《2022年二次函数与拱桥最值四边形问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年二次函数与拱桥最值四边形问题（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思二次函数与拱桥类问题1如图(1)，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、 大小都相同 正常水位时，大孔水面宽度AB=20 米，顶点 M 距水面 6米(即 MO=6 米)，小孔顶点 N 距水面 4.5 米(即 NC=4.5 米)当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图(2)的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF思路点拨： 观察图象可知抛物线的对称轴为y 轴，顶点为 (0，6)，故设关系式为又因为AB=20 ，所以 OB=10 ，故 B(10 ，0)在抛物线上，代入关系式可求得a=-0.06 第 (2)问中当水位上涨到刚好淹没小孔时，OD=4.5 ，即 E、F
2、 两点纵坐标为 4.5，代入关系式求出E 或 F 点横坐标即可解： 设抛物线所对应的函数关系式为依题意得B(10， 0)在抛物线上，所以，解得，即当时，解得 x=5 DF=5 米， EF=10 米故水面宽度为10 米2.如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽 20 米，水位上升3 米就达到警戒线 CD ，这时水面宽度为10 米. (1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式；(2) 若洪水到来时 . 水位以每小时0.2 米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？3. 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3) 所示，现测得，当水面宽 AB1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4
3、m。这时，离开水面1.5m 处，涵洞宽ED是多少 ?是否会超过1m? 4. 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物, 大门底部宽AB=4m,顶部 C离地面的高度为4.4m, 现有载满货物的汽车欲通过大门, 货物顶部距地面2.7m, 装货宽度为2.4m. 这辆汽车能否顺利通过大门?若能 , 请你通过计算加以说明; 若不能 , 请简要说明理由. 4如图 2632，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，水流精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思在各个方向沿形状相同
4、的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为 1m处达到距水面最大高度225m（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为35m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到01m ）6. 如图，一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 米时，达到最大高度3.5 米，然后准确落入篮圈. 已知篮圈中心到地面的距离为3.05 米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)该运动员身高1.8 米，在这次跳投中，球在
5、头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？7. 某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210m ，入水处距池边的距离为4m ，同时运动员在距水面高度5m以前， 必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533m ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由思路点拨：由图所示直角坐标系，可知抛物
6、线经过O、A、 B 三点， O、B 两点的坐标由分析可知 O(0，0)、B(2，-10)，且 A 的纵坐标为，故可设抛物线，求得 a、 b、c 的值会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于5 米，换句话说就是完成动作时所对应的抛物线上的点的纵坐标绝对值是否小于5 米解： (1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的关系式为由题意知， O、B 两点的坐标依次为(0，0)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解得或 抛物
7、线对称轴在y 轴右侧，又抛物线开口向下，a0，b0，. 抛物线关系式为. (2)当运动员在空中距池边的水平距离为，即时，. 此时运动员距水面的高为. 因此，此次跳水会出现失误8.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货运卡车高4.5m，宽 2.4m，它能通过该隧道吗？（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m 的隔离带， 则该辆货运卡车还能通过隧道吗？9. 如图，某隧道横截
8、面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为 6 米，底部宽度为12 米. 现以O点为原点，OM所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；A D C B O E y 第 24 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2) 求出这条抛物线的函数解析式；( 3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？二次函数最值问题1、在矩形 ABCD
9、中，AB=6cm，BC=12cm，点 P从点 A 出发，沿 AB 边向点 B以 1cms 的速度移动，同时点Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动，如果 P、Q 两点同时出发，分别到达B、C 两点后就停止移动（1）运动第 t 秒时， PBQ 的面积 y(cm2 )是多少？（2）此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm2 )，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3）t 为何值时 s最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（SttStttttStttty2、 小明的家
10、门前有一块空地， 空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏， 为了浇花和赏花的方便， 准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1 米宽的门（木质）花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x米，面积为 S平方米则长为：xx4342432(米) 则：)434(xxSxx3 4424289)417(42x104340xO xy M 3 第 24 题图A B C D P x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，
