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1、转化转化空间几何体题型与方法归纳( 文科) 考点一 证明空间线面平行与垂直1、如图 , 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点，（ I ）求证：ACBC1；（II ）求证：AC 1/ 平面CDB1；解读：（ 1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明 ，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线 线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 答 案 : 解 法 一 ： （ I ） 直 三 棱 柱ABC A1B1C1， 底 面 三 边 长AC=3 ，BC=4AB=5，ACBC，且 BC1在平面 ABC 内的射影
2、为BC， ACBC1；（II）设 CB1与 C1B 的交点为E，连结 DE， D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点， DE/AC1， DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1/平面 CDB1；（ 2） 设CB1与C1B 的交 战 为E， 则 E（ 0,2 ， 2） . DE （ 23， 0,2 ） ，1AC （ 3,0 ， 4），121ACDE， DE AC1.点评： 2平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理2、如图所示，四棱锥PABCD中， ABAD ，CDAD，PA底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M为 PC的中点。(
3、1) 求证： BM 平面 PAD ；(2) 在侧面 PAD内找一点N，使 MN平面 PBD ；（1）M是PC的中点，取PD 的中点E，则MECD21，又ABCD21四边形ABME为平行四边形BMEA，PADBM平面PADEA平面BMPAD平面（4 分）（2）由（ 1）知ABME为平行四边形ABCDPA底面ABPA，又ADABPADAB平面同理PADCD平面，PAD平面AEAEABABME为矩形CDME，PDCD，又AEPDPDMEABME平面PDPBDPD平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页ABMEPBD平面平面
4、作EBMF故PBD平面MFMF交AE于N，在矩形ABME内，1MEAB，2AE32MF，22NEN为AE的中点当点N为AE的中点时，BDMNP平面3.【2016 高考山东文19】 ( 本小题满分12 分)如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，,CBCD ECBD . ( )求证：BEDE；( )若120BCD，M 为线段 AE 的中点，求证：DM平面BEC. 【答案】 (I)设BD中点为 O，连接 OC，OE，则由 BCCD 知， COBD ，又已知 CEBD ，所以BD平面 OCE. 所以 BDOE ，即 OE 是 BD 的垂直平分线，所以BEDE. (II) 取 AB 中点 N
5、，连接,MN DN， M 是 AE 的中点，MN BE，ABD是等边三角形，DNAB . 由 BCD120知， CBD 30，所以 ABC60+30 90，即BCAB，所以 NDBC，所以平面MND 平面 BEC，故 DM 平面 BEC. 4、（2016 年高考（江苏）如图, 在直三棱柱111ABCA B C中,1111A BAC,DE，分别是棱1BCCC，上的点 ( 点D不同于点C), 且ADDEF，为11B C的中点 . 求证 :(1)平面ADE平面11BCC B。(2) 直线1/A F平面ADE. 【答案】证明 :(1) 111ABCA B C是直三棱柱, 1CC平面ABC. 又AD平面
6、ABC, 1CCAD. 又1ADDECCDE，平面111BCC BCCDEE，, AD平面11BCC B. 又AD平面ADE, 平面ADE平面11BCC B. (2) 1111A BAC,F为11B C的中点 , 111A FB C. 又1CC平面111A B C, 且1A F平面111A B C, 11CCA F. 又111CCB C，平面11BCC B,1111CCB CC,1A F平面111A BC. 由(1) 知,AD平面11BCC B, 1A FAD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页又AD平面1, A
7、DEA F平面ADE, 直线1/A F平面ADE【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系. 【解读】(1) 要证平面ADE平面11BCC B, 只要证平面ADE上的AD平面11BCC B即可 . 它可由已知111ABCA B C是直三棱柱和ADDE证得 . (2) 要证直线1/A F平面ADE, 只要证1A F平面ADE上的AD即可 . 考点二求空间图形中距离与体积5、（安徽理17）如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，1,2,OAODOAB ，,OAC，ODE，ODF都是正三角形。（）证明直线BCEF；（II）求棱锥FOBED 的体积。（I）（综合法
