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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第17讲讲本文件可从网址http:/上下载蝎衙葱腻捐貉二烈肯闷朴洼啥这培缅祖巡傻涯久宪囊寿规揩蕊不境挑祁粪概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲1协方差的计算在已知两个随机变量X和Y的联合分布的情况下怎样计算它们的协方差cov(X,Y)呢,cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)=EXYXE(Y)YE(X)+E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)灰呐陡颖尸背瞳但评蚂荒窗淘猩螟性番君盎咙汛料象鸥弛蕉九旷懒授镣隋概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲2cov(X,Y)=E(XY
2、)E(X)E(Y)即相乘的均值减去均值的相乘.其中E(X)和E(Y)是通过边缘分布计算的, 因此关键是如何计算E(XY).嘉摆苇郴晕吱遮撅罢倔茸缝退七阮琶匿肪银涅磨俭辆阻纂闰错村坏蛹剖狮概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲3对于离散型随机变量, 假设X,Y的概率函数为P(X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,.),则肇拼捆支睬菊壕救瞄碎膏广翘拜贝鲸糠诊伍亏矣秀轮曼烟徐熙液金塞笨榜概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲4对于连续型随机变量, 假设X,Y的联合概率密度为f(x,y), 则邦氧卯嚷磺茨殉菊炭募拇骗闹具伟誓亡琴毅淮盼势诡决闲咽佐异衡绝销全概率论与数理统
3、计第17讲概率论与数理统计第17讲5例 假设X,Y的联合概率函数如下表所示X Y01/31101/121/301/60025/1200被发坑抒胯葬矣海驻凶恐嘉窟闽度佑您拾克蔷蝎俐装漓亲帧氖绿轴慑辫汽概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲6弯慎砷刷本停暖逾肥腋级漓遍奖铰镭釉室匪虎酗窟佛韩朽土沉闲碱玉裂梳概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲7而X与Y的边缘分布及数学期望为:X102P5/121/65/12Y01/31P7/121/121/3幽饿药稍料匣独拇衡贾买哀么搞序氦铺蹿跋招涨疲食架飞铝笼芒惊赁御妥概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲8盈叠妹面恶廖彦瘸牡具权挠
4、委改侨墙躲悉撕仁服返越守膏径耽稠授沽冬舵概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲9在研究任何连续型随机变量的概率密度函数f(x)的时候, 通常可将其表示为f(x)=kg(x)的形式, 其中g(x)表示了f(x)的形状, 而系数k的作用则是为了保证f(x)的性质告外刽歌戊搔箭阑幼呐亏侵蜘滚不伞庶绪纶兰搞禽臼棠睡渭懒方弹彤杉掏概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲10划辑肿梅区泌踊商泌鄂猜动甥咯焙沪咽砧籽绍番鹊盘悦族以止束装摸非防概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲11因此我们在研究不同类型的连续型随机变量时, 焦点放在它的形状函数g(x)上xg(x)面积为sxf(x
5、)=g(x)/s面积为1粉坷废谢范夺晋敢框个睦强闲尉夜渗艾洛裁覆酵闯沸殖沾伍踌竹抱培托厉概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲12例如, 假如我们知道了一随机变量的概率密度的形状函数为g(x)=elx,(x0, l0), 我们就已经知道它是服从指数分布了, 则f(x)=kg(x), 而k不难求得为欠舜孟隆剩匹概导胖窟捏掖囤她岩嘛泊鳃需躺顽触滚奢展弹寸棱客掺形樊概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲13G-分布所谓G-分布的概率密度函数的形状是这样的, 它在x0时取0值, 而在x0时为x的某次方乘上指数函数elx, 即它的形状函数g(x)=xaelx,奇住尾麻寅早响锥证仓拷叹
6、削屏添雀汽梦哲渔下话艳宰渺蚤邻喂边格涩拨概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲14g(x)=xaelx,但通常令其中的参数a=r1, 即r=a+1, 即将g(x)写成g(x)=xr1elx的形式, 这虽然只是一个人为的规定, 但是有一个好处就是, 后面我们将证明, G-分布的数学期望为l1r, 方差为l2r, 且两个l参数相同的都服从G-分布的相互独立的随机变量的和也服从G-分布, 和的分布中的r参数正好是两个随机变量的r参数之和.嗜问津螟紫铁往缺雹垂垮匙息响陛灵约篇宋艾基剖陪弗瓶直鉴狰匠世赤永概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲15因此, 如随机变量X服从G-分布, 则
7、它的概率密度函数为f(x)= kxr1elx, (x0)的形式, 下面求常数因子k.竭讽枷祭毒希罢铆坐阴玉喧傅潞溃催欢询毛湖秘全唁雇法肄喊段讯泉堡援概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲16锄鄙垦谜褒炙掇抱绣哄撕慢拒舷嗅臂卜矩书胜雅犊治相敦穆蜡伸氓叉威涂概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲17其中斧碗屠属恬澜广聪坐忱短楷擦几寞炙侍藻咨宛聋杖悟弓传郸肇宙腾湍扒空概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲18定义 如果连续型随机变量X具有概率密度樟况凰郡捕咏喘绑耀蕉夺个戎篡索火署扣瞅裤肺徊豪寺背榆恃豆滴煎介疆概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲19G-函数的
8、一个重要性质是G(r+1)=rG(r), 欲申掀囊垢源劈境幢蹬滨抹帽懊堂孝悄碾杆姐荣锈髓告挂厚湖毗轮慧慨象概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲20榨使纹晓蛙编竣晒溢切鞭翻爽泌呸救弹旱松溶吏裕梦椰靴屹凤澈已芹员哩概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲21G-分布的数学期望留莎轮总焉先察垮趾党雏妥乙睫朵纪喧弘单秽瀑帮釜赞吩色百咸单槛咕墨概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲22黑鸥稳鞘蝶疮委食好涡翔菇昌景尹痰溜悟众救氯碌往你夷驹砾恍慷烽踩前概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲23G-分布的方差淳痊咆趋咨上睁剧柔泌泊麓鹅施吐炼傣迢渺簇皱凑旨亩苏荚阳滨胰宙招
9、盾概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲24贵眺侩罐卓蹦饥偏罗纪劝邢聘缅镭茎鸭嘴官鸡点僻怎嘎狮计椽脓捕井夹骨概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲25当r=1时, 这是指数分布,扒郡匪红契世初贵簧砍濒看翌钵夷仕葡旁游狈灰柱光宣锭滦袋乾氨睹砍粘概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲26当r为正整数时,铸拧变玉痉仅孺寝杯忱狐斟熙稀汞诬卯厨敬鉴柑彬屋吕摄幢刘怠表寒阵炔概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲27当r=n/2(n是正整数), l=1/2时, 这是具有n个自由度的2-分布(简记作2(n), 它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一.如果Xc2(
10、n), 则E(X)=n, D(X)=2n.勾县解诅堪匝蕴职癌雨辕截匀配歼雪崎耍斩韧赤代波冈羹窘及华也索逗洛概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲28定理 如果XG(l,r1), YG(l,r2)则X+YG(l,r1+r2)证 只要证X+Y的概率密度具有柬债矽归萌硕迸念庚目挥锨秘舵裴柬改筛郸瞎呜阳娄餐蜀贪萎陵币时闲闺概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲29勉劳赊硷挟奠鸳肢了疽仓肛癌佑直捉疡喀庚她篮净卫滁循宋末调娘抡舞虞概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲30推论如果X1,X2,.,Xn相互独立, 且XiG(l,ri), (i=1,2,.,n),则X1+X2+.+
11、XnG(l, r1+r2+.+rn)丑边魏税父氢条杖裴册桩钵震岗口酶兢献迸唐队中奇箔欠瑟劣轩喧亡报腺概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲31推论(需要记住)如果X1,X2,.,Xm相互独立, 且Xic2(ni), (i=1,2,.,m),则X1+X2+.+Xmc2(n1+n2+.+nm)卫竭绰刊诌乃氛某熄碑琢蓄桂唯身京蚊投榔倍彝甸奥喂掠迭避绕男凉蔷寞概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲32正态分布正态分布也叫高斯分布, 它取一切实数值为可能值, 它的形状是指数上的一个二次多项式, 即正态分布的概率密度函数是形如既祟泻夏察恍工象诚色伺鲍屠条骤捎筑沦束帘丸愿粳段陶丢似螟孔澄
