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1、【授课班级】20XX 级数学与应用数学（1） （2）班【授课内容】第4 节. 群的同态【教学目标】1、知识与技能（1）掌握群的判定定理同态定理；（2）掌握群同态的的性质单位元，逆元等。2、过程与方法通过同态映射建立已知群与未知集合关系来获得群的判定方法。3、情感与价值建立同态映射，使另一集合也成群，体现集合间的内在联系，体现建构主义思想。【教学重点】群的同态定理【教学难点】群的同态定理的顺序关系【授课类型】新授课【授课方法 】启发式讨论式教学过程问题：同态是一个重要概念，现已学了很多群，有限群，无限群，但结合律的验算看似容易，但不易验算，能否用已知群来使未知集合也成为群呢？回答是可以的。现假设
2、一个群G 与一个非空集合G，并有代数运算。定理 1.假定G与G对于它们的乘法来说同态，那么G也是一个群。即GG，G 是群，则G也是群。证明： （1）封闭性，（2）结合律均满足。（3）eeaaeaea而eaaeaa（4）1111aaa aa aaa而1a ae，ee1a ae即1a是a的逆元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 教学过程例 1：A=a,b,c 0 a b c a a b c b b c a c c a b
3、 要证结合律较困难，找一个群Z，使之与 Z 同态。把 Z 按 3 来分，分成三类xa若0 (3)xxb若1 (3)xxc若2 (3)x下面分六种情形逐一检验(1)0(3)x0 (3)y(2)0(3)x1 (3)y(3)0(3)x2 (3)y(4)1 (3)x0 (3)y(5)1 (3)x1 (3)y(6)1 (3)x2 (3)y仅以第（ 6）种情形证明，其余相同。1 (3)xyxcxybccycZAA是一个群。注意：G与G的次序不能随意调换即GG则G不一定是群。例 2.所有奇数 GG对普通乘法来说不成群。G=e ee=e 是一个群但：ae是G到 G 的同态满射，但G不是群。同态的性质定理 2：
4、假定G 和G是两个群，在G 到G的一个同态满射之下， G 的单位元 e的象是G的单位元， G 的元 a的逆元 a-1的象是 a 的象的逆元。若GG两个单位元互相对应，互相对应的元的逆元互相对应。注意：若GGaa，但a不一定等于a的阶例 3.G=1,w1,w2 a=e w1=132i1e名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - : 1we而 w1与 w2的阶均为 3，e=1 2we名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
5、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 巩固与提升1.G= 全体正负奇数 代数运算是普通乘法。又G=1,-1 关于数的普通乘法作成群令：正奇数1 负奇数-1 易知GG，G是群，但G 不是群。2.证明G=0,1,2,3, 对代数运算abr（r 为 a+b 用 4 除所得余数）作成群。证：,(Z）xxx是 Z 到G的同态满射。其中,x为整数 x 用 4 除所得余数由于 Z 是群，G也是群。教学反思一句话感言名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -
