《三数学建模静态优化模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三数学建模静态优化模型（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、静态优化模型 微分法建模3.1 存贮模型 3.3 森林救火 3.4 最优价格 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输 3.2 生猪的出售时机3.5 血管分支静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题是指最优解是数(不是函数)建立静态优化模型关键之一是根据建模的目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法3.1 存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品是因更换设备要付生产准备费，产品大于需求时因积压资金要付贮存费，该厂的生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。现已知某产品日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生
2、产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最少。要求不只是回答问题，而是要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元每天生产一次, 每次 100件, 无贮存费, 准备费5000元，故每天费用为5000元。10天生产一次, 每次 1000件, 贮存费900+800+100 =4500，准备费5000元, 总计9500元。平均每天费用950元50天生产一次, 每次 5000件, 贮存费4900+4800+100 =122500，准备费5000元, 总计127500元。平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用
3、最小吗？问题分析与思考 周期短，产量小贮存费少，准备费多 周期长，产量大准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（准备费+贮存费）最小 这是一个优化问题，关键在于建立目标函数显然不能用一个周期的费用作为目标函数目标函数每天总费用的平均值模型假设1、产品每天的需求量为常数r。2、每次生产准备费为c1 ,每天每件产品的贮存费为c23、T天生产一次(周期为T)，每次生产Q件，且当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来（生产时间不记）。 4、为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。建模目的设r，c1，c2已知，求T，Q，使每天总费用平均值最小模 型 建 立离散问题连续化将贮存量表示为时间的函数q
4、(t)T=0时生产Q件,贮存量q(0)=Q, q(t)以需求r的速度递减直到q(T)=0一周期贮存费用一周期总费用每天总费用平均值(目标函数)模型求解模型分析模型应用回答回答问题问题c1=5000(元), c2=1(元/天件), r=100(件/天)T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)。经济批量定货公式（EQQ公式）用于定货、供应、存贮情形每天的需求量为r，每次定货费为c1 ,每天每件贮存费为c2 ， T天定货一次(周期为T)，每次定货Q件，且当贮存量降到零时，Q件立即到货。不允许缺货的存贮模型问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？允许缺货的存贮模型当贮存量下降
5、到零时仍有需求r，出现缺货，造成损失。原模型假设：存贮量下降到零时, Q件产品立即生产出来(立即到货)现假设: 允许缺货, 每天每件缺货损失费c3, 缺货需补足.周期T, t=T1贮存量下降到零。一周期贮存费一周期缺货费一周期总费用每天总费用的平均值（目标函数）为与不允许缺货模型相比，T记作T，Q记作Q。允许缺货模型不允许缺货模型不允许缺货3.2 生猪的出售时机问 题饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80公斤重的生猪体重增加2公斤。投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大市场价格目前为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何
6、时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析建模及求解若当前出售，利润为808=640（元）估计r=2， g=0.1t 天出售生猪体重w=80+rt销售收入R=pw出售价格p=8-gt资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-CQ(t)=(8-gt)(8+rt)-4t求t 使Q(t)最大Q(10)=660 640 10天后出售，可多得利润20元敏感性分析研究r, g变化时对模型结果的影响. 估计r=2, g=0.1设g=0.1不变r1.5t 对r 的（相对）敏感度生猪每天体重r 增加1%，出售时间推迟3%。1.61.822.22.42.62.8305101520rt敏感性分析研究r,g变化时
7、对模型结果的影响 估计g=0.1, r=2设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格g每天的降低1%，出售时间提前3%。0.060.080.10.120.140.16051015202530gt强健性分析研究r, g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)Q(t)=w(t)p(t)-4tQ(t) = 0 p(t) w(t) + p(t) w(t) = 4每天利润的增值每天投入的资金保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(r,t)=3 若1.8 w 2.2 (10%),则7t 13 ( 30%) 建议过一周后(t=7)重新估计p，p，w，w, 再作计算
8、3.3、森林救火问题森林失火后，要确定排出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。问题分析记队员人数x，失火时刻t=0，开始救火时刻t1，灭火时刻t2，时刻t森林烧毁面积B(t)。损失费f1(x)为x的减函数，由烧毁面积B(t2)决定救援费f2(x)为x的增函数，由救火队员人数x和救火时间决定。存在恰当的x使f1(x)， f2(x)之和最小。综合考虑损失费和救援费，确定队员的数量。问题分析关键是对B(t)作出合理的简化假设失火时刻t=0，开始救火时刻t1，灭火时刻t2，画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形。分析 B(t)比较困难，转而讨论森林烧毁速
