其中是不等式2220,0axyzA z所围成闭区域。28、求球体上ra位于锥面,34之间的部分的体积。29
21、、空间闭区域22221( , , ),0,x y z xyzRz22222( , , )x y z xyzR0,0,0xyz，则有（）（A）124xdvxdv（ B）124ydvydv（C）124zdvzdv（D）124xyzdvxyzdv30、计算222222ln(1)1zxyzdvxyz，其中为球面2221xyz的闭区域。31、计算（ 1）12000sin(1)xyzIdxdydzz； （2）11100sinxxyzIdxdydzz32、求球面2222xyza含在圆柱面22xyax内部的那部分面积。33、求两个直交圆柱面222222,xyRxzR围成立体的表面积。34、求均匀薄片D是介于c
22、os ,cos (0)abab之间的闭区域的质心。35、求均匀立体是222222,(0),0zAxyzaxyAaz围成的质心。36、设球体2222(0)xyzaz a中任意一点的密度到球心距离成正比，求球的重心。37、求均匀薄片D是由2yx与直线1y所围成，绕1y旋转的转动惯量（1） 。38、求半径为a、高为h的均匀圆柱体绕轴旋转的转动惯量（1） 。39、设面密度为, 半径为R的薄片222,0xyRz求它对位于点0(0,0,) (0)Maa处的单位质量质点的引力。40、求半径R的均匀球2222xyzR对位于点0(0,0,)Ma的单位质量质点的引力。（1）aR； （2）0aR； （3）0a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