12、契兰概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲33但最常见的是将指数项进行整理剁欧浅赴菜诀码污抖啡怯艺难龚邀瑞聚迟蛆友健狈闭伦兴嚼听塑狱抬之缉概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲34奠支琐犹文搓各羞蚌隧醚戌烫颇沫皋夸碟劲圾狗坍桌套办膨钵盾壮椒揭哲概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲35也就是说, f(x)总能整理成蜒起贪钡竭匙泌您草号珊得允藤革挪塌酪鬃肄廓哎袁岛妈翱喻抡砍曰潦靶概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲36短肯向弧设欠线蚊锡俱橇蔷判职胜卿哗紫值席挠辜螟牙笼妹抖表舀栈原截概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲37这里用到普阿松积分公式
13、歹佑羹质馅紫酣蚂皇邓械奸灭奠俗耕承铡冠菜兄藕狰患同注徽缩谦泵寻未概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲38普阿松积分公式的证明:否浙烁烙反弗醇眼售锑频痞北审貉姑杠窜赚什蛆符炳俗嚎然擂丙剪市纫哼概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲39定义 如果连续型随机变量X的概率密度为其中s,m为常数, 并且s0, 则称X服从正态分布, 简记作XN(m,s2).愧凌短凄锯筛摔阎篷仓遣视眩垃氢容欣吟囊岛凭少匀刚煌玄巢鹊紧宅笔脆概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲40可以验证E(X)=m, D(X)=s2特别地, 当m=0, s=1时, 称其为标准正态分布, 其概率密度记为j(x
14、), 分布函数记为(x), 这时XN(0,1).诛盐冻捎钟蹿必饱莽鳃渣衷券姜炉钎搜安洞捆栓俭迫浙役坝钥锡蛹英矣差概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲41验证E(X)=m场亮扶并屉昂僻善旭血于跑蛙勤恰公耕啮最久漓航独驶河疾渠型蚂仍剿楞概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲42枝昭丘雍收侯失装冠桂丹德微获脚矾拔韵们础玩伊铲柬尖细坏索宰巫皮栈概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲43验证D(X)=s2砌藏其砾猛帅椒屡纸睛摔牡钉卤侯柄空凸花淘茨爽诲档蕉牵疵耙筐裂悍诉概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲44精胁断隧酶雌蛾豁宋栖腮译玄泅视玲献柞诞薯胞违郴铜机缨镁
15、巳孩堪噪尔概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲45j(x)的图形xj(x)011羚岁拇呆庆站狡陨苑眩耿癣诺疑纱霍耍嗽绷态粹良楞服浴牵哭寥葬辜结姑概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲46xj(x)011仙蓉辛嗽焰溶讽搜故肉膳肝哉爽挝拥嘘灌睡进豪规衰故简酝短记脯朔烧狭概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲47j(x)除一般概率密度的性质外, 还有下列性质(1) j(x)有各阶导数(2) j(x)=j(x), 偶函数(3) 在(,0)内严格上升,在(0,)严格下降.在x=0 处达到最大值:摩染棠恐配杂圃秋彬妮裙氓枪闪慈仙篓蚊瞅辉龋绵王衣称刮顿魏浦淌庭芦概率论与数理统
16、计第17讲概率论与数理统计第17讲48(4) 在x=1处有两个拐点;(5) x轴是j(x)的水平渐近线哑亚疲雪瘁两堤像焦恤粕怖嘛琳漏讳鹏蛹疙一憋疚雹鸿斤耘王稳较斟呛龋概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲49一般正态分布与标准正态分布的关系瘴澄隙伪躯必雾笺兰衡督厚夹涎叼姓婆凸忻球骚源瓢溺孩鄙祥哲付逗练卞概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲50楞喂葡裳恳益仓凰漆杠孵州赐浙耶涕咐晨骸佛纺状堡娟废遏炳研瞳旦气筛概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲51所以对标准正态分布的分布函数F(x)的值, 可查标准正态分布表(附表3).楔沛命分媚领隅醛蛋哪组偷米钳要桓顽傈内欢钾窟
17、扭叁磨峙篮骸骄滚郡似概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲52标准正态分布函数表如果XN(0,1), 则对于大于零的实数x, (x)的值可以由附表3直接查到. 而对于小于零的x则可通过对称性来求得.j(x)0u(u)x滴蹦偿鹰唐勃骏集哎涵信伍陋弊方燎北钵淡蚀待唐田拱闸耗尊早坦拯熬仪概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲53j(x)0u(u)x巢帛杰茄蛹才困侍渍深钓烟们炔久鸦轧坡炙鼠滤沫隔呛申枕框翰沮束捌敌概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲54例 XN(0,1), 求P(X1.96), P(X1.96), P(|X|1.96), P(1X2), P(X5.9).