11、共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2176x6417， S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当2176x内， S随x的增大而减小，当6x时，604289)4176(42maxS(平方米 ) 答：可设计成宽 6米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大3、 某人定制了一批地砖，每块地砖 （如图 (1)所示） 是边长为 0.4米的正方形 ABCD，点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上，CFE、ABE和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成 CFE、ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30 元、20 元、10元，若将此种地砖按图 (2)所示的
12、形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH(1)判断图 (2)中四边形 EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形 EFGH 是正方形图(2)可以看作是由四块图 (1)所示地砖绕 C 点按顺(逆)时针方向旋转 90 后得到的，故 CE=CF =CGCEF 是等腰直角三角形因此四边形 EFGH 是正方形(2)设 CE=x, 则 BE=0.4x，每块地砖的费用为y 元那么： y=x 30+ 0.4 (0.4-x) 20+0.16-x - 0.4 (0.4-x) 10 )24.02.0(102xx3.2)1.0(102x)4
13、 .00(x当 x=0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1答：当 CE=CF=0.1米时，总费用最省4如图所示， 张强的爸爸想利用一边长为a m 的旧墙及 24 m 长的旧木料， 建造羊舍 3 间，它们的平面图是一排大小相等的长方形(1)如果设羊舍宽为x m，则羊舍总面积 S(m2)与 x(m)有怎样的函数关系式 ? (2)请你帮助张强的爸爸算一下，如果羊舍总面积为32 m2，应如何安排羊舍的长和宽？旧墙的长度是否会对羊舍的长度有影响？有什么样的影响？(3)为了让羊儿住得好， 32 m2是否是最大面积？请利用有关的知识加以说明思路点拨： AB=x ，则 BC=24-4x，
14、由矩形面积公式便可求出S 与 x 的函数关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思系式；当面积为 32 m2时，函数问题就变成了方程问题，即已知函数值求x；利用二次函数的性质可判断32 m2是否为最大面积，同时要注意x 的取值范围解：(1)AB=x，则 BC=24-4x ，所以 S=(24-4x)x，即由题意可知解得或. 所以当时，；当 a24 时，. (2)由，得，解得，所以当 AB=4 m 时，BC=8 m；当 AB=2 m 时，BC=16 m旧墙长度 a对羊舍影响如下：当 a8
15、 时，4x6，所以不能建造面积为32 m2的羊舍；当 8a16 时，2x4，所以可以建造长 8 m，宽为 4 m 的羊舍；当 a16 时，x2，所以可以建造长16 m、宽 2 m 的羊舍(3)因为，抛物线开口向下，所以当 x=3 时，S取最大值，即最大面积为36 m2，此时 AB=3 m，BC=12 m，显然 3632，但应考虑旧墙 a的范围，则当 a12 时，可建造长为 12 m，宽为 3 m 的羊舍，此时面积最大；当 0a12 时，可取 BC=a，可获得羊舍的最大面积5、 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图）， 其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P
16、，使矩形 PNDM 有最大面积解：设矩形 PNDM 的边 DN=x，NP=y，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（2x4 ）易知 CN=4-x，EM=4-y过点 B 作 BHPN 于点 H 则有 AFBBHP PHBHBFAF，即3412yx，521xy，xxxyS5212)42(x，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当 x5时，函数值 y 随x的增大而增大，对于42x来说，当 x=4 时，12454212最大S6、某商品现在的售价为每
17、件60 元，每星期可卖出 300件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x元，利润为 y 元，1y为涨价时的利润，2y为降价时的利润则：)10300)(4060(1xxy)6 0 010(102xx6 2 5 0)5(102x当5x，即：定价为 65 元时，6250maxy（元）)20300)(4060(2xxy)15)(20(20xx6 1 2 5)5.2(202x当5 .2x，即：定价为 57.5元时，6125maxy（元）综合两种情况，应定价为65
18、元时，利润最大7、某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：若日销售量 y 是销售价x的一次函数求出日销售量 y (件)与销售价x(元)的函数关系式；要使每日的销售利润最大， 每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：设一次函数表达式为bkxy则1525,220kbkb解得401bk，?即一次函数表达式为40xy 设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元yxw)1 0()40)(10(xx400502xx225)25(2x当25x，225maxy（元）答：产品的销售价应定为25 元时，每日获得最大销售利润为225
19、 元8、市“ 健益” 超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以30?元/千克销售，那么每天可售出 400 千克 由销售经验知，每天销售量 y (千克)?与销售单价x(元) x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(30x）存在如下图所示的一次函数关系式试求出 y 与x的函数关系式；设“ 健益” 超市销售该绿色食品每天获得利润P 元， 当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不
20、超过4480元，?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元， 请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(?直接写出答案 )解：设 y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000kbkkbb解之得，即一次函数表达式为100020xy)5030(xyxP)20()100020)(20(xx2 0 0 0 01 4 0 0202xx020aP有最大值当35)20(21400x时，4500maxP（元）（或通过配方，4500)35(202xP，也可求得最大值）答：当销售单价为35 元/千克时，每天可获得最大利润4500 元44804500)35(2041802x16)35(12x3
21、1x?34 或 36x399、(河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x(吨)时，所需的全部费用 y(万元） 与x满足关系式9051012xxy， 投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系（注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35 万元试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计
