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1、歐亞書局歐亞書局歐亞書局商业与经济学的应用Stillwatersrundeep.流静水深,人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望歐亞書局歐亞書局歐亞書局4.5 商業與經濟學的應用學習目標求解商業與經濟學的最佳化問題。求解需求函數中需求的價格彈性。辨認基本的商業術語與公式。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業與經濟學的最佳化本章節主要將探討最佳化的問題，所以 4.4 節中的五個步驟為解題的策略。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 1求最大收入某公司認為某產品的總收入 (美元) 可表
2、示為R x3 450x2 52,500x其中 x 為銷售量。試問可得最大收入的產量為何？P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 1求最大收入 （解）1.收入函數的草圖如圖 4.37 所示。P.4-35 圖4.37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 1求最大收入 （解）2. 主要方程式為收入函數，即R x3 450x2 52,500x 3. 因為 R 為單變數函數，所以不需次要方程式。4. 主要方程式的可行定義域為0 x 546 可行定義域此範圍是由收入函數的 x 截距而得，如圖 4.37。P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐
3、亞書局歐亞書局歐亞書局5. 為了使收入最大，先求得臨界數。在可行定義域中的臨界數為 x 350，由函數的圖形可知在產量為 350 時有最大收入。範例 1求最大收入 （解）P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站 1求使收入函數R x3 150x2 9375x最大化的產量，其中總收入(美元)，x 是單位生產 (或售出) 成本，試問最大收入為何？P.4-35第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業與經濟學的最佳化為了研究產量對成本的影響，經濟學家將平均平均成本函數成本函數 (average cost function) 定義為其中 C f(x)
4、 為總成本函數，x 為產量。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 2求最小平均成本某公司估計生產某產品 x 單位的成本 ( 美元) 可表示為 C 800 0.04x 0.0002x2。求使得每單位的平均成本為最小的產量。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局1. 令 C 為總成本，x 為產量， 為單位平均成本。2. 主要方程式為 主要方程式範例 2求最小平均成本 （解）P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局3. 將 C 代入主要方程式，可得4. 函數的可行定義域為 x 0 可行定義域因為公司的產量不
5、可能為負值。範例 2求最小平均成本 （解）P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局5. 再求臨界數如下所示。範例 2求最小平均成本 （解）P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 2求最小平均成本 （解）由題意可知 x 值必須為正數，另外 的圖形如圖 4.38 所示。即產量在 x 2000 時有最小的單位平均成本。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 2求最小平均成本 （解）P.4-36 圖4.38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示為了驗證在範例 2 中 x2000 有
6、最小的平均成本，可代入幾個 x 值來求 C 值。譬如，當 x 400 時的單位平均成本為 $2.12，但在 x2000 時，每單位平均成本為 $0.84。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站 2求使得每單位的平均成本為最小的產量，其中成本函數為C 400 0.05x 0.0025x2。其中 C 為生產 x 單位的成本 (美元)。P.4-36第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 3求最大收入某公司的產品若以 $10 的單價出售，每個月可賣出 2000 個；若單價每降低 $0.25，則每個月可再多賣 250 個。求使得每月收入為最大的單
7、價。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 3求最大收入（解）1. 令 x 為每月的銷售量，p 為單價，R 為每月的收入。2. 為了使每月的收入最大，所以主要方程式為R xp 主要方程式主要方程式P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局3. 當單價 p $10 時的銷售量為 x 2000，當單價 p $9.75 時的銷售量 x 2250。再由點斜式來建立需求方程式。將上式代入收入方程式可得範例 3求最大收入（解）P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局4. 收入方程式的可行定義域為 0 x 12,000
8、可行定義域 令利潤函數為零所解出的x截距即為此區間範圍。5. 欲使收入最大化，先求臨界數。範例 3求最大收入（解）P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 3求最大收入（解）由圖 4.39 可知，銷售量為 6000 時的收入最大，對應的單價為p = 12 0.001x需求函數需求函數 = 12 0.001(6000)將將 x 6000 代入代入 = $6單價單價P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 3求最大收入（解）P.4-37 圖4.39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局檢查站 3若範例 3 的單價每降
9、低 $0.25，則每個月可再多賣 200 個產品，求使得每月收入為最大的單價。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業與經濟學的最佳化在範例 3 中的收入為 x 的函數，也可寫成 p 的函數；也就是R 1000(12p p2)。求函數的臨界數之後可知 p 6 時的收入最大。P.4-37第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局某公司的行銷部門認為某產品的需求量 x 可表示為，其中 p 為單價(美元)， x 為數量。生產 x 單位的成本為 C 0.5x 500。試問可得最大利潤的價格為何？範例 4求最大利潤P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用
