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1、函数、极限、无穷小、连续性函数、极限、无穷小、连续性专题一:求函数表达式专题一:求函数表达式1,1.(90)设函数f (x) 0, x22.(92)设函数f (x) 2x x2x 1x 1则ff (x)= 1x2 x则f (x)=2x 0xx 0x 0x 0x23.(92)设f (x 1) ln2且f (x) lnx则 (x)dx x2ln x1 cx 22 x 4 (97)设gxx215.(01)设fx0x 0x2,fxx 0x2 x2则g( f (x)=x 02 xx 0x 0x 0,x 1则fffx= 1x 1专题二:求数列极限专题二:求数列极限1.(03)设an,bn,cn均为非负数列
2、,且liman 0,limbn1,limcn ,则必有:nnn Aanbn对任意 n 成立 Bbn cn对任意 n 成立C 极限limancn不存在D D 极限limbncn不存在nn2.(98)设数列xn与yn满足lim xn yn 0则下列断言正确的是:nA 若xn发散,则yn必发散 B 若xn无界,则yn必有界C 若xn有界,则yn必为无穷 D 若1为无穷小,则yn必为无穷小xn3.(99)对任意给定的0,1,总存在正整数 N,当 nN 时,恒有xna 2,是数列xn收敛于a的充分必要条件。114.(93)当x 0,变量2sin是:xxA 无穷小 B 无穷大C 有界的,但是不是无穷小D
3、D 无界的,但不是无穷大2sinsinsin2nn5.(98)求limnn111nn2n 6.(96)设x110,xn16 xn,(n 1,2),试证数列xn极限存在,并求之。答案:327.(94)计算limtanne4n4n128.(95)lim22nn n1n n2n1=22n nn 1cos2121cos 1cos9.(02)limnnnn1 10 (04)limlnn1nn2nn2 2=21n22n1=21lnxdxnnn11.(99)设fx是区间0,)上单调递减且非负的连续函数, anfkf (x)dx (n=1,k112) ,试证:an极限存在12.(02)设0 x13,xn1xn
4、3 xn(n=1,2) 证明xn存在极限并求之。答案:专题三:求函数的极限专题三:求函数的极限1.(91)limx0321ex 1(考点e 10xex1xx )x x21x1e1的极限:2.(92)当x 1时,函数x1A 2 B 0 C D D不存在但不为3.(93)lim xxx2100 x= -50 .= 1 .4.(97)lim4x2 x1 x1x sinx2x(有理化或同除以x2 x(x0))5. (06) limx13 x 1 x2=x2 x261x2esin x=16.(00)lim4x0x1exexsin x17.(92)lim=12x0 1 1 x(直接洛必达或等价无穷小替换后
5、再洛必达n1 x 18.(94)limcot x(x01x(x 0) )n111)=sin xx61 23sin x x cosx=39.(97)limx01cosxln1 x210.(98)limx011 x 1 x 2=4x211 111.(99)lim2=3x0xxtan x12.(89)lim xcot2x=x01213.(95)limx011cosx=x(1cosx)23114.(96)limxsinln1sinln1=2xxx15.(04)limx012cos xx1() 1) =x33616.(91)limx0xsin x1=2xxe 161 1 x217.(92)limx=0x
6、0e cosx18.(93)limxln x=0x019.(99)limx011tan x 1sin x=2xln(1 x) x220.(00)lim21.若lim1arctan x x=x0ln(12x3)6sin6x xf (x)6 f (x)lim=0,则= 36 .x0x0x3x222.(02)设y y(x)是二阶线性常微分方程y pyqy e3x满足初始条件y(0) y(0) 0的特解,ln(1 x2)则当x 0时,函数极限lim 2x0y(x)型不定式极限专题型不定式极限专题1.(89)lim2sin xcosxx01x答案:e213 xx2)2.(92)lim(x6 x32答案:
7、e3.(90)lim(xxax)xa答案:e2a4.(91)lim(cosx)xx0答案:e221cos)xxx5.(93)lim(sinx答案:e26.(95)lim(13x)x02sin x答案:e617.(03)lim(cos x)ln(1x )x02答案:e确定极限中的参数确定极限中的参数x2axb) 0,其中a,b是常数,求a,b1.(90)已知lim(xx112答案 a=1,b=-1ln(1 x)(axbx2) 2,求a,b2.(94)设lim2x0x5答案:b=,a=123.设limx0atan xb(1cosx)cln(12x)d(1ex)222 2,其中a c 0,则必有()
