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1、函数、极限、无穷小、连续性函数、极限、无穷小、连续性专题一：求函数表达式专题一：求函数表达式1,1.（90）设函数f (x) 0, x22.（92）设函数f (x) 2x x2x 1x 1则ff (x)= 1x2 x则f (x)=2x 0xx 0x 0x 0x23.（92）设f (x 1) ln2且f (x) lnx则 (x)dx x2ln x1 cx 22 x 4 （97）设gxx215.（01）设fx0x 0x2，fxx 0x2 x2则g( f (x)=x 02 xx 0x 0x 0，x 1则fffx= 1x 1专题二：求数列极限专题二：求数列极限1.（03）设an，bn，cn均为非负数列
2、，且liman 0,limbn1,limcn ，则必有：nnn Aanbn对任意 n 成立 Bbn cn对任意 n 成立C 极限limancn不存在D D 极限limbncn不存在nn2.（98）设数列xn与yn满足lim xn yn 0则下列断言正确的是：nA 若xn发散，则yn必发散 B 若xn无界，则yn必有界C 若xn有界，则yn必为无穷 D 若1为无穷小，则yn必为无穷小xn3.（99）对任意给定的0,1，总存在正整数 N，当 nN 时，恒有xna 2，是数列xn收敛于a的充分必要条件。114.（93）当x 0，变量2sin是：xxA 无穷小 B 无穷大C 有界的，但是不是无穷小D
3、D 无界的，但不是无穷大2sinsinsin2nn5.（98）求limnn111nn2n 6.（96）设x110,xn16 xn,(n 1,2)，试证数列xn极限存在，并求之。答案：327.（94）计算limtanne4n4n128.（95）lim22nn n1n n2n1=22n nn 1cos2121cos 1cos9.（02）limnnnn1 10 （04）limlnn1nn2nn2 2=21n22n1=21lnxdxnnn11.（99）设fx是区间0,)上单调递减且非负的连续函数， anfkf (x)dx （n=1，k112） ，试证：an极限存在12.（02）设0 x13，xn1xn
4、3 xn（n=1，2） 证明xn存在极限并求之。答案：专题三：求函数的极限专题三：求函数的极限1.（91）limx0321ex 1（考点e 10xex1xx ）x x21x1e1的极限：2.（92）当x 1时，函数x1A 2 B 0 C D D不存在但不为3.（93）lim xxx2100 x= -50 .= 1 .4.（97）lim4x2 x1 x1x sinx2x(有理化或同除以x2 x（x0）)5. (06) limx13 x 1 x2=x2 x261x2esin x=16.（00）lim4x0x1exexsin x17.（92）lim=12x0 1 1 x（直接洛必达或等价无穷小替换后
5、再洛必达n1 x 18.（94）limcot x(x01x（x 0） ）n111)=sin xx61 23sin x x cosx=39.（97）limx01cosxln1 x210.（98）limx011 x 1 x 2=4x211 111.（99）lim2=3x0xxtan x12.（89）lim xcot2x=x01213.（95）limx011cosx=x(1cosx)23114.（96）limxsinln1sinln1=2xxx15.（04）limx012cos xx1() 1) =x33616.（91）limx0xsin x1=2xxe 161 1 x217.（92）limx=0x
6、0e cosx18.（93）limxln x=0x019.（99）limx011tan x 1sin x=2xln(1 x) x220.（00）lim21.若lim1arctan x x=x0ln(12x3)6sin6x xf (x)6 f (x)lim=0，则= 36 .x0x0x3x222.(02)设y y(x)是二阶线性常微分方程y pyqy e3x满足初始条件y(0) y(0) 0的特解，ln(1 x2)则当x 0时，函数极限lim 2x0y(x)型不定式极限专题型不定式极限专题1.（89）lim2sin xcosxx01x答案：e213 xx2)2.（92）lim(x6 x32答案：
7、e3.（90）lim(xxax)xa答案：e2a4.（91）lim(cosx)xx0答案：e221cos)xxx5.（93）lim(sinx答案：e26.（95）lim(13x)x02sin x答案：e617.（03）lim(cos x)ln(1x )x02答案：e确定极限中的参数确定极限中的参数x2axb) 0，其中a，b是常数，求a，b1.（90）已知lim(xx112答案 a=1，b=-1ln(1 x)(axbx2) 2，求a，b2.（94）设lim2x0x5答案：b=，a=123.设limx0atan xb(1cosx)cln(12x)d(1ex)222 2，其中a c 0，则必有（）
