《2022年导数知识点归纳及应用1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年导数知识点归纳及应用1(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、导数知识点归纳及应用一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式: 0;C(C为常数)1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 例 1:下列求导运算正确的是 ( ) A (x+211)1xx B(log2x) =2ln1x C(3x) =3xlog3e D (x2cosx) =-2xsinx 2导数的运算法则法则 1:(.)vuvu法则 2:.)(uvvuuv若 C为常数 , 则.)(CuCu法则 3:vu2vuvvu(v0) 。3. 复合函数的导数形如 y=fx()的函数称为
2、复合函数。复合函数求导步骤:分解 求导 回代。法则: y|X= y |U u|X或者 ( )()*( )fxfx. 练习: 求下列各函数的导数:(1);sin25xxxxy(2));3)(2)(1(xxxy(3);4cos212sin2xxy(4).1111xxy三、导数的几何意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页函数 y=f (x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点 p( x0,f (x0) )处的切线的斜率。也就是说,曲线 y=f (x)在点 p(x0,f (x0) )处的切线的斜率是f (x
3、0) 。相应地,切线方程为yy0=f/(x0) (xx0) 。例:曲线3( )2f xxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-,则0p点的坐标为()A(1,0)B(2,8)C(1,0)和( 1, 4)D(2,8)和( 1, 4)四、导数的应用1. 函数的单调性与导数(1)如果f)(x0,则)(xf在此区间上为增函数;如果f0)(x,则)(xf在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内恒有f0)(x,则)(xf为常数 。例: 函数13)(23xxxf是减函数的区间为( ) A),2(B)2,( C )0,( D (0,2)2极点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在
4、极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负; 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;例: 函数, 93)(23xaxxxf已知3)(xxf在时取得极值,则a= ( ) A 2 B3 C4 D5 3最值:在区间 a ,b 上连续的函数f)(x在 a ,b 上必有最大值与最小值。但在开区间(a,b)内连续函数f (x)不一定有最大值,例如3( ),( 1,1)f xxx。函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可
5、能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。例: 函数13)(3xxxf在闭区间 -3 ,0 上的最大值、最小值分别是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页(数学选修1-1 )第一章导数及其应用 基础训练组 一、选择题3函数3yxx=+的递增区间是()A),0( B) 1 ,( C),( D), 1(432( )32f xaxx, 若( 1)4f, 则a的值等于()A319 B316 C313 D3106函数344xxy在区间2,3上的最小值为()A72 B36 C12 D0二、填空题1若30( ),()3f xx
6、fx,则0x的值为 _;2曲线xxy43在点(1, 3)处的切线倾斜角为_;3函数sin xyx的导数为 _;4曲线xyln在点( ,1)M e处的切线的斜率是_,切线的方程为_;5函数5523xxxy的单调递增区间是_。三、解答题1求垂直于直线2610xy并且与曲线3235yxx相切的直线方程。3求函数543( )551f xxxx在区间4, 1上的最大值与最小值。4已知函数23bxaxy,当1x时,有极大值3;(1)求,a b的值; (2)求函数y的极小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页经典例题选讲例 1.