8、）证明：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点. 由于 OAB 与 ODE 都是正三角形，所以OBDE21，OG=OD=2 ，同理，设G是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点，有.2ODGO又由于 G 和G都在线段DA 的延长线上，所以G 与G重合 . 在 GED 和 GFD 中，由OBDE21和 OCDF21，可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中点，所以BC 是 GEF的中位线，故BCEF. （向量法）过点 F 作ADFQ，交 AD 于点 Q，连 QE，由平面ABED 平面 ADFC ，知 FQ平面 ABED ，以 Q 为坐标原点，QE为x轴正向，QD为 y 轴正向，QF为
9、 z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系. 由条件知).23,23,0(),0 ,23,23(),3,0 ,0(),0, 0,3(CBFE则有).3, 0,3(),23,0,23(EFBC所以,2BCEF即得 BCEF. （II）解：由OB=1 ，OE=2，23,60EOBSEOB知，而 OED 是边长为2的正三角形，故.3OEDS所以.233OEDEOBOBEDSSS过点F 作 FQ AD ，交AD 于点Q，由平面ABED 平面ACFD 知， FQ 就是四棱锥FOBED 的高，且= = = = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页
10、，共 14 页FQ=3，所以.2331OBEDOBEDFSFQV6.（四川 19）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中BAC=90 ，AB=AC=AA1 =1D 是棱 CC1 上的一P 是 AD 的延长线与A1C1 的延长线的交点，且PB1平面 BDA （I）求证： CD=C1D ：（）求点C 到平面 B1DP 的距离解读：（ 1）连接1B A交1BA于O,1/B P1面BDA,111,B PAB PAB PDOD1面面面BA1/B POD,又O为1B A的中点，D为AP中点，1C1为A P,1ACDPC D1C DCD,D 为1CC的中点。（2）因为11CB PDB PCDVV，所以111
11、1133B PDPCDh SA BS,111A B11111244PCDPC CPC DSSS, 在1B DP中，1111955352 5544,5,.cos,sin32255252BDBPPDDBPDBP，1135315,22543B PDSh7.【2016 高考湖南文19】（本小题满分12 分）如图 6，在四棱锥P-ABCD 中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 是等腰梯形， AD BC，AC BD. （）证明： BD PC；（）若 AD=4 ，BC=2 ，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为30，求四棱锥P-ABCD 的体积 . 【答案】精选学习资料 - - - - - - -
12、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页【解读】（）因为,.PAABCD BDABCDPABD平面平面所以又,ACBD PA AC是平面 PAC 内的两条相较直线，所以BD平面 PAC，而PC平面 PAC，所以BDPC. （）设 AC 和 BD 相交于点O，连接 PO，由（）知，BD平面 PAC，所以DPO是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，从而DPO30. 由 BD平面 PAC ，PO平面 PAC，知BDPO. 在RtPOD中，由DPO30，得 PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，ACBD，所以,AODBOC均为等腰直角三角形，从而梯形 ABC
13、D 的高为111(42)3,222ADBC于是梯形ABCD 面积1(42)39.2S在等腰三角形中，2,22,2ODAD所以2224 2,4.PDODPAPDAD故四棱锥PABCD的体积为11941233VSPA. 8.【2014 高考广东文18】本小题满分13 分）如图5 所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，/ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是CD上的点且12DFAB，PH为PAD中AD边上的高 . （1）证明：PH平面ABCD；（2）若1PH，2AD，1FC，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EF平面PAB. 【解读】（ 1）证明：因为AB平面PAD，所以PHAB。因为PH
