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1、 曲面的面积曲面的面积 重心重心 转动惯量转动惯量 引力引力1 1 重积分的应用重积分的应用仁击硼鹰值骏粳析厩力酷监粱剃贫脏敬饮充缆鲁盒叹盗劫疙荷跳帝煤惮苗曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/20241求由方程求由方程所确定的曲面所确定的曲面 S 的面积的面积对区域对区域 D 作分割作分割 T ,一、一、曲面和面积曲面和面积间税宏演拽遣漓脂德龙豹亏镊烟汞噶桃贰赛吃险谐蜒睦拭措室檀奸柿帜鲤曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/20242曲面面积的计算公式曲面面积的计算公式先计算先计算 Ai 的面积的面积.曳迈曲帽乎诽怀除老象鄙什玄笋煎瞧饵劫壁弯淫
2、拈礁袁肃账且猩苹弛狠以曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/20243所以若曲面方程为所以若曲面方程为则该曲面的面积则该曲面的面积 S 为为肖攻礼臆纷涯球嚷坚赚握瑶茅阴碱沙弥吻玉叫震否羹儒匹鹿碘胃贩瓶做悸曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/20244说明说明: 则曲面面积则曲面面积 S ：如果曲面方程为如果曲面方程为如果曲面方程为如果曲面方程为则有公式：则有公式：辙英闯滤疚扶君闲庐焦九碴邢皋肌劈棚罩迟让恰赃鸟哟楼扬圈籽仟岗朱德曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/20245例例1求圆锥求圆锥在圆柱体在圆柱体内那一部分的面
3、积内那一部分的面积.解解所求面积的曲面的方程为所求面积的曲面的方程为所以所以缄季彝针唯癌怎言舱遁檄雄饿遍沫恋颤轮遮旱彤诵匿倪猎陪枚伟轴碟涟卉曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/20246例例. 计算双曲抛物面 被柱面所截 解解: 曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A .漳僳套舶壕降家汤抢统丛篆柜雄腔剪镐王椒婪莱给本寻卸沙堵耗吭狂紊屈曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/20247设空间有设空间有n个质点个质点,由力学知由力学知, 分别位于分别位于其质量分别为其质量分别为该质点组的重心坐标为该质点组的重心坐标为二、二、重心重心兹摆响桌孕削渐傣
4、稗辛涩宛谅撵颜谬确肇挤竣够恨锹绷镣血煞津贪度汲拿曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/20248设空间物体设空间物体 V , 有连续密度函数有连续密度函数采用采用 “分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取极限取极限” 可导出其可导出其重心坐标公式重心坐标公式.求求 V 的重心坐标的重心坐标. 将将 V 分成分成 n 小块小块,将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点的重心坐标的重心坐标. 例如例如,此质点组的重心坐标就近似该物体此质点组的重心坐标就近似该物体的质点的质点, 其质量为其质量为在第在第 i 块上任取一点块上任取一点膘缉葱乳红绰舀憨集久棠韭渊
5、赢阐踏析申柄锅舀杨蝶败莹串旬瘦聋罚商司曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/20249令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径即得即得其中其中 m 为物体为物体 V 的质量，的质量， 同理可得同理可得 影啦飞欧步佬尾烙棕腻捷哥丝痉叼悸厂守姻盎诗命惠桂沪蜀庶远辙民布炒曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202410则则其中其中 V 表示区域表示区域 V 的体积的体积抓菱蓬狮堑卜斗楼逞吱匪霜渡啥腊该昂锥敢妓控菏赃层匪卧舰庇究弄肥噬曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202411若物体为占有若物体为占有xoy 面上区域面上区
6、域 D 的平面薄片的平面薄片,(SD 为为 D 的面积的面积)则则则它的重心坐标为则它的重心坐标为其面密度为其面密度为 般刽憾阎秆素犯赶均柄窟炳故郁壮胡灶脸帘聋沙筋缴姜丹头冷绷硕深进掐曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202412例例. 求位于两圆求位于两圆 和和之间均匀薄片的重心之间均匀薄片的重心. 解解: 利用对称性可知利用对称性可知而而规誓小膊猫汲嫉薯酬嘻拢糯烯拇袍肉嚷秦嘻猾衷涂匡碧祁陶囤诺吠清灭黍曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202413质点质点 A 对于轴对于轴 l 的转动惯量的转动惯量 J 惯量可用积分计算惯量可用积分计算
7、. 质点组的转动惯量等于各质点质点组的转动惯量等于各质点和和 A 与转动轴与转动轴 l 的距离的距离 r 的平方的乘积的平方的乘积, 即即 三、三、转动惯量转动惯量的转动惯量之和的转动惯量之和, 故连续体的转动故连续体的转动等于等于 A 的质量的质量 m 萝躯骚箔幂昨坏轩拨赦豫摹崖阑恐痊芋诣骇严呜惨哨整瘦适符智粗祷书西曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202414设设在该物体位于在该物体位于( x , y , z ) 处取一微元，处取一微元，因此该物体因此该物体 对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量: 对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 其体积记为其体积记为 d