22、划第一年生产并销售该产品 18 吨，根据（ 1），（ 2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）在乙地区生产并销售时，年利润由，解得或经检验，不合题意，舍去，（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）； 将代入，得（万元），应选乙地10、(南宁市 )随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市
23、场调查与预测， 种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-所示 (注：利润与投资量的单位：万元) （1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解：（1）设=,由图 12-所示，函数=的图像过（ 1，2），所以 2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y=，由图 12-所示，函数2y=的图像过（ 2，2），所以，故利润2y关于投资量的函数关系式是2221xy；精选学习资料 - - - - - - - - -
24、 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2） 设这位专业户投入种植花卉万元 （） ， 则投入种植树木 (x8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得=21yy+=021a当时，的最小值是 14；他至少获得 14 万元的利润因为，所以在对称轴2x的右侧，z随x的增大而增大所以，当8x时，z的最大值为 32二次函数与四边形例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、 B两点（A点在 B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（ 1）求 A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（ 2）P
25、 是线段 AC 上的一个动点，过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE长度的最大值；（ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由例 1.解：（ 1）令 y=0 ，解得11x或23xA（ -1，0）B（3，0）；将 C 点的横坐标x=2 代入223yxx得 y=-3， C（2， -3）直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （ 2）设 P点的横坐标为x（-1x 2）则 P、E 的坐标分别为：P（ x，-x-1 ），E（2( ,23)x xxP 点在
26、E 点的上方， PE=22(1)(23)2xxxxx当12x时， PE的最大值 =94（ 3）存在 4 个这样的点F，分别是1234(1,0),( 3,0),(47 0),(47,0)FFFF，例 1. （资阳市） 25. 如图 10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a 0) 与 x 轴交于 A、B两点 ( 点 A 在 x 轴的正半轴上 ) ，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边DE在线段 AB上，顶点F、G分别在线段BC 、AC上，抛物线 P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3 -2 1 2 y -52-4 -520 A 精选学习资料 - - - - - - - - -
27、名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(1) 求 A、B、C三点的坐标；(2) 若点 D的坐标为 (m，0) ，矩形 DEFG 的面积为S，求 S与 m的函数关系，并指出 m的取值范围；(3) 当矩形 DEFG的面积 S取最大值时， 连接 DF并延长至点M ， 使 FM=k DF，若点 M不在抛物线P上，求 k 的取值范围 . 例 1. 解： （1）解法一：设)0(2acbxaxy，任取 x,y 的三组值代入，求出解析式2142yxx=+-，令 y=0，求出124,2xx= -=；令 x=0，得 y=-4 ， A、B、C 三点的
28、坐标分别是A(2 ，0) ，B(-4 ，0) ，C(0，-4) . 解法二：由抛物线P 过点 (1 ，-52) ，(-3 ，52-) 可知，抛物线 P 的对称轴方程为x=-1 ，又抛物线 P过(2 ，0) 、(-2 ，-4) ，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C的坐标分别为 A(2 ，0) ，B(-4 ，0) ，C(0，-4) . （ 2）由题意，ADDGAOOC=，而 AO=2 ，OC=4 ，AD=2-m ，故 DG=4-2m ，又BEEFBOOC=， EF=DG ，得 BE=4-2m， DE=3m，DEFGs=DG DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0 m2) . 注：也可通
29、过解RtBOC及 RtAOC ，或依据 BOC是等腰直角三角形建立关系求解. (3) SDEFG=12m-6m2 (0 m 2) ， m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0) ，G(1，-2) ，F(-2 ， -2) ，E(-2 ，0) ，设直线 DF的解析式为y=kx+b ，易知， k=23，b=-23，2233yx=-，又可求得抛物线P 的解析式为：2142yxx=+-，令2233x-=2142xx+-，可求出3611x. 设射线 DF与抛物线P相交于点N，则 N的横坐标为1613-，过 N作 x 轴的垂线交x 轴于 H，有FNHEDFDE=16
30、1233-=5619-+，点 M不在抛物线P 上，即点M不与 N重合时，此时k 的取值范围是k5619-+且 k0. 例 2.（20XX年沈阳市第26 题）、已知抛物线y ax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，线段OB、OC 的长（ OBOC）是方程x210x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 2（ 1）求 A、B、C 三点的坐标；（ 2）求此抛物线的表达式；（ 3）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点A、点 B 不重合），过点E 作 EF AC 交BC 于点 F，连接 CE
31、，设 AE 的长为 m， CEF 的面积为S，求 S与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；图 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（ 4）在（ 3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由解：（ 1）解方程x210x160 得 x12，x281 分点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，且OBOC点 B 的坐标为（ 2，0），点 C 的坐标为（ 0，8）
32、又抛物线yax2bx c 的对称轴是直线x 2 由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（ 6，0）4 分（ 2）点 C（0，8）在抛物线yax2bxc 的图象上 c8，将 A（ 6，0）、 B（2，0）代入表达式，得解得所求抛物线的表达式为yx2 x87 分（ 3）依题意， AEm，则 BE8m， OA6，OC8， AC10 EFAC BEF BAC即 EFFG8m SSBCESBFE（8m） 8（8m）（ 8 m）（8m）（ 88m）（8m）mm24m 10分自变量 m 的取值范围是0 m811 分（ 4）存在理由：Sm24m（m4）28且0，当 m4 时， S 有最大值， S最大值 812 分 m4，点 E 的坐标为（2，0） BCE 为等腰三角形14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