14、为PAD中AD边上的高，所以PHAD。因为ABADA，所以PH平面ABCD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页（2）连结BH，取BH中点G，连结EG。因为E是PB的中点，所以/EGPH。因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD。则1122EGPH，11 133 2EBCFBCFVSEGFC AD EG212。（3）证明：取PA中点M，连结MD，ME。因为E是PB的中点，所以1/2MEAB。因为1/2DFAB，所以/MEDF，所以四边形MEDF是平行四边形，所以/EFMD。因为PDAD，所以MDPA。因为AB平面P
15、AD，所以MDAB。因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB。9.【2015 高考陕西文18】（本小题满分12 分）直三棱柱 ABC- A1B1C1中， AB=A A1 ，CAB=2（）证明11BACB。（）已知AB=2，BC=5，求三棱锥11CAAB的体积【解读】（）如图，连结1AB, 111ABCA B C是直三棱柱，CAB=2，AC平面11ABB A,故1ACBA又1ABAA，四边形11ABB A是正方形，11BAAB，又1CAABA，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页1BA平面1CAB，故11
16、CBBA（）12ABAA，5BC，111ACAC由（）知，11AC平面1ABA，1113CABAVS1ABA11AC=122 13310. 【2016 高考辽宁文18】( 本小题满分12 分) 如图，直三棱柱/ABCA B C，90BAC，2,ABACAA =1，点M，N分别为/A B和/B C的中点。 () 证明：MN平面/A ACC。 () 求三棱锥/AMNC的体积。（椎体体积公式V=13Sh, 其中 S为地面面积，h 为高）【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。【解读】（ 1）（法一）连结,A
17、B AC，由已知=90 ,=BACAB AC三棱柱- ABC ABC为直三棱柱，所以M为AB中点 .又因为N为 BC中点所以/MNAC，又MN平面AACCAC平面AACC，因此/MNAACC平面 6 分（法二） 取A B的中点为P，连结 MP ，NP，,M N分别为/A B和/B C的中点，MP AA,NPA C, MP 面A ACC,NP面AACC, MPNPP, 面 MPN 面A ACC，MN 面A ACC，MN 面A ACC. ( ) （解法一）连结BN ，由题意A NB C, 面A B C面B BCC=B C, A N面 NBC ，A N=12B C=1, 111226AMNCNA M
18、CNA BCANBCVVVV. ( 解法 2) 111226AMNCANBCMNBCANBCVVVV精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页【解读】 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。【2016 高考新课标文19】（本小题满分12 分）如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90 ，A
19、C=BC=12AA1，D 是棱 AA1的中点( ) 证明：平面BDC1平面 BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题. 【解读】（）由题设知BC1CC,BC AC ，1CCACC, BC面11ACC A, 又1DC面11ACC A，1DCBC, 由题设知01145A DCADC, 1CDC=090, 即1DCDC, 又DCBCC, 1DC面BDC, 1DC面1BDC，面BDC面1BDC；（）设棱锥1BDACC的体积为1V，AC=1，由题意得，1V=112
20、1 132=12，由三棱柱111ABCA B C的体积V=1，11():VVV=1:1， 平面1BDC分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 考点三探索性问题12、（） 如图1,45ACB,3BC, 过动点A作ADBC, 垂足D在线段BC上且异于点B, 连接AB,沿AD将ABD折起 , 使90BDC( 如图 2 所示 ). ( ) 当BD的长为多少时 , 三棱锥ABCD的体积最大。( ) 当三棱锥ABCD的体积最大时 , 设点E,M分别为棱 BC ,AC的中点 , 试在棱 CD 上确定一点N , 使得ENBM. 考点分析 : 本题考察立体几何线面的基本关系, 考察如何取到最值, 用均值不等式和导数
21、均可求最值. 同时考察直线与平面所成角. 本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些. 解读 : ( ) 解法 1: 在如图 1 所示的 ABC 中, 设(03)BDxx, 则3CDx. D A B C AC D B 图 2 图 1 M E . B1C B A D C1A1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页由ADBC,45ACB知, ADC 为等腰直角三角形, 所以3ADCDx. 由折起前ADBC知, 折起后 ( 如图 2),ADDC,ADBD, 且 BDDCD , 所以AD平面BCD. 又