8、A b=4d B b= -4d C a=4c D D a= -4cxax) 9，求常数a答案：a ln34.（90）已知lim(xxax2ax) 8，求常数a= ln2 .5 （96）已知lim(xxa无穷小的比较与阶的确定无穷小的比较与阶的确定1.（92）当x 0时，x-sinx 是x2的A,低阶无穷小B B，高阶无穷小C,等价无穷小 D，同阶但非等价无穷小2.（04）把x 0时的无穷小，=cost dt，tantdt，sint3dt排列起来，使排在0x2x2x00后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A,.B,B,. C,. D，.确定无穷小比较中的参数确定无穷小比较中的参数3.（
9、91）已知当x 0时，(1x ) 1与cos x 1是等价无穷小，则常数=答案：4.（96）设当x 0时，ex(ax2bx1)是比x2高阶的无穷小，求a.b答案：a=5.(97)设x 0时，与，etan xex与xn是同阶无穷小，则 n 为 36.（01）设当x 0时，(1cosx)ln(1 x2)是比xsin xn高阶的无穷小，而xsin xn是比ex1高阶的无穷小，则正整数 n= 27.（03）若x 0时，(1x ) 1与xsin x等价无穷小，则=- 48.（05）若x 0时，(x) kx2与(x) 1 xarcsinx cosx等价无穷小，则 k=341242123321,b=129.
10、 （02） 设函数f (x)在 x=0 某领域内有一阶连续导数， 且f (0) 0, f (0) 0， 若af (h)bf (2h) f (0)在h 0时比 h 高阶的无穷小，试确定a,b值答案：a=2,b= - 1专题四：函数的连续性与间断点专题四：函数的连续性与间断点（1 1）初等函数的连续性与间断点）初等函数的连续性与间断点1、 （95）设f (x)和(x)在(,)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0,(x)有间断点，则（）2(x) A、( f (x)必有间断点 B、必有间断点(x)C、f(x)必有间断点 D D、f (x)必有间断点xtan(x)42、 （98）求函数f (x)
11、 (x1)在区间(0,2)内的间断点，并判断其类型。375,4444第二类间断点答案：可去间断点;3、 （00）设函数f (x) f (x) 0x,内连续，且，xlim在则常数 a、b 满足： （）bxa e A、a0,b0,b0C、a 0,b 0D D、a 0,b 0 sint 4、已知limtxsin xxsintsinx f (x),求 f(x)的间断点，并指明其类型。答案： x=0 可去间断点;x k(k 1,2)第二类间断点5、设f (x) e1x1x,则（）1A、x=0,x=1 是 f(x)的第一类间断点 B、x=0,x=1 是 f(x)的第一类间断点C、x=0 是 f(x)的第一
12、类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D D、x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点（2 2） 、分段函数的连续性（间断点）、分段函数的连续性（间断点）abx2, x 01、 （89）设f (x) sinbx在 x=0 处连续，则 a、b 满足的关系（）答案：a=b,x 0x f (x),x 0f2、(90.3)设F(x) x，其中 f(x)在 x=0 处可导(0) 0, f (0) 0，则 x=0 是 F(x)f (0),x 0的（）A、连续点；B B、第一类间断点；C、第二类间断点； D、连续点或间断点不能确定x21,x 13、 （93.3）设f (x
13、) x1，则在点 x=1 处，函数 f(x) ( )2,x 1A、不连续； B、连续，但不可导；C、可导，但导数不连续； D、可导，且导数连续12ax(sin2xe1),x 04、 （94）设f (x) x,x 0a2，在,上连续，则 a=( ) 答案： （-2）(cosx)x,x 05、 （94）已知f (x) 在 x=0 处连续，则 a=( )a,x 01答案：a e21etanx6、 （02）设 f (x) arcsinx2,x 0在 x=0 处连续，则 a=( )ae2x,x 0答案：-27、 （04）设f (x) lim(n1)xnnx21，则 f(x)的间断点为 x=( )答案：x=0ln(1ax3)x 08、 （03，10 分）设f (x) xarcsin x6x 0eax x2ax1xx 0xsin41） 、a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续2） 、a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点答案：a=1 时，f(x)在 x=0 处连续 a=-2 时，x=0 是 f(x)的可去间断点
