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1、-.专题专题 4 4 矢量图解运动问题矢量图解运动问题文/晨教你一手教你一手一、矢量加、减运算的图示矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法矢量加减依据平行四边形定那么，也可简化为三角形多边形法其图解方法如图4-1，假设矢量 A、B、如图 4-1(a)，当求 R=A+B，即作矢量的加法时，可将A、B 两矢量依次首有向线段箭头尾有向线段未端相接后，由A 的尾画到 B 的首的有向线段即为R如图 4-1(b)；当求 R=A-B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B 两矢量的有向线段未端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B 的有向线段箭头画到A 矢量箭头的有向线段即为R如
2、图4-1(c)运用这种方法可以进展多个矢量的连续相加或相减我们可归纳如下：图 4-1图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数尾与最后一个“加数头的有向线段即为各矢量之和图解方法求矢量差：末端共点地分别作相减二矢量，连接两箭头、方向指向 “被减数的有向线段即为该二矢量之差二、运动的合成与分解当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者那么称作物体实际运动的分运动这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法运动的合成与分解遵循如下原理：独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分
3、运动，都按其自身规律进展，不会因有其他分运动的存在而发生改变等时性原理合运动是同一物体在同一时间同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进展合成才有意义矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进展合成与分解时应按矢量法那么即平行四边形定那么作上述物理量的运算将一个复杂运动分解为几个分运动，通常有两种方法：引入中介参照系例如船过河-可修编.-.的运动，是以静止的河岸为参考的一个复杂运动， 我们可以取一个动参考物运动的河水为中介，那么，船的运动可分解为船相对水的运动与水相对岸的运动假设设质点A 对静止参考系 C 的速度绝对速度为vAC，动参考系 B 对 C
4、的速度牵连速度为 vBC，而 A 对动参考系 B 的速度相对速度为vAB，那么有 vAC=vAB+vBC，vAB=vACvBC同样地，我们可以按这种方法进展位移或加速度的合成与分解，例如， aAC=aAB+aBC，aAB=aACaBC注意矢量运算式中下标的规律性依据实际效果分解运动例如一架飞机以速度v 与水平成 角斜向上飞行，实际效果是在上升的同时水平向前移动了，我们可将飞机的运动分解为竖直方向与水平方向的两个分运动，假设这两个分运动的速度依次为v1和 v2，那么有 vv1v2处理相对运动等复杂运动时，涉及速度、位移或加速度等矢量的加减运算，假设用矢量图助解常会收到奇效例 1假定某日刮正北风，
5、风速为u，一运发动在风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运发动向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？分析与解设风相对于人的速度 即运发动感到的风速 为 V， 根据题给条件， 有 u=V+v 三个速度矢量中，u 大小、方向均确定，v 大小一定，V 与 v 两矢量互相垂直所谓正右侧，故可断定三个矢量所构成的满足题意要求的关系三角形应为直角三角形.如图 4-2，取一点 O，先作矢量 u，以其矢端为圆心，表示v 大小的线段长为半径作一圆，自O 点向圆引切线 OA，那么矢量三角形 即为符合题
6、意要求的 u、V、v 关系由图显见，当运发动朝南偏西 arccos(v/u)方向以速率 v 奔跑时会感觉风从自己右侧吹来， 并且在 vu 时才可能有这种感觉假设 vu，绝对风速、风相对人的速度及人奔跑速度关系如图4-3，在 中运用正弦定理有(/)(/)， 可知当 (/2)时， (/)为最大，即在运发动向西偏南(/)方向奔跑时感觉风与自己跑的方向所成夹角最大图 4-2例 2图 4-3一只木筏离开河岸，初速度为v，方向垂直于岸， 划行路线如图 4-4 虚线所示，经过时间 T，木筏划到路线上A 处，河水速度恒定为u，且木筏在水中划行方向不变用作图法找到 2T、3T时刻此木筏在航线上确实切位置图 4-
7、4-可修编.-.分析与解设木筏相对于水的速度为V，那么离岸时，Vv-u，其矢量关系如图 4-5(a)所示，该图同时给出了此后木筏复合运动的速度情况：木筏相对于水的速度V 方向不变、大小是变化的；木筏的绝对速度v 大小、方向均有变化故而我们看到木筏的运动轨迹为一曲线现如图 4-5 中(b)所示，连接 OA 的有向线段是时间 T 木筏的绝对位移 s木，而 s木s木对水s水，其中s水沿 x 正方向，s木对水平行于 V 方向现作满足上式关系的位移矢量三角形，在x轴上得到点，有向线段OB 即为 s水由于水速u 恒定，那么各T 时间 s水恒定，故可在x 轴上得s水，s水，过、点作平行于 V 的直线交木筏轨
8、迹于、各点，即得 2T、3T时刻此木筏确实切位置用这种矢量关系图解速度增量问题有其独到之处质点做变速运动时，假设初速度为v0，末速度为 vt，那么速度增量 v=vtv0，这是一个矢量相减运算，其图解关系如图4-1(c)，利图 4-5例 3某一恒力作用在以恒定速度v 运动的物体上，经过时间t，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了3t 时间后，物体的速度 v3t之大小图 4-6分析与解由于物体受恒力作用，故在一样时间，速度增量一样即v=vtv=v2tvt=v3tv2t现作满足题给条件的矢量图如图4-6 所示，图中有向线段 ABBCCDv，vt，vt=(v/)，v2t，v2t
9、=(v/)，为待求量 v3t设恒力方向与 v 方向成 角，由图给几何关系，在 、 、中运用余弦定理，得(/) ，(/) ，3t -可修编.222222222-.由此方程组可解得物体在恒力作用3t 时间后的速度大小为3t(/4)例 4从 h 高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角 为多大时物体落地的水平位移最大分析与解物体做抛体运动时，只受重力作用在落下h 高度的时间 t，速度增量 v 恒为竖直向下，大小为 gt，落地时速度 v 的大小为，v0、vt与与 v 构成如图 4-7 所示矢量三角形关系图中 角、 角分别是初速度、落地速度与水平方向的夹角注意到在矢量三角形的面积(/)0 式中
10、，v0t 即为抛体飞行的水平位移 x，那么有(/)这样，我们只须考虑何时矢量三角形有最大面积即可由于(/)00t，而 v0、vt大小确定，那么当90，即 (/)时，S有最大值：(/)(/)0t，亦即物体飞行的水平位移将到达最大，其值为m(0/)图 4-7例 5网球以速度 v0落到一重球拍上后弹性地射回为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度v运动？如果速度 v0和球拍面的法线的夹角是，速度v和此法线的夹角 是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的分析与解此题求解的关键是作满足题给条件的矢量关系图，而矢量图的完成又有赖于准确地把握各矢量间的关系，题中给出了三个重要的关于矢量间关系的
11、隐含条件：第一，重球拍的“重告诉我们，可以认为拍的速度v在碰球前后保持不变；第二，网球是弹性地射回，那么告诉我们在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；第三，由于球和拍都是作平动的，故球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量现取球拍面之法线为x 轴，使y 轴沿拍面，O 为网球入射点，如图4-8 所示，从O 点沿与 x 轴成 角方向作有向线段v0，作射线OPOA，从 A 点作 x 轴平行线交 OP 于，取AB 中点 C，那么有向线段B 即是球离拍时的速度 vt，有向线段C 那么是球拍速度 v，而有向线段 C、CB 那么是-可修编.-.射入时球对拍速度 v0v和弹回时球对球拍速度 vt
12、v，前面已经分析到， 它们是等值、反向且沿球拍法向的根据所作的矢量图，在直角三角形 OAB 中，斜边上的中线(/)，(/) 故P(0/)， 而球拍速度与球拍法线方向夹角为 (/)图 4-8小试身手1.甲、乙两船在静水中航行速度分别为v甲和 v乙，两船从同一渡口向河对岸划去甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好一样，那么甲、乙两船渡河所用时间之比t甲t乙_2.骑自行车的人以 20kmh 的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40kmh 的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速3.从离地面同一高度h、相距l 的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直上
13、抛，另一个石块以速度 v2向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离4.如图 4-9 所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D，船速为 v0，一艘速率为 vvv0的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船图 4-91 证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A 之前出发， 这点在港口后面的(/)D处2如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？5.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为130， 另一次安装成倾斜角度为 215，问汽车两次速度之比v1v2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？冰雹相对