22、90BDC, 所以11(3)22BCDSBD CDxx . 于是1111(3)(3)2 (3)(3)33212A BCDBCDVADSxxxxxx312(3)(3)21233xxx, 当且仅当23xx, 即1x时, 等号成立 , 故当1x, 即1BD时, 三棱锥ABCD的体积最大 . 解法 2: 同解法 1, 得321111(3)(3)(69 )3326A BCDBCDVADSxxxxxx . 令321( )(69 )6f xxxx , 由1( )(1)(3)02fxxx, 且03x, 解得1x. 当(0, 1)x时,( )0fx。当(1, 3)x时,( )0fx. 所以当1x时,( )f x
23、 取得最大值 . 故当1BD时, 三棱锥ABCD的体积最大 . ( )解法 2: 由( ) 知 , 当三棱锥ABCD的体积最大时,1BD,2ADCD. 如图b, 取 CD 的中点F, 连结MF,BF,EF, 则MFAD. 由( ) 知AD平面 BCD , 所以MF平面 BCD . 如图c, 延长FE至P点使得FPDB, 连BP,DP, 则四边形DBPF为正方形 , 所以DPBF. 取DF的中点 N , 连结 EN , 又E为FP的中点 , 则 EN DP, 所以ENBF. 因为MF平面 BCD , 又 EN面 BCD , 所以MFEN. 又 MFBFF , 所以 EN面BMF. 又BM面BMF
24、, 所以ENBM. 因为ENBM当且仅当ENBF, 而点F是唯一的 , 所以点 N 是唯一的 . 即当12DN( 即 N 是CD的靠近点D的一个四等分点),ENBM. 连接 MN ,ME, 由计算得52NBNMEBEM, 所以 NMB 与EMB是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图d所示 , 取BM的中点 G , 连接 EG , NG , 则BM平面 EGN . 在平面 EGN 中, 过点E作EHGN于H, 则EH平面 BMN . 故ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角 . C AD B 图 aE M x y z 图 bC AD B E F M N 图 cB D P C F N E B
25、G M N E H 图 dN 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页在 EGN 中, 易得22EGGNNE, 所以 EGN 是正三角形 ,13.【2106 高考福建文19】（本小题满分12 分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=AD=1 ，AA1=2，M 为棱 DD1上的一点。（1）求三棱锥A-MCC1的体积；（2）当 A1M+MC 取得最小值时，求证：B1M平面 MAC 。解答：（I）点A到面1MCC的距离为1AD得：三棱锥1MCCA的体积1111113323MCCVSADCCCDAD（II）将矩形
26、11DD C C饶1DD按逆时针旋转90展开，与矩形11DD A A共面11A MMCAC，当且仅当点M是棱1DD的中点时，MCMA1取得最小值在1MB A中，22211111112,5,3MAABMBBCC DD M得：222111ABMAMBMAMB同理：11,MCMBMCMAMB M面MAC14.【2102 高考北京文16】（本小题共14 分）如图1，在 Rt ABC 中， C=90， D，E 分别为AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使A1FCD，如图 2。(I)求证： DE平面 A1CB；(II) 求证： A1FBE；(I
27、II) 线段 A1B 上是否存在点Q，使 A1C平面 DEQ ？说明理由。【考点定位】本题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。第三问的创新式问法，难度比较大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页解：（ 1）因为 D,E 分别为 AC,AB的中点，所以DE BC.又因为 DE平面 A1CB,所以 DE平面 A1CB.（2）由已知得AC BC且 DEBC,所以 DE AC.所以 DE A1D,DECD.所以 DE平面 A1DC.而 A1F平面 A1DC,所以 DE A1F. 又因为 A1F
28、CD,所以 A1F平面 BCDE. 所以 A1FBE （3）线段 A1B上存在点Q,使 A1C平面 DEQ.理由如下：如图，分别取 A1C,A1B的中点 P,Q,则 PQ BC. 又因为 DE BC,所以 DE PQ.所以平面DEQ 即为平面DEP. 由（ 2）知 DE 平面 A1DC,所以 DE A1C. 又因为 P是等腰三角形DA1C底边 A1C 的中点，所以 A1CDP,所以 A1C平面 DEP,从而 A1C平面 DEQ. 故线段 A1B上存在点Q,使得 A1C平面 DEQ. 考点四折叠、展开问题15 已知正方形ABCD E、F分别是AB、CD的中点, 将ADE沿DE折起 , 如图所示,
29、 记二面角ADEC的大小为(0)(I) 证明/BF平面ADE。(II)若ACD为 正 三 角 形 , 试 判 断 点A在 平 面BCDE内的射影G是否在直线EF上 , 证明你的结论分析 : 充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明. 解: (I)证明 :EF 分别为正方形ABCD 得边 AB、CD的中点 , EB/FD, 且 EB=FD, 四边形 EBFD为平行四边形BF/ED. ,EFAEDBFAED平面而平面,/BF平面ADE(II)如右图 , 点 A在平面 BCDE内的射影G在直线 EF上, 过点 A作 AG垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连