9、度dB/dt模型假设1)、0tt1, dB/dt与t成正比,系数(火势蔓延的速度)2)、t1 tt2, 降为-x (为队员平均灭火速度)3)、f 1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费)4)、每个队员的单位时间灭火费用c2，一次性费用c3假设1)的假设火势以火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比模型建立假设1)假设2)假设3) 4)目标函数总费用模型建立目标函数总费用模型解释求x使C(x)最小结果解释/使火势不继续蔓延的最少队员结果解释烧毁单位面积损失费c1，每个队员的单位时间灭火费用c2，一次性费用c3，开始救火时刻t1，
10、火势蔓延速度 ，队员平均灭火速度。为什么？结果解释c1。c2， c3已知，t1可估计。 , 由具体情况给出。可设置一系列参数 。由模型确定队员的费用3.4、最优价格(1)问题根据产品的成本和市场需求，在产销平衡的条件下，如何确定商品价格，使利润最大。假设1)、产量等于销量，记作x；2)、收入与销量x成正比，比例系数p即价格；3)、支出与产量x成正比，比例系数q即成本；4)、销量x依赖与价格p，x(p)是减函数； 进一步设：x(p) = a b p, a, b 0建模 与求解求p使U(p)最大建模 与求解使利润U(p)最大的最优价格p*满足边际收入 边际支出最大利润在边际收入等于边际支出时达到结
11、果解释x(p) = a b p, a, b 0 最优价格由两个部分组成， q/2是成本的一半 b是价格上升一个单位时销售量下降的幅度，（需求对价格的敏感度），bp* a可视为绝对需求量(p很小时的需求) ap*若在时间长为T的销售过程中，要求总销售量为Q，试制定最优价格函数p(t)。最优价格（2）问题在长为T 的时间内成本不变，设为 q。分析与假设单位时间的需求量x 仍为价格p 的减函数，设为a消费者的“绝对”需求量b消费者对价格的敏感系数xf (p) =a-bp单位时间的利润U = 销售收入I - 成本C 。 即：目标制定合理价格函数p(t)，使得在长为T时间内，销售出总量为本Q产品条件下，
12、获利最大。模型为：在满足(2)式的条件 下，求(1)的最大值。其是泛函条件极值问题 （变分问题）由泛函条件极值的Euler定理，作函数 模型建立在时间T内总获利为在时间T内总销量为（1）（2）模型求解H只是p的函数，式中不含p的导数p。 其Euler方程为：其最优价格p*亦为常数最优价格与市场对价格敏感系数成反比。与给定的销售时间长度成反比。 模型解释在对销售时间T和总量Q有限制时，最优价格与成本q无关。这显然是应该的，以为aT是时间T内的“绝对”售量，也就是免费时的供应量，当然大于总售量。它应随着 T的增加而提高，随着Q的增加而降低。为什么？顺便指出 若需求函数与总售量与问题（2）一样，但由
13、于销售过程中存贮费，变质损失费等影响，成本q不再是常数，它的相对增长率是最优价格（3）问题提出即设： 该问题其他条件与问题（2）一样，仅成本q为时间的变量，其Euler方程一样，所以将p*式代入约束式代入p(t)4、广告投入商家为提高收入，有两种方法，1、提高商品价格；2、提高商品的销售量。但商品价格越高则销量会降低，为了使在一定的价格下，还有较高的销售量，一种方法是做广告，做广告又需要一定的资金投入。试建立一数学模型分析，分析如何合理定价，以及合理地投入广告费，才能收入最大。并应用于下例。某公司要出售一批涂料、根据以往经验，售价越高，售量就越低，提高销售量的一种办法就是做广告，以提高销售量(
14、提高的售量的倍数称为提高因子)下面是历年的统计记录：表一、涂料预期销售量与价格之间关系202225282932343841售量(千听)6.005.505.004.504.003.503.002.502.00单价(镑)问题分析首先售量是价格的减函数，在任何价格下，随着广告费的投入增加售量也在增加，当广告投入增加到一定程度后售量不会再增加，再随着广告费的投入增加，售量会下降。试对照实际情况，解释为什么？表二、售量提高因子与广告费之间关系1.801.952.001.951.851.701.401.00提高因子k76543210广告费(万镑)涂料成本每听2镑，问确定投入多少广告费及涂料如何定价，才能使
15、公司获利最大？4、广告投入4、广告投入假设x预期销售量，y销售单价；z广告费；c成本单价；k广告提高因子。 S售量。 售量与单价近似成线性关系 xa yb 提高因子与广告费近似成二次关系k=dz2+ez+f，其中d2)种商品情况3.7、冰山运输背景波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英磅。专家建议从9600km远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水。从经济的角度研究冰山运输的可能性。建模准备 1、日租金和最大运量1081075106最大运量(米3)8.06.24.0日租金(英镑)大中小船 型2、燃料消耗（英镑/千米）16.213.510.8319.816.513.2512.610
16、.58.41107106105冰山体积(米3)船速(千米/小时)0.450.15030.600.20050.300.1001400010000与南极距离(千米)船速(千米/小时)3、融化速率（米/天）建模目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较。模型假设航行过程中船速不变，总距离9600千米。冰山呈球形，球面各点融化速度相同。到达目的地后，每立方并可融化0.85立方水模型分析目的地水体积目的地冰体积初始冰山体积运输过程融化规律总费用燃料消耗 租金模型建立1、冰山的融化规律船速u(千米/小时) 与南极距离d (千米)融化速率r（米/天）0.450.150
17、30.600.20050.300.1001400010000du rd4000时r与d无关1、冰山的融化规律冰山初始半径为R0, 航行t天时半径为冰山初始体积t天时体积选定u,V0航行t天时冰山体积到达目的地时冰山体积2 、燃料消耗16.213.510.8319.816.513.2512.610.58.41107106105Vu q1燃料消耗q1(英镑/千米)q1对u线性，对log10V线性选定u，V0 , 航行第t天燃料消耗q(英镑/天)为总燃料消耗费用3、拖船租金费用8.06.24.0f(V0)1081075106V0冰山的初始体积V0,日租金f (V0)(英镑)拖船租金费用总燃料消耗费冰
18、山运输总费用4、运送每立方水的费用冰山到达目的地后得到水的体积冰山运输总费用S(u,V0)运送每立方水费用模型求解选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低。求u,V0使Y(u ,V0)最小枚举法：u=1, 3, 5, V0=5106, 107 , 108u=3(千米/小时), V0=108 (米3)， Y(u ,V0)最小最小值Y0.0037(英镑/米3)结果分析未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后的实际体积会显著小于V(u,V0,T)只有当计算出的Y(u ,V0)显著低于淡化海水的成本(0.1英镑/米3)时，才考虑其可行性。59 以上有不当之处，请大家给与批评指正，以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢谢大家！