7、已知函数)(xf xy的图象如图所示(其中)(xf是函数)(xf的导函数),下面四个图象中)(xfy的图象大致是 ( ) 例2. 已 知 函 数daxbxxxf23)(的 图 象 过 点P( 0,2 ) , 且 在 点M)1(, 1(f处 的 切 线 方 程 为076yx. ()求函数)(xfy的解析式;()求函数)(xfy的单调区间 . 例 4.设函数32()fxxbxcx xR,已知( )( )( )g xfxfx是奇函数。()求b、c的值。()求( )g x的单调区间与极值。例 5.已知 f (x)=cbxaxx23在 x=1,x=32时,都取得极值。求a、b的值。例 7:已知函数22(
8、 )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR(1)当0a时,求曲线( )(1 ,(1)yf xf在点处的切线的斜率;(2)当23a时,求函数( )f x的单调区间与极值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页导数知识点归纳及应用教师一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式: 0;C(C为常数)1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 例 1:下列求导运算正确的是 ( ) A (x+211)
9、1xx B(log2x) =2ln1x C(3x) =3xlog3e D (x2cosx) =-2xsinx 解析 :A错, (x+211)1xx B正确, (log2x) =2ln1xC错, (3x)=3xln3 D错, (x2cosx) =2xcosx+ x2(-sinx) 2导数的运算法则法则 1:(.)vuvu法则 2:.)(uvvuuv若 C为常数 , 则.)(CuCu法则 3:vu2vuvvu(v0) 。3. 复合函数的导数形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解 求导 回代。法则: y|X= y |U u|X或者 ( )()*( )fxfx. 练习: 求下列各
10、函数的导数:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页(1);sin25xxxxy(2));3)(2)(1(xxxy(3);4cos212sin2xxy(4).1111xxy解: (1) ,sinsin23232521xxxxxxxxyy.cossin2323)sin()()(232252323xxxxxxxxxx(2)y=(x2+3x+2) (x+3) =x3+6x2+11x+6, y=3x2+12x+11. (3) y=,sin212cos2sinxxx.cos21)(sin21sin21xxxy(4)xxxxxxxy
11、12)1)(1(111111,.)1 (2)1()1(21222xxxxy四、导数的几何意义函数 y=f (x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点 p( x0,f (x0) )处的切线的斜率。也就是说,曲线 y=f (x)在点 p(x0,f (x0) )处的切线的斜率是f (x0) 。相应地,切线方程为yy0=f/(x0) (xx0) 。例:曲线3( )2f xxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-,则0p点的坐标为()A(1,0)B(2,8)C(1,0)和( 1, 4)D(2,8)和( 1, 4)四、导数的应用1. 函数的单调性与导数(1)如果f)(x0,则)(xf
12、在此区间上为增函数;如果f0)(x,则)(xf在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内恒有f0)(x,则)(xf为常数 。例: 函数13)(23xxxf是减函数的区间为( ) A),2(B)2,( C )0,( D (0,2)解析 :由xxxf63)(2/0,得 0x0,当11x时,)(/xf0,故)(xf的极小值、极大值分别为1)1(3)1(ff、,而1)0(17)3(ff、故函数13)(3xxxf在-3 ,0 上的最大值、最小值分别是3、 -17 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页(数学选修1-1 )第一章导
13、数及其应用 基础训练组 一、选择题3函数3yxx=+的递增区间是()A),0( B) 1 ,( C),( D), 1(432( )32f xaxx, 若( 1)4f, 则a的值等于()A319 B316 C313 D3106函数344xxy在区间2,3上的最小值为()A72 B36 C12 D0二、填空题1若30( ),()3f xxfx,则0x的值为 _;2曲线xxy43在点(1, 3)处的切线倾斜角为_;3函数sin xyx的导数为 _;4曲线xyln在点( ,1)M e处的切线的斜率是_,切线的方程为_;5函数5523xxxy的单调递增区间是_。三、解答题1求垂直于直线2610xy并且与
14、曲线3235yxx相切的直线方程。3求函数543( )551f xxxx在区间4, 1上的最大值与最小值。4已知函数23bxaxy,当1x时,有极大值3;(1)求,a b的值; (2)求函数y的极小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页(数学选修1-1)第一章导数及其应用 基础训练 A组 一、选择题3C 2310yx=+对于任何实数都恒成立4D 210( )36 ,( 1)364,3fxaxx faa6D 3344,0,440,1,1,0;1,0yxyxxxyxy令当时当时得1|0,xyy极小值而端点的函数值23|