30、结 GC,GDACD为正三角形 ,AC=AD. CG=GD. G在 CD的垂直平分线上, 点 A在平面 BCDE内的射影G在直线 EF上, 过 G作 GH垂直于 ED于 H,连结 AH,则AHDE, 所以AHD为二面角A-DE-C 的平面角即GAH. 设原正方体的边长为2a, 连结AF,在折后图的AEF 中 ,AF=3a,EF=2AE=2a, 即AEF 为直角三角形, AG EFAE AF. 32AGa在 RtADE中 , AH DEAE AD25AHa. 2 5aGH,1cos4GHAHAEBCFDG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
31、 11 页，共 14 页点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键要抓不变的量. 16.【2012 高考江西文19】（本小题满分12 分）如图，在梯形ABCD中， AB CD ， E， F 是线段AB 上的两点，且DE AB ， CF AB ，AB=12 ，AD=5 ，BC=42，DE=4.现将 ADE ， CFB 分别沿 DE，CF 折起，使A，B 两点重合与点G，得到多面体CDEFG. （2）求证：平面DEG平面 CFG；（3）求
32、多面体CDEFG 的体积。【解读】（ 1）由已知可得AE=3 ，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CFEGF底面,可得CFEG，即EGCFG面所以 平面 DEG平面 CFG. （ 2 ） 过G作GO垂 直 于EF ， GO 即 为 四 棱 锥G-EFCD的 高 ， 所 以 所 求 体 积 为11125520335DECFSGO正方形考点五球体与多面体的组合问题17设棱锥 M-ABCD的底面是正方形，且MA MD ，MA AB ，如果 AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径 . 分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.解： AB
33、 AD ，AB MA ，AB 平面 MAD ，由此，面MAD 面 AC. 记 E是 AD的中点，从而ME AD. ME 平面 AC ，ME EF. 设球 O是与平面MAD 、平面 AC 、平面 MBC 都相切的球 . 不妨设 O 平面 MEF ，于是 O是MEF的内心 . 设球 O的半径为r ，则 r MFEMEFSMEF2设 AD EF a, SAMD1. ME a2.MF22)2(aa, r 22)2(22aaaa22222-1 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页当且仅当aa2，即 a2时，等号成立. 当
34、AD ME 2时，满足条件的球最大半径为2-1. 点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。18、（2012 年高考（新课标理）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上 ,ABC是边长为1的正三角形 , SC为球O的直径 , 且2SC。则此棱锥的体积为（A）A26B36C23D2219、（重庆理9）高为24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1 的正方形，点S、A、 B、C、D 均在半径为1 的同一球面上，
35、则底面ABCD 的中心与顶点S之间的距离为 C A24B22C1 D220.（辽宁理12）。已知球的直径SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥SABC 的体积为 C （A）33（B）32（C）3（D）1 21.（全国新课标理15）。已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4 的球 O 的球面上，且AB=6 ，BC=2 3，则棱锥O-ABCD 的体积为 _8 3【】 已知点 P，A，B，C，D是球 O表面上的点，PA 平面 ABCD ，四边形ABCD是边长为23正方形。若PA=26,则 OAB的面积为 _. 【答案】3 322 已知球的表面积为20，球面上有A、B、
36、C 三点 .如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（ A ）A1 B2C3D2（04 甘肃 11）23.已知球 O 的半径为1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2，则球心O 到平面 ABC 的距离为（ B ）A31B33C32D36（04 四川 10）24.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_3： 1_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