10、歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 4求最大利潤 （解）1. 令 R 為收入，P 為利潤，p 為單價，x 為數量，C 為生產 x 單位產品的總成本。2. 為了使利潤為最大，考慮主要方程式P R C 主要方程式主要方程式P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 4求最大利潤 （解）3. 以 R xp 改寫主要方程式為4. 函數的可行定義域為 127 x 7872 (當 x 小於 127 或大於 7872，則利潤為負)。P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局5. 欲使利潤為最大，先求臨界數。由圖 4.40 的利潤函數可知，在 x 2500 時
11、有最大利潤，對應的單價為範例 4求最大利潤 （解）P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 4求最大利潤 （解）P.4-38 圖4.40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局代數技巧代數技巧範例 4 的計算過程可參考本章代數複習範例 2(b)。P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局由下列的需求和成本函數，求使得利潤為最大的價格。其中 p 為單價 (美元)，x 為數量， C 為成本 (美元)。檢查站 4P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局為了求範例 4 中的最大利潤，先對方程式 P R
12、 C 微分再令其為零，即當邊際收入等於邊際成本時，可得最大利潤，如圖 4.41。商業與經濟學的最佳化P.4-38第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業與經濟學的最佳化P.4-38 圖4.41第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局需求的價格彈性經濟學家有一種方法來測量消費者對某產品價格變化的反應，即需求的價格彈性需求的價格彈性 (price elasticity of demand)。譬如，蔬菜價格跌落可能引起其需求量增加，這種需求稱為有彈性有彈性 (elastic)。另一方面，像牛奶和用水等項目對其價格變化較無反應，這種需求稱為無彈性無彈性 (inela
13、stic)。P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局正式而言，需求的彈性是需求量 x 的百分比變化量與價格 p 的百分比變化量之比值。需求的價格彈性公式可利用導數的定義以近似法推導得之，即需求的價格彈性P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局再利用此近似可得需求的價格彈性P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局學習提示在需求的價格彈性的討論中，我們假設需求量增加，則價格減少。因此，價格函數 p f (x) 皆遞減且 dp/dx為負值。P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局需求的價格
14、彈性P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局需求的價格彈性需求的價格彈性與總收入函數的關聯性，見圖 4.42 和下列的敘述：1. 若需求是有彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，可使得總收入增加。2. 若需求是無彈性，則價格跌落所帶來的銷售 量增加，不會使總收入增加。P.4-39第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局需求的價格彈性P.4-39 圖4.42第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局某產品的需求函數為 ，0 x 144，其中 p 為單位價格，x 為需求量(如圖 4.43)。a. 判斷何時需求為有彈性、無彈性和單位彈性。b.
15、 以 (a) 的答案來描述收入函數的性質。範例 5比較彈性與收入P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 5比較彈性與收入P.4-40 圖4.43第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局a. 需求的價格彈性為範例 5比較彈性與收入 （解）P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 5比較彈性與收入 （解）在區間 0, 144 內，因需求為單位彈性或| | 1，所以的唯一解為 x 64，因此當 x 64 時可得需求的單位彈性。P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局對區間 (0, 64) 內
16、的 x 值來說，這說明當 0 x 64，需求有彈性。對區間 (64, 144) 內的 x 值來說，這說明當 64 x 144，需求無彈性。範例 5比較彈性與收入 （解）P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 5比較彈性與收入 （解）b. 由 (a) 的結果可知，在開區間 (0, 64) 收入函數 R 是遞增的，在開區間 (64, 144) 收入函數是遞減的，以及當 x 64 時收入函數有極大值，如圖 4.44 所示。P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局範例 5比較彈性與收入 （解）P.4-40 圖4.44第四章導數的應用第四章導
17、數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局需求函數為 ，0 x 324，其中 p 為單位價格，x 為數量。試判斷何時需求為有彈性、無彈性和單位彈性。檢查站 5P.4-40第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業術語與公式本章節對幾個基本商業術語與公式整理如下。至於需求、收入、成本與利潤函數的圖型則如圖4.45 所示。P.4-41第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局商業術語與公式P.4-41 圖4.45第四章導數的應用第四章導數的應用歐亞書局歐亞書局歐亞書局總結（4.5節）P.4-41 圖4.45第四章導數的應用第四章導數的應用1.描述如何在現實生活的實例應用最佳化的解法，來求得產品的最大利潤(範例 1 )。2.寫出平均成本函數的定義，參考範例 2 。3.寫出需求的價格彈性的定義，參考範例 5 。
