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1、1.2.1 1.2.1 排列排列(1)(1)【高中数学选修高中数学选修2-3】 1.2 排列与组合排列与组合2014.4.14分类加法计数原理：分类加法计数原理： 完成一件事，有完成一件事，有n类不同方案，在第类不同方案，在第1类方案类方案中有中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类方案中有类方案中有m2种不同种不同的方法的方法 在第在第n类方案中有类方案中有mn种不同的方法种不同的方法.那那么完成这件事共有么完成这件事共有 种种不同的方法不同的方法.分步乘法计数原理：分步乘法计数原理： 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法种不同的
2、方法,做第做第2步有步有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法.上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙甲丙甲丙甲乙甲乙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学参加名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？下午的活动，有多少种不同的选法？ 探探 究：究：分析：题目转化分析：题目转化顺序排列问题顺序排列问题， 把
3、上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于于是问题就可以叙述为：是问题就可以叙述为： 从从3个不同个不同的元素的元素a,b,c中任取中任取2个，个，然后按照一定的然后按照一定的顺序顺序排成一列，一共有排成一列，一共有多少种多少种不同不同的排列方法？的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb 探探 究：究：问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项名参加一项活动，其中活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题问题2：从从1，
4、2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个没有重复数字的三位数，共可得到多少个不同一个没有重复数字的三位数，共可得到多少个不同的三位数？的三位数？ 叙述为叙述为: 从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后按个，然后按 照一定的照一定的顺序排成一列顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：有此可写出所有
5、的三位数：123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。问题问题1 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天的一项活动名参加某天的一项活动,其中其中1名参加上午的活动名参加上午的活动,1名参加名参加下午的活动下午的活动,有哪些不同的排有哪些不同的排法法? 实质是：实质是：从从3个不同的元素个不同的元素中中, ,任取任取2 2个个, ,按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列, ,有哪些不同的排有哪些不同的排法？法？问题问题2
6、 从从1，2，3，4这这4个数个数中，每次取出中，每次取出3个排成一个排成一个三位数，共可得到多少个三位数，共可得到多少个不同的三位数？个不同的三位数？实质是：实质是：从从4个不同的元素个不同的元素中中, 任取任取3个个,按照一定的顺按照一定的顺序排成一列序排成一列,写出所有不同写出所有不同的排法的排法.定义：一般地定义：一般地,从从n个不同的元素中个不同的元素中,任取任取m(mn)个元个元 素素,按照按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同元素个不同元素 中取出中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列. 基本概念基本概念1、排列：、排列： 从从n个个不同不同元素中元素中
7、取出取出m (m n)个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素个不同元素中取出中取出m个元素的一个排列。个元素的一个排列。说明：说明：1 1、元素不能重复。、元素不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。问题是否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完元素完全相同全相同，而且元素的，而且元素的排列顺序也完全相同排列顺序也完全相同。4 4、m mn n时的排列叫时的排列叫选排列选排列，m mn n时的排列
8、叫时的排列叫全排列全排列。5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用最好采用“树形图树形图”。（有序性）（有序性）（互异性）（互异性）特点：先取、再排特点：先取、再排练习练习1 下列问题是排列问题吗？下列问题是排列问题吗？（1）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，四个数字中，任选两个做加法，其其不同不同结果有多少种？结果有多少种？（2）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，四个数字中，任选两个做除法，其其不同不同结果有多少种？结果有多少种？（3）从）从1到到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，十个自然数中任取两
9、个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（从中归纳这几类问题的区别）（从中归纳这几类问题的区别）是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列练习练习3.写出从写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中任取中任取2个元素的个元素的所有排列所有排列 解决办法是先画解决办法是先画“树形图树形图”
10、，再由此写出所有的排列，再由此写出所有的排列，共共20个个 若把这题改为：写出从若把这题改为：写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中中任取任取3个元素的所有排列，结果如何呢？个元素的所有排列，结果如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦啰嗦”练习练习2.在在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果ABACADBABCBDCACBCDDADBDC 研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而研究一个排列问题，往往只需知
11、道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接所有的排列而直接“得得”出所有出所有排列的个数排列的个数呢？接下呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：来我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式排列数及其公式 2、排列数：、排列数： 从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联有什么区别和联
12、系？系？排列数，而不表示具体的排列。排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；所有排列的个数，是一个数；“排列数排列数”是指从是指从 个不同元素中，任取个不同元素中，任取个元素的个元素的所以符号所以符号只表示只表示“一个排列一个排列”是指：从是指：从 个不同元素中，任取个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素个元素问题中是求从个不同元素中取出个元素的问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得出已经算得出问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算得出排
13、列数，记为，已经算得出探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？呢呢？呢呢？第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种(n-1)种种(n-2)种种(n-m+1)种种第第2位位第第1位位nn-1探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2第第m位位n-m+1(1)(1)排列数公式（排列数公式（1 1）：）：当当m mn n时，时，正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，
14、叫做n n的阶乘的阶乘，用，用 表示。表示。n n个不同元素的个不同元素的全排列全排列公式：公式：(2)(2)排列数公式（排列数公式（2 2）：）：说明：说明：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当为了使当m mn n时上面的公式也成立，规定：时上面的公式也成立，规定：2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。件。阶乘公式阶乘公式n2345678n! 2624120720504040320例例1. 计算计算（1 ）（2）（3 ）解：解： （1）（2） （3） 有
15、关排列数的计算与证明有关排列数的计算与证明例例2证明：证明：证明：右边证明：右边所以，原等式成立所以，原等式成立.(1)(1)排列数公式（排列数公式（1 1）：）：当当m mn n时，时，正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘的阶乘，用，用 表示。表示。n n个不同元素的个不同元素的全排列全排列公式：公式：(2)(2)排列数公式（排列数公式（2 2）：）：说明：说明：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当为了使当m mn n时上面的公式也成立，规定：时上面的公式也成立，规定：2 2、对于、
16、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。件。阶乘公式阶乘公式巩固练习：巩固练习：由由n=18，n-m+1=8，得，得m=11【小结小结】：【排列】从n个不同元素中选出m(mn)个元素,并按一定的顺序排成一列.【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同) 2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)【排列数】所有排列总数例例1 1、计算：、计算：（1 1）（2 2）（3 3）例例2 2、解方程：、解方程：例例3 3、求证：、求证：例例4 4若，则 ， 33607201680x=13例例1 1 计算：计算：6！=654321=720练练 习习作作 业业
17、课本P202.P27.A组3.课外作业：P204,5,6.练习4 应用公式解以下各题：练习5 求证下列各式： 你能用学过的方法，举一实际的例子说你能用学过的方法，举一实际的例子说明（明（1 1）、（）、（2 2）吗？）吗？练习6：求解下列各式的值或解方程。求解下列各式的值或解方程。规定规定0！1 例例2. 求证求证:证明证明:含有排列数的方程与不等式的解法含有排列数的方程与不等式的解法例例5. 解方程解方程:例例6. 解不等式解不等式:点评点评:含有排列数的方程或不等式含有排列数的方程或不等式,应根据有关公式应根据有关公式转化为一般方程转化为一般方程,再求解再求解.但应注意但应注意:其中的字母都其中的字母都是满足一定限制条件的自然数是满足一定限制条件的自然数.例例7：求证：求证：1!22!+33!+nn!=(n+1)!- 1分析：分析：nn!=(n+1)!-n!证明：证明：nn!=(n+1)!-n!左边左边=小结小结:1.排列的定义排列的定义;(不同元素不同元素)2.排列数公式排列数公式;3.几种阶乘变形几种阶乘变形.