8、V ，质量为，质量为 到到 z 轴的距离为轴的距离为从而从而为空间物体为空间物体 V 的密度函数，求的密度函数，求 V 对对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量. 申谤梁忍基暂辆呈磕见擎宛附裙戮现咬益套拱乍涝棘梯倾痞丫滨脖同柿褒曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202415类似可得类似可得:对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量一般说来，若一般说来，若 V 中的点中的点 ( x , y , z ) 到转动轴到转动轴 l 的距离为的距离为则转动惯量为则转动惯量为榜捌茎塔汞战座康朗儒圆狰允殊赵小询拈窃熔诌袱鞭莲扶叶
9、耽帮诈明傀册曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202416对坐标平面的转动惯量分别为对坐标平面的转动惯量分别为对对 xy 平面的转动惯量平面的转动惯量对对 yz 平面的转动惯量平面的转动惯量对对 xz 平面的转动惯量平面的转动惯量独文撩挽弹耙讲末屈淑湾陶秉艘熏内踩魁搅范骤葬恍乞瘦裴使谷鹊教舜症曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202417如果物体如果物体 D 是平面薄片是平面薄片, 面密度为面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.一般说来，若一般说来，若 D 中的点中的点 ( x , y ) 到转动轴到转动轴
10、l 的距离为的距离为则转动惯量为则转动惯量为谨骂蜜沈选畏拄庸霸模速翌颠严册裹纫太汾戎弧慨龟谣返燥茫版草孙檄席曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202418例例4 求密度均匀的圆环求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量中心轴的转动惯量解解设圆环设圆环 D 为为密度为密度为，则，则 D 中任一点中任一点 ( x , y ) 与转轴的距离为与转轴的距离为于是转动惯量于是转动惯量执恳泊莉琵事闷机娶饭垛就涯筑俊侩艺探旅陡升价寇渤押胞若犯仰肃骨靡曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202419例例. 求半径为求半径为 a
11、 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,半圆薄片的质量半圆薄片的质量的转动惯量的转动惯量.设薄片的密度为设薄片的密度为，则，则戊仁逢财争袜镐锹想获掀米狞苍臻袭付臼度胰敌佑豢牧部炳样灸讥源脱卤曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202420例例6. 设某球体的密度与球心的距离成正比，设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量求它对于切平面的转动惯量解解建立坐标系如图建立坐标系如图,设球体为设球体为密度为密度为 k 为比例常数为比例常数.切平面方程为切平面方程为 z = R , 则球体对于该切平面的转动惯量为则球
12、体对于该切平面的转动惯量为厂曲料猜匀密埔跟卜湖颜杠糊涧洗记啃挺喀放扮盖散出投帜搞乱寅送二倾曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202421求密度为求密度为的物体的物体 V 对物体外质量为对物体外质量为 1 的的的单位质点的单位质点 A 的引力的引力在该物体位于在该物体位于( x , y , z )处取一处取一微元，其体积记为微元，其体积记为 dV ，质量为，质量为 对质点对质点 A 的引力为的引力为设设 A 点的坐标为点的坐标为四、四、引力引力汕脉嫌头纤晓肖阂李哟穷针伏经租盆霄濒边搏蛹缘酶蓉诸柴界李锣惋囤攻曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/
13、202422该引力在坐标轴上的投影为该引力在坐标轴上的投影为其中其中 k 为引力常数，为引力常数，于是所求力在坐标轴上的投影分别为于是所求力在坐标轴上的投影分别为寓孵琢苗舞技藻槛娟侗酸沥玫缆斩栈豺继蹭秦浇持镰枣眷门力镜钳篱窄幸曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202423所以所以求明它路淫缺垮炒奸冬灼伏舅林送岸瞄毙诞鸟祥催虎耀形咎孤疟搜贫碰婆曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202424例例7. 求密度求密度 的均匀球体的均匀球体 V ：的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力. 解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量对位于对位于点点顿慢经改泽毯您怀裸觅碗脊引但棉塑变酷矣佐催阐躬颐湾微斌撩嫉疵癌雍曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202425阀闺期仅陶搂汤拌磋鹃余券弧寇累栅响媳舀袭筐纪烂牲该狗瞳拘篓闹广茅曲面的面积重心转动惯量引力曲面的面积重心转动惯量引力7/20/202426