8、A b=4d B b= -4d C a=4c D D a= -4cxax) 9,求常数a答案:a ln34.(90)已知lim(xxax2ax) 8,求常数a= ln2 .5 (96)已知lim(xxa无穷小的比较与阶的确定无穷小的比较与阶的确定1.(92)当x 0时,x-sinx 是x2的A,低阶无穷小B B,高阶无穷小C,等价无穷小 D,同阶但非等价无穷小2.(04)把x 0时的无穷小,=cost dt,tantdt,sint3dt排列起来,使排在0x2x2x00后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是A,.B,B,. C,. D,.确定无穷小比较中的参数确定无穷小比较中的参数3.(
9、91)已知当x 0时,(1x ) 1与cos x 1是等价无穷小,则常数=答案:4.(96)设当x 0时,ex(ax2bx1)是比x2高阶的无穷小,求a.b答案:a=5.(97)设x 0时,与,etan xex与xn是同阶无穷小,则 n 为 36.(01)设当x 0时,(1cosx)ln(1 x2)是比xsin xn高阶的无穷小,而xsin xn是比ex1高阶的无穷小,则正整数 n= 27.(03)若x 0时,(1x ) 1与xsin x等价无穷小,则=- 48.(05)若x 0时,(x) kx2与(x) 1 xarcsinx cosx等价无穷小,则 k=341242123321,b=129.
10、 (02) 设函数f (x)在 x=0 某领域内有一阶连续导数, 且f (0) 0, f (0) 0, 若af (h)bf (2h) f (0)在h 0时比 h 高阶的无穷小,试确定a,b值答案:a=2,b= - 1专题四:函数的连续性与间断点专题四:函数的连续性与间断点(1 1)初等函数的连续性与间断点)初等函数的连续性与间断点1、 (95)设f (x)和(x)在(,)上有定义,f(x)为连续函数,且 f(x)0,(x)有间断点,则()2(x) A、( f (x)必有间断点 B、必有间断点(x)C、f(x)必有间断点 D D、f (x)必有间断点xtan(x)42、 (98)求函数f (x)
11、 (x1)在区间(0,2)内的间断点,并判断其类型。375,4444第二类间断点答案:可去间断点;3、 (00)设函数f (x) f (x) 0x,内连续,且,xlim在则常数 a、b 满足: ()bxa e A、a0,b0,b0C、a 0,b 0D D、a 0,b 0 sint 4、已知limtxsin xxsintsinx f (x),求 f(x)的间断点,并指明其类型。答案: x=0 可去间断点;x k(k 1,2)第二类间断点5、设f (x) e1x1x,则()1A、x=0,x=1 是 f(x)的第一类间断点 B、x=0,x=1 是 f(x)的第一类间断点C、x=0 是 f(x)的第一
12、类间断点,x=1 是 f(x)的第二类间断点D D、x=0 是 f(x)的第二类间断点,x=1 是 f(x)的第一类间断点(2 2) 、分段函数的连续性(间断点)、分段函数的连续性(间断点)abx2, x 01、 (89)设f (x) sinbx在 x=0 处连续,则 a、b 满足的关系()答案:a=b,x 0x f (x),x 0f2、(90.3)设F(x) x,其中 f(x)在 x=0 处可导(0) 0, f (0) 0,则 x=0 是 F(x)f (0),x 0的()A、连续点;B B、第一类间断点;C、第二类间断点; D、连续点或间断点不能确定x21,x 13、 (93.3)设f (x
13、) x1,则在点 x=1 处,函数 f(x) ( )2,x 1A、不连续; B、连续,但不可导;C、可导,但导数不连续; D、可导,且导数连续12ax(sin2xe1),x 04、 (94)设f (x) x,x 0a2,在,上连续,则 a=( ) 答案: (-2)(cosx)x,x 05、 (94)已知f (x) 在 x=0 处连续,则 a=( )a,x 01答案:a e21etanx6、 (02)设 f (x) arcsinx2,x 0在 x=0 处连续,则 a=( )ae2x,x 0答案:-27、 (04)设f (x) lim(n1)xnnx21,则 f(x)的间断点为 x=( )答案:x=0ln(1ax3)x 08、 (03,10 分)设f (x) xarcsin x6x 0eax x2ax1xx 0xsin41) 、a 为何值时,f(x)在 x=0 处连续2) 、a 为何值时,x=0 是 f(x)的可去间断点答案:a=1 时,f(x)在 x=0 处连续 a=-2 时,x=0 是 f(x)的可去间断点