15、27,|72xxyy,得min0y二、填空题112000()33,1fxxx23421334,|1,tan1,4xyxky32cossinxxxx22(sin)sin( )cossinx xxxxxxyxx41,0xeye1111,|,1(),x eykyyxeyxxeee55(,),(1,)3253250,13yxxxx令得或三、解答题1解:设切点为( , )P a b,函数3235yxx的导数为236yxx切线的斜率2|363x akyaa,得1a,代入到3235yxx得3b,即( 1, 3)P,33(1),360yxxy。3解:) 1)(3(515205)(2234xxxxxxxf, 当
16、0)(xf得0x,或1x,或3x,0 1,4,1 1,4,3 1,4列表 : 又(0)0,( 1)0ff;右端点处(4)2625f;函数155345xxxy在区间 1,4上的最大值为2625,最小值为0。4解:(1)232,yaxbx当1x时,11|320,|3xxyabyab,x1( 1,0)0(0, 4)( )fx0+ 0+ ( )f x01精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页即320,6,93ababab(2)32269,1818yxxyxx,令0y,得0,1xx或0|0xyy极小值经典例题选讲例 1.已知函数
17、)(xf xy的图象如图所示(其中)(xf是函数)(xf的导函数),下面四个图象中)(xfy的图象大致是 ( ) 解析 :由函数)(xf xy的图象可知:当1x时,)(xf x0,此时)(xf增当01x时,)(xf x0,)(xf0,此时)(xf减当10x时,)(xfx0,)(xf0,)(xf0,此时)(xf增故选 C 例2. 已 知 函 数daxbxxxf23)(的 图 象 过 点P( 0,2 ) , 且 在 点M)1(, 1(f处 的 切 线 方 程 为076yx. ()求函数)(xfy的解析式;()求函数)(xfy的单调区间 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
18、总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页解: ()由)(xf的图象经过P ( 0,2) ,知 d=2,所以, 2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在)1(, 1(fM处的切线方程是076yx,知.6) 1(, 1)1(,07) 1(6fff即.3, 0, 32. 121,623cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是. 233)(23xxxxf().012, 0363.363)(222xxxxxxxf即令解得.21,2121xx当;0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故)21 ,(233)(23在xxxxf内是增函数,在)21 ,21 (
19、内是减函数,在),21 (内是增函数 . 例 4.设函数32()fxxbxcx xR,已知( )( )( )g xfxfx是奇函数。()求b、c的值。()求( )g x的单调区间与极值。解: ()32fxxbxcx,232fxxbxc。从而322( )( )( )(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2 )xbxcb xc是一个奇函数,所以(0)0g得0c,由奇函数定义得3b;()由()知3( )6g xxx,从而2( )36g xx,由此可知,(,2)和( 2,)是函数( )g x是单调递增区间;(2,2)是函数( )g x是单调递减区间;( )g x在2x时,取得极大值,极
20、大值为4 2,( )g x在2x时,取得极小值,极小值为4 2。例 5.已知 f (x)=cbxaxx23在 x=1,x=32时,都取得极值。(1)求 a、b 的值。解: (1)由题意f/(x)=baxx232的两个根分别为1 和32由韦达定理,得:132=32a,)32(13b则21a,2b例 7:已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页(3)当0a时,求曲线( )(1 ,(1)yf xf在点处的切线的斜率;(4)当23a时,求函数( )f x的单调
21、区间与极值。解: (I ).3)1 ( )2()( )(022efexxxfexxfaxx,故,时,当.3)1(, 1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线(II ).42)2()( 22xeaaxaxxf.2232.220)( aaaaxaxxf知,由,或,解得令以下分两种情况讨论。(1)a若32,则a22a. 当x变化时,)()( xfxf,的变化情况如下表:xa2,a222aa,2a,2a+ 0 0 + 极大值极小值.)22()2()2()(内是减函数,内是增函数,在,在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf,且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf,且处取得极小值在函数(2)a若32,则a22a,当x变化时,)()( xfxf,的变化情况如下表:x2a,2aaa22,a2,a2+ 0 0 + 极大值极小值内是减函数。,内是增函数,在,在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf,且处取得极大值在函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页