14、地面是竖直下落的6.敞开的旋转木马离转动轴距离为r，以角速度 转动，人站在木马上下雨了，雨滴以速度 v0竖直下落试问人应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？7.如图 4-10 所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾的照片俯视两列车沿直轨道分别以速度 v150kmh 和 v270kmh 行驶，行驶方向如下图求风速图 4-10-可修编.-.8.磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带绕好后带卷的末半径r末为初半径初的倍绕带的时间为t1要在一样的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？9.在听磁带录音机的录音时觉察： 带轴上带卷的半径经过时间t120min 减小一半问此后
15、半径又减小一半需要多少时间t2？10.快艇系在湖面很大的湖的岸边湖岸线可以认为是直线突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度 v02.5km/h 沿与湖岸成 15角的方向飘去同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速度 v14km/h 行走或在水中以速度v22km/h 游去，此人能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？11.如图 4-11 所示，在仰角 /的雪坡上举行跳台滑雪比赛运发动从坡上方A 点开场下滑， 到起跳点 O 时借助设备和技巧， 保持在该点的速率而以与水平成 角的方向起跳，最后落在坡上点，坡上O、B 两点距离 L 为此项运动的记录A 点高于 O 点 h50m，忽略各种阻力、摩擦，求运
16、发动最远可跳多少米，此时起跳角为多大？图 4-1112.一条在湖上以恒定速度行驶的船上， 有一与船固连的竖直光滑墙壁， 有一个小球沿水平方向射到墙上，相对于岸，小球速度的大小为 v1，方向与墙的法线成 60角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直问船的速度应满足什么条件？设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的参考答案1.甲、乙船速度矢量关系如图答4-1，两船航程一样，由图得(甲/乙)(乙/甲)22-可修编.-.图答 4-1图答 4-22.速度矢量 v风=v风对人+v人的关系如图答 4-2，由图易得 v风28km/h3.以竖直上抛的石块为参考系，另一石块以相对速度v21做匀速直线
17、运动，速度矢量关系如图答 4-3，由图知21，两石块最短距离(1/)，这个最短距离适用于另一石块落地之前，即(cos)/()(2)/(12)时图答 4-3图答 4-4224.1艇相对船的速度方向不会超过，如图答4-4 所示，(/)，A 点、港口间的连线与岸的夹角即两者相对位移方向不超过，那么 A 点在港口后面D(/)D2当 v相对=时，根据题目要求，此时s相对(D/sin)(D0/)，(D0/0)，截住船的位置在 A 前方0(D0/)处25.冰雹落向车的速度与弹离车速度遵守“反射定律，故汽车以 v1运动时，v雹近车的方向与车玻璃法线成1，汽车以 v2运动时，那么成 2角，各速度矢量关系如图答
18、4-5，由如图答 4-所示的甲、乙两图分别有1雹，2雹，那么(1/2)(/)图答 4-56.v人=r，v雨=v0，v雨对人=v雨v人，矢量关系如图答4-6 所示，由图可知，相对于人，雨的速度方向为 ()/0，此即撑伞方向图答 4-6图答 4-7-可修编.-.7.观察照片，将两车之距离AB 按 57 比例分成左、右两局部，分点C 为两车相遇处，汽雾交点为 O，CO 即为相遇时两车喷出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点C 到照片上位置历时/(12)，风速为/km/h8.如图答 4-所示，设磁带的总长l，由题意当带厚为 d 时有9初初，当带厚为(d/2)时有(/) 初，得绕好后带卷半径R初，因1(初/
19、)(/)；2(初/)(/)，得219.与上题不同的是，放音时磁带是匀速率地通过的，1( /)，2( (/) /)，那么2(1/)min图答 4-8图答 4-92222222210.作快艇与人运动的位移矢量图， 人赶上艇， 两者位移矢量构成闭合三角形如图答4-9，设人以 v1速度运动时间 x，以 v2速度运动时间 y，那么有 ，整理得89-20 -，因 ，此式有解，即人能赶上以2.5km/h 飘行的快艇；推至一般，只要2 4 -24cos15式成立，即，只要 ，总可赶上11.如图答 4-10 所示cos，sin图答 4-100cos，2(/) 0sin图答 4-112(02222222222/(/)0/(0)0)/，代入0，0，(/)，0)/0(/)2-20(0-可修编.-.(/)(/)由(/)，得上式(/)(/)当(/)时，最大，那么 (/)，代入得max12.设船速为 v0，因为弹性碰撞，小球相对墙的入射速度与反射速度大小相等，速度方向遵守“入射角与反射角，如同例5 作矢量关系图如图答 4-11，由图知只要 v0沿墙的法线方向分量ON1/2 即可-可修编.