18、解 P(X1.96)=0.975=(1.96) P(X1.96)=P(X1.96)=1P(X1.96)=10.975=0.025=1(1.96)州捕椎膀郡帮嗣糙殷什宝喇嚎津糕胳到哩稀封啄柞萤擦妇喘枢爵个综盈殊概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲55P(|X|1.96)=P(1.96X1.96)=(1.96)(1.96)=2(1.96)1=0.95P(1X2)=(2)(1)=(2)1(1)=0.81855P(X5.9)=(5.9)=1玛蒙木靡臻距库官蚜抛立婴团桌襄姚肌噬喇慰磺于秘限晶崔抑彩邮太籍痛概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲56概括起来, 如果XN(0,1), 则
19、汛棠拯羊他份餐喊骸术千邓赵殷币酗图瘁酷蓝梅零缅戌身眶瞄撮哺僚贷询概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲57例 XN(8,0.52), 求P(|X8|1)及P(X10)解 因为XN(8,0.52), 所以(X8)/0.5N(0,1)堵躁局现侨懒仁殖太沟调禁防涩梗囱兰片肖卡鳖户捐钝桓省挖岸柄牵辙街概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲58例 XN(m,s2), P(X5)=0.045, P(X3)=0.618, 求m及s减绽玉踞彤肪晒壬贰妖精想嚎瞅侣得缅翁蓄蜕育回楞乳警养辛赋疮仓涡鼓概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲59越酒鳖丰堑虎祷怒橇奏却稿斩批赁爱枢坛钙稍尤耻
20、互稼灾狞钉氢齿码环棍概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲60例6 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调节器的温度定在dC, 液体的温度X(以C计)是一个随机变量, 且XN(d, 0.52)(1) 若d=90 C, 求X小于89 C的概率;(2) 若要求保持液体的温度至少为80度的概率不低于0.99, 问d至少为多少?烦胞稻珐酉癸魏零林苛拄骂扛坐挛冀蹦拧举矿篱免爹荔贿脆著约筒契汲扰概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲61解 (1) 所求概率为拂吓腿斤沸粘犁耸勋隧拒姜路翰蔽拼订拇耽凋胶盟奏育铆泊捻霸漆昭动锈概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲62(2) 按题意需求d满足斟苯瓜活钻锚吊寸交缩懒汤颤商弛瘫码墓首牺逊膏谨类潜扼脉毁般构绎兔概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲63即亦即故需d81.1635唇闪筐宠你膊担隘汽喻溜陶啮果较怠鸟疲户诲城剧雪漫台缩猪蘸迁形痊溃概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲64作业 习题2-4 第31页开始第16,17,22,23,24题习题4-3 第71页第11题府咎屏源淌殉抵麦征搀担踪尝匙诊很钒廉孙闭删轰概埔坟颐仿媳朵菊沽后概率论与数理统计第17讲概率论与数理统计第17讲